Mostrar código-fonte de Falácia matemática

Na [[matemática]], certos tipos de [[Prova matemática|prova]] equivocada são frequentemente exibidos e, às vezes, coletados, como ilustrações de um conceito chamado '''falácia matemática'''. Há uma distinção entre um erro simples e uma [[falácia]] matemática em uma prova, pois um [[erro]] em uma prova leva a uma prova inválida, enquanto nos exemplos mais conhecidos de falácias matemáticas há algum elemento de ocultação ou engano na apresentação da prova.

Por exemplo, a [[razão]] pela qual a [[validade]] falha pode ser atribuída a uma [[divisão por zero]] que está oculta pela [[Notação matemática|notação]] [[Álgebra|algébrica]]. Há uma certa qualidade na falácia matemática: como normalmente apresentada, ela leva não apenas a um resultado absurdo, mas o faz de maneira astuta ou inteligente.<ref>{{harvnb|Maxwell|1959|p=9}}</ref> Portanto, essas falácias, por razões [[Pedagogia|pedagógicas]], costumam assumir a forma de provas espúrias de [[Contradição|contradições]] óbvias. Embora as provas sejam falhas, os erros, geralmente por ''[[design]]'', são comparativamente sutis, ou projetados para mostrar que certas etapas são condicionais e não são aplicáveis nos casos que são exceções às regras.

A maneira tradicional de apresentar uma falácia matemática é dar uma etapa de [[Método dedutivo|dedução]] inválida misturada com etapas válidas, de modo que o significado de falácia aqui é ligeiramente diferente da falácia [[lógica]]. O último geralmente se aplica a uma forma de [[argumento]] que não obedece às regras de [[inferência]] válidas da lógica, enquanto o passo matemático [[Problema matemático|problemático]] é tipicamente uma regra correta aplicada com uma suposição errada tácita. Além da pedagogia, a resolução de uma falácia pode levar a ''[[insight]]s'' mais profundos sobre um assunto (por exemplo, a introdução do [[axioma de Pasch]] da [[geometria euclidiana]],<ref name="Maxwell 1959">{{harvnb|Maxwell|1959}}</ref> o [[teorema das cinco cores]] da [[teoria dos grafos]]). ''Pseudaria'', um antigo livro perdido de provas inválidas, é atribuído a [[Euclides]].<ref>{{harvnb|Heath|Heiberg|1908|loc=Chapter II, §I}}</ref>

Falácias matemáticas existem em muitos ramos da matemática. Na [[álgebra elementar]], exemplos típicos podem envolver uma etapa em que a divisão por zero é realizada, onde uma [[Raiz (matemática)|raiz]] é extraída incorretamente ou, mais geralmente, onde diferentes valores de uma [[função multivalorada]] são igualados. Falácias bem conhecidas também existem na geometria e [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] euclidianos elementares.<ref>{{citar periódico|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/barbeau.pdf |título=Fallacies, Flaws, and Flimflam |data=1991 |periódico=The College Mathematics Journal |número=5 |último=Barbeau |primeiro=Ed |issn=0746-8342 |volume=22}}</ref><ref>{{Citar web|url=https://math.stackexchange.com/q/348198|título=soft question – Best Fake Proofs? (A M.SE April Fools Day collection)|website=Mathematics Stack Exchange|acessodata=2019-10-24}}</ref>

== Erros óbvios ==
{{imageframe|width=150|caption=Cancelamento indevido em [[cálculo]]|border=no|content=<math>\begin{array}{l}
\;\;\; \dfrac     {d}      {dx} \dfrac{1}{x}
\\  =  \dfrac     {d}      {d}  \dfrac{1}{x^2}
\\  =  \dfrac{d\!\!\!\backslash}{d\!\!\!\backslash} \dfrac{1}{x^2}
\\  =  -                        \dfrac{1}{x^2}
\end{array}</math>}}
Há exemplos de resultados matematicamente corretos derivados de raciocínios incorretos. Tal argumento, por mais verdadeira que a conclusão pareça ser, é matematicamente [[Validade|inválido]]. O seguinte é um exemplo de um erro envolvendo [[cancelamento indevido]]:
<math display=block>\frac{16}{64} = \frac{16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}=\frac{1}{4}.</math>

Por mais que {{sfrac|16|64}} = {{sfrac|1|4}} está correto, no entanto, é utilizado uma operação falaciosa, é efetuado um cancelamento indevido.<ref group="nota"> O mesmo se aplica para os seguintes cálculos:
<math display=block>\begin{align}
\frac{19}{95} = \frac{19\!\!\!/}{9\!\!\!/5} &= \frac{1}{5} \\
\frac{26}{65} = \frac{26\!\!\!/}{6\!\!\!/5} &= \frac{2}{5} \\
\frac{49}{98} = \frac{49\!\!\!/}{9\!\!\!/8} &= \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\end{align}</math></ref>

Provas falsas, cálculos ou derivações construídas para produzir um resultado correto, apesar da lógica ou operações incorretas, foram denominados "''howlers''" por Maxwell.<ref name="Maxwell 1959"/> Fora do campo da matemática, o termo ''howler'' tem vários significados, geralmente menos específicos.

== Divisão por zero ==
A [[Divisão por zero|falácia da divisão por zero]] possui diversas variantes. A seguinte usa uma divisão por zero disfarçada para "provar" que 2&nbsp;=&nbsp;1, mas pode ser modificada para que qualquer número seja igual a qualquer outro número.

# Seja ''a'' e ''b'' iguais, mas diferentes de zero
#:<math>a = b</math>
# Multiplique por ''a''
#:<math>a^2 = ab</math>
# Subtraia ''b''<sup>2</sup>
#:<math>a^2 - b^2 = ab - b^2</math>
# [[Fatoração|Fatore]] ambos os lados: no lado esquerdo usa-se a diferença de dois quadrados, e na direita colocando ''b'' em evidência
#:<math>(a - b)(a + b) = b(a - b)</math>
# Divida por (''a'' − ''b'')
#:<math>a + b = b</math>
# Use o fato que ''a'' = ''b''
#:<math>b + b = b</math>
# Combine os termos semelhantes na esquerda
#:<math>2b = b</math>
# Divida por ''b'', que é diferente que b
#:<math>2 = 1</math>
:''[[C.Q.D.]]''<ref>{{citation|first=Harro|last=Heuser|title=Lehrbuch der Analysis – Teil 1|edition=6ª|publisher=Teubner|year=1989|isbn=978-3-8351-0131-9|page=51|language=en}}</ref>

A falácia está na linha 5: a progressação da linha 4 para a 5 envolve dividir por ''a''&nbsp;−&nbsp;''b'', que é zero, visto que ''a''&nbsp;=&nbsp;''b''. Como a [[divisão por zero]] é indefinida, o argumento é inválido.

==Notas==
{{Listanota|group=nota}}

{{Referências}}

== Bibliografia ==
{{refbegin}}
* {{Citation|último1=Barbeau|primeiro1=Edward J.|título=Mathematical fallacies, flaws, and flimflam|publicado=[[Mathematical Association of America]]|series=MAA Spectrum|isbn=978-0-88385-529-4|mr=1725831|ano=2000|url=https://books.google.com/books?id=ugrXqDEyPU8C}}.
* {{Citation|último1=Bunch|primeiro1=Bryan|título=Mathematical fallacies and paradoxes|publicado=[[Dover Publications]]|local=New York|isbn=978-0-486-29664-7|mr=1461270|ano=1997|url=https://books.google.com/books?id=M6DvzoKlcicC}}.
* {{citation|primeiro1=Sir Thomas Little|último1=Heath|primeiro2=Johan Ludvig|último2=Heiberg|título=The thirteen books of Euclid's Elements, Volume 1|ano=1908|publicado=The University Press}}.
* {{Citation|último1=Maxwell|primeiro1=E. A.|autorlink=Edwin A. Maxwell|título=Fallacies in mathematics|publicado=[[Cambridge University Press]]|mr=0099907|ano=1959|url=https://books.google.com/books?id=zNvvoFEzP8IC|isbn=0-521-05700-0}}.
{{refend}}

== Ligações externas ==
{{Commons category|Invalid proofs}}
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml Provas inválidas]no [[Cut-the-knot]] (incluindo referências bibliográficas)
* [http://www.math.toronto.edu/mathnet/falseProofs/ Falácias clássicas]com alguma discussão
* [http://www.ahajokes.com/math_jokes.html Mais provas inválidas no AhaJokes.com]
* [https://web.archive.org/web/20071101040235/http://www.jokes-funblog.com/categories/49-Math-Jokes Piadas matemáticas, incluindo uma prova inválida]
{{Portal3|Matemática}}

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[[Categoria:Matemática]]