Mostrar código-fonte de Fatoriais crescentes e decrescentes

Em [[matemática]], o '''fatorial decrescente''' (às vezes chamado de '''fatorial descendente''',<ref name="Steffensen">
{{Citar livro|título=Interpolation|ultimo=Steffensen|primeiro=J.F.|data=17 de março de 2006|editora=Dover Publications|isbn=0-486-45009-0|autorlink=Johan Frederik Steffensen|edição=2nd}} — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.
</ref> '''produto sequencial decrescente''' ou '''fatorial inferior''') é definido como o polinômio <math display="block">
\begin{align}
(x)_n = x^\underline{n} &= \overbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}^{n\text{ fatores}} \\
&= \prod_{k=1}^n(x-k+1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x-k) .
\end{align}</math>

O '''fatorial ascendente''' (às vezes chamado de '''função de Pochhammer''', '''polinômio de Pochhammer''', '''fatorial ascendente''',<ref name="Steffensen" /> ''produto sequencial ascendente''' ou '''fatorial superior''') é definido como <math display="block">
\begin{align}
(x)^n = x^\overline{n} &= \overbrace{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)}^{n\text{ fatores}} \\
&= \prod_{k=1}^n(x+k-1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k) .
\end{align}</math>

O valor de cada um é considerado 1 (um [[produto vazio]]) quando <math>n=0</math> . Esses símbolos são chamados coletivamente de '''potências fatoriais'''.<ref name="The Art of Computer Programming">
{{Citar livro|título=[[The Art of Computer Programming]]|ultimo=Knuth|primeiro=D.E.|volume=1|autorlink=Donald Knuth|edição=3rd}}
</ref>

O '''símbolo de Pochhammer''', introduzido por [[Leo Pochhammer|Leo August Pochhammer]], é a notação <math>(x)_n</math>, onde {{Mvar|n}} é um [[Número natural|número inteiro não negativo]]. Ele pode representar o fatorial ''crescente'' ou decrescente, com diferentes artigos e autores usando convenções diferentes. O próprio Pochhammer usou <math>(x)_n</math> com ainda outro significado, a saber, denotar o [[coeficiente binomial]] <math>\tbinom{x}{n}</math> .<ref name="Knuth">
{{Citar periódico |título=Two notes on notation |periódico=[[American Mathematical Monthly]] |número=5 |ultimo=Knuth |primeiro=D.E. |autorlink=Donald Knuth |ano=1992 |paginas=403–422 |arxiv=math/9205211 |doi=10.2307/2325085 |jstor=2325085 |volume=99}} The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
</ref>

Neste artigo, o símbolo <math>(x)_n</math> é usado para representar o fatorial decrescente, e o símbolo <math>x^{(n)}</math> é usado para o fatorial crescente. Essas convenções são usadas em [[combinatória]],<ref>
{{Citar livro|título=Classical Invariant Theory|ultimo=Olver|primeiro=P.J.|editora=Cambridge University Press|ano=1999|isbn=0-521-55821-2|mr=1694364|autorlink=Peter J. Olver}}
</ref> embora as notações de sublinhado e sobre-linhado de [[Donald Knuth|Knuth]] <math>x^\underline{n}</math> e <math>x^\overline{n}</math> são cada vez mais populares.<ref name="The Art of Computer Programming" /><ref>
{{Citar livro|título=Combinatorics and Graph Theory|ultimo=Harris|ultimo2=Hirst|ultimo3=Mossinghoff|editora=Springer|ano=2008|isbn=978-0-387-79710-6}}
</ref> Na teoria das [[Função especial|funções especiais]] (em particular a [[função hipergeométrica]] ) e na obra de referência padrão ''[[Handbook of Mathematical Functions|Abramowitz e Stegun]]'', o símbolo de Pochhammer <math>(x)_n</math> é usado para representar o fatorial crescente.<ref>
{{Citar livro|título=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|data=dezembro de 1972|editora=[[United States Department of Commerce]]|editor-sobrenome=Abramowitz, Milton|series=[[National Bureau of Standards]] [[Applied Mathematics]] Series|volume=55|lugar=Washington, DC|lccn=64-60036|editor-sobrenome2=Stegun, Irene A.}}
</ref><ref>
{{Citar livro|título=Generalized Hypergeometric Functions|ultimo=Slater|primeiro=Lucy J.|editora=Cambridge University Press|ano=1966|mr=0201688}} — Gives a useful list of formulas for manipulating the rising factorial in {{Math|(''x''){{sub|''n''}}}} notation.
</ref>

Quando <math>x</math> é um número inteiro positivo, <math>(x)_n</math> fornece o número de [[Permutação|{{Mvar|n}}-permutações]] (sequências de elementos distintos) de um conjunto de {{Mvar|x}} -elementos ou, equivalentemente, o número de [[Função injectiva|funções injetoras]] de um conjunto de tamanho <math>n</math> para um conjunto de tamanho <math>x</math> . O fatorial crescente <math>x^{(n)}</math> fornece o número de [[Partição de um conjunto|partições]] de um <math>n</math>-elemento definido em <math>x</math> sequências ordenadas (possivelmente vazias). {{Nre|Here the parts are distinct; for example, when {{math|1=''x'' = ''n'' = 2}}, the {{math|1=(2){{sup|(2)}} = 6}} partitions are <math>(12, -)</math>, <math>(21, -)</math>, <math>(1, 2)</math>, <math>(2, 1)</math>, <math>(-, 12)</math>, and <math>(-, 21)</math>, where − denotes an empty part.}}

== Exemplos e interpretação combinatória ==
Os primeiros fatoriais decrescentes são os seguintes: <math display="block">
\begin{alignat}{2}
(x)_0 & &&= 1 \\
(x)_1 & &&= x \\
(x)_2 &= x(x-1) &&= x^2-x \\
(x)_3 &= x(x-1)(x-2) &&= x^3-3x^2+2x \\
(x)_4 &= x(x-1)(x-2)(x-3) &&= x^4-6x^3+11x^2-6x
\end{alignat}</math> Os primeiros fatoriais crescentes são os seguintes: <math display="block">
\begin{alignat}{2}
x^{(0)} & &&= 1 \\
x^{(1)} & &&= x \\
x^{(2)} &= x(x+1) &&=x^2+x \\
x^{(3)} &= x(x+1)(x+2) &&=x^3+3x^2+2x \\
x^{(4)} &= x(x+1)(x+2)(x+3) &&=x^4+6x^3+11x^2+6x
\end{alignat}</math>Os coeficientes que aparecem nas expansões são [[números de Stirling do primeiro tipo]] (veja abaixo).

Quando a variável <math>x</math> é um número inteiro positivo, o número <math>(x)_n</math> é igual ao número de [[Permutação|{{Mvar|n}}-permutações de um conjunto de {{Mvar|x}} itens]], ou seja, o número de maneiras de escolher uma lista ordenada de comprimento {{Mvar|n}} consistindo de elementos distintos extraídos de uma coleção de tamanho <math>x</math> . Por exemplo, <math>(8)_3 = 8\times7\times6 = 336</math> é o número de pódios diferentes — atribuições de medalhas de ouro, prata e bronze — possíveis em uma corrida de oito pessoas. Por outro lado, <math>x^{(n)}</math> é "o número de maneiras de organizar <math>n</math> bandeiras em <math>x</math> mastros de bandeira",<ref name="Feller">
{{Citar livro|título=An Introduction to Probability Theory and Its Applications|ultimo=Feller|primeiro=William|volume=1}}
</ref> onde todas as bandeiras devem ser usadas e cada mastro pode ter qualquer número de bandeiras. Equivalentemente, este é o número de maneiras de particionar um conjunto de tamanho <math>n</math> (as bandeiras) em <math>x</math> partes distinguíveis (os mastros), com uma ordem linear nos elementos atribuídos a cada parte (a ordem das bandeiras em um determinado mastro).

== Propriedades ==
Os fatoriais crescentes e decrescentes estão relacionados com certa simplicidade entre si: <math display="block">
\begin{alignat}{2}
{(x)}_n &= {(x-n+1)}^{(n)} &&= (-1)^n (-x)^{(n)},\\
x^{(n)} &= {(x+n-1)}_{n} &&= (-1)^n (-x)_n.
\end{alignat}</math>

Os fatoriais crescentes e decrescentes de números inteiros estão diretamente relacionados ao [[fatorial]] ordinário: <math display="block">
\begin{align}
n! &= 1^{(n)} = (n)_n,\\[6pt]
(m)_n &= \frac{m!}{(m-n)!},\\[6pt]
m^{(n)} &= \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!}.
\end{align}</math>

Os fatoriais crescentes de meios estão diretamente relacionados ao [[Duplo fatorial|fatorial duplo]] : <math display="block">
\begin{align}
\left[\frac{1}{2}\right]^{(n)} = \frac{(2n-1)!!}{2^n},\quad
\left[\frac{2m+1}{2}\right]^{(n)} = \frac{(2(n+m)-1)!!}{2^n(2m-1)!!}.
\end{align}</math>

Os fatoriais decrescentes e crescentes podem ser usados para expressar um [[coeficiente binomial]] : <math display="block">
\begin{align}
\frac{(x)_n}{n!} &= \binom{x}{n},\\[6pt]
\frac{x^{(n)}}{n!} &= \binom{x+n-1}{n}.
\end{align}</math>

Assim, muitas identidades em coeficientes binomiais são transferidas para os fatoriais decrescentes e crescentes.

Os fatoriais crescentes e decrescentes são bem definidos em qualquer [[Anel (matemática)|anel]] [[Anel (matemática)|unitário]] e, portanto, <math>x</math> pode ser considerado, por exemplo, um [[número complexo]], incluindo inteiros negativos, ou um [[Polinómio|polinômio]] com coeficientes complexos, ou qualquer [[Análise complexa|função de valor complexo]] .

=== Números reais e ''n'' negativo ===
O fatorial decrescente pode ser estendido para valores [[Número real|reais]] de <math>x</math> usando a [[função gama]] sabendo que <math>x</math> e <math>x+n</math> são números reais diferentes de inteiros negativos: <math display="block">
(x)_n = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}\ ,
</math> e o mesmo pode acontecer com o fatorial crescente: <math display="block">
x^{(n)} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}\ .
</math>

=== Cálculo ===
Fatoriais decrescentes aparecem na [[Derivada|diferenciação]] múltipla de funções de potência simples: <math display="block">
\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^n x^a = (a)_n \cdot x^{a-n}.
</math>

O fatorial crescente também é parte integrante da definição da [[função hipergeométrica]] : A função hipergeométrica é definida para <math>|z| < 1</math> pela [[série de potências]] <math display="block">
{}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)} b^{(n)}}{c^{(n)}} \frac{z^n}{n!}
</math> desde que <math>c \neq 0, -1, -2, \ldots</math> . Note, entretanto, que a literatura sobre funções hipergeométricas normalmente usa a notação <math>(a)_n</math> para fatoriais crescentes.

== Coeficientes de conexão e identidades ==
Fatoriais crescentes e decrescentes estão intimamente relacionados aos [[Número de Stirling|números de Stirling]] . Na verdade, a expansão do produto revela [[números de Stirling do primeiro tipo]] <math display="block">
\begin{align}
(x)_n & = \sum_{k=0}^n s(n,k) x^k \\
   &= \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix}n \\ k \end{bmatrix} (-1)^{n-k}x^k \\
x^{(n)} & = \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^k \\
\end{align}
</math>

E as relações inversas usam [[números de Stirling do segundo tipo]] <math display="block">
\begin{align}
x^n & = \sum_{k=0}^{n} \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} (x)_{k} \\
  & = \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} (-1)^{n-k} x^{(k)} .
\end{align} 
</math>

Os fatoriais decrescentes e crescentes estão relacionados entre si através dos [[número de Lah|números de Lah <math display="inline">L(n, k) = \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} </math>]]:<ref name="Wolfram_functions">
{{Citar web|url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/|titulo=Introduction to the factorials and binomials|website=Wolfram Functions Site}}
</ref> <math display="block">
\begin{align}
(x)_n & = \sum_{k=0}^n L(n,k) x^{(k)} \\
x^{(n)} & = \sum_{k=0}^n L(n,k) (-1)^{n-k} (x)_k
\end{align}
</math>

Como os fatoriais decrescentes são uma base para o [[Anel de polinômios|anel polinomial]], pode-se expressar o produto de dois deles como uma [[combinação linear]] de fatoriais decrescentes:<ref>{{Citar periódico |título=Specializations of MacMahon symmetric functions and the polynomial algebra |periódico=Discrete Math. |número=1–3 |ultimo=Rosas |primeiro=Mercedes H. |ano=2002 |paginas=285–293 |doi=10.1016/S0012-365X(01)00263-1 |volume=246 |hdl-access=free}}</ref> <math display="block">
(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \binom{n}{k} k! \cdot (x)_{m+n-k} \ .</math>

Os coeficientes <math>\tbinom{m}{k} \tbinom{n}{k} k! </math> são chamados de coeficientes de conexão e têm uma interpretação combinatória como o número de maneiras de identificar (ou "colar") {{Math|''k''}} elementos, cada um de um conjunto de tamanho ''{{mvar|m}}'' e um conjunto de tamanho ''{{mvar|n}}''.

Existe também uma fórmula de conexão para a razão de dois fatoriais crescentes dada por <math display="block">
\frac{x^{(n)}}{x^{(i)}} = (x+i)^{(n-i)} ,\quad \text{para }n \geq i .</math>

Além disso, podemos expandir leis de expoentes generalizadas e potências negativas crescentes e decrescentes por meio das seguintes identidades:<ref name="Graham-Knuth-Patashnik-1988">
{{Citar livro|título=[[Concrete Mathematics]]|ultimo=Graham|primeiro=Ronald L.|ultimo2=Knuth|primeiro2=Donald E.|ultimo3=Patashnik|primeiro3=Oren|editora=Addison-Wesley|ano=1988|lugar=Reading, MA|páginas=47, 48, 52|isbn=0-201-14236-8|autorlink=Oren Patashnik}}
</ref> {{Rp|page= 52}}

<math display="block">
\begin{align} 
(x)_{m+n} & = (x)_m (x-m)_n = (x)_n (x-n)_m \\[6pt]
x^{(m+n)} & = x^{(m)} (x+m)^{(n)} = x^{(n)} (x+n)^{(m)} \\[6pt]
x^{(-n)} & = \frac{\Gamma(x-n)}{\Gamma(x)} = \frac{(x-n-1)!}{(x-1)!} = \frac{1}{(x-n)^{(n)}} = \frac{1}{(x-1)_n} = \frac{1}{(x-1)(x-2) \cdots (x-n)} \\[6pt]
(x)_{-n} & = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x+n+1)} = \frac{x!}{(x+n)!} = \frac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{(x+1)^{(n)}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}
\end{align} 
</math>

Finalmente, as fórmulas [[Função gama|de duplicação]] e [[Função gama|multiplicação]] para os fatoriais decrescentes e crescentes fornecem as seguintes relações: <math display="block">
\begin{align}
(x)_{k+mn} &= x^{(k)} m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x-k-j}{m}\right)_{n}\,,& \text{para } m &\in \mathbb{N} \\[6pt]
x^{(k+mn)} &= x^{(k)} m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+k+j}{m}\right)^{(n)},& \text{para } m &\in \mathbb{N} \\[6pt]
(ax+b)^{(n)} &= x^n \prod_{j=0}^{n-1} \left(a+\frac{b+j}{x}\right),& \text{para } x &\in \mathbb{Z}^+ \\[6pt]
(2x)^{(2n)} &= 2^{2n} x^{(n)} \left(x+\frac{1}{2}\right)^{(n)} .
\end{align}</math>

== Relação com cálculo umbral ==
O fatorial decrescente ocorre em uma fórmula que representa [[Polinómio|polinômios]] usando o [[Relação de recorrência|operador de diferença]] direta <math>\Delta f(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x{+}1)-f(x),</math> e que é formalmente semelhante ao [[teorema de Taylor]] : <math display="block">
f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Delta^n f(0)}{n!} (x)_n.
</math>

Nesta fórmula e em muitos outros lugares, o fatorial decrescente <math>(x)_n</math> no cálculo de [[Operador de diferença|diferenças finitas]] desempenha o papel de <math>x^n</math> em cálculo diferencial. Note-se, por exemplo, a semelhança de <math>\Delta (x)_n = n (x)_{n-1}</math> para <math>\frac{\textrm d}{\textrm dx} x^n = nx^{n-1}</math> .

Um resultado semelhante vale para o fatorial crescente e o operador de diferença regressiva.

O estudo de analogias desse tipo é conhecido como [[cálculo umbral]]. Uma teoria geral que abrange tais relações, incluindo as funções fatoriais decrescentes e crescentes, é dada pela teoria de [[Tipo binomial|sequências polinomiais do tipo binomial]] e [[Sequência de Sheffer|sequências de Sheffer]]. Fatoriais decrescentes e crescentes são sequências de Sheffer do tipo binomial, conforme mostrado pelas relações:

<math display="block">
\begin{align}
(a + b)_n &= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (a)_{n-j}(b)_{j} \\[6pt]
(a + b)^{(n)} &= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} a^{(n-j)}b^{(j)}
\end{align}</math>

onde os coeficientes são os mesmos do [[Binómio de Newton|teorema binomial]].

Da mesma forma, a função geradora dos polinômios de Pochhammer equivale então à exponencial umbral,

<math display="block"> \sum_{n=0}^\infty (x)_n \frac{t^n}{n!} = \left(1+t\right)^x, </math>

desde que

<math display="block"> \operatorname \Delta_x \left( 1 + t \right)^x = t \cdot \left( 1 + t \right)^x </math>

== Notações alternativas ==
Uma notação alternativa para o fatorial crescente <math display="block">
x^\overline{m} \equiv (x)_{+m} \equiv (x)_m = \overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m \text{ fatores}} \quad \text{for integer } m\ge0 </math>

e para o fatorial decrescente <math display="block">
x^\underline{m} \equiv (x)_{-m} = \overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m \text{ fatores}} \quad \text{for integer } m \ge 0</math>

remonta a A. Capelli (1893) e L. Toscano (1939), respectivamente.<ref name="The Art of Computer Programming" /> Graham, Knuth e Patashnik<ref name="Graham-Knuth-Patashnik-1988" />{{Rp|pages= 47, 48}} propõe pronunciar essas expressões como "<math>x</math> para o <math>m</math> subindo" e " <math>x</math> para o <math>m</math> caindo", respectivamente.

Uma notação alternativa para o fatorial crescente <math>x^{(n)}</math> é o menos comum <math>(x)_n^+</math> . Quando <math>(x)_n^+</math> é usado para denotar o fatorial crescente, a notação <math>(x)_n^-</math> é normalmente usado para o fatorial decrescente comum, para evitar confusão.<ref name="Knuth" />

== Generalizações ==
O símbolo de Pochhammer tem uma versão generalizada chamada [[símbolo de Pochhammer generalizado]], usado em [[Análise matemática|análise]] multivariada. Há também um [[Q-analógico|{{Mvar|q}}-análogo]], o [[Símbolo Q-Pochhammer|{{Mvar|q}}-símbolo de Pochhammer]].

Para qualquer função aritmética fixa <math>f: \mathbb{N} \rarr \mathbb{C}</math> e parâmetros simbólicos ''{{mvar|x}}'' e ''{{mvar|t}}'', produtos fatoriais generalizados relacionados da forma

<math display="block">
(x)_{n,f,t} := \prod_{k=0}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</math>

pode ser estudado do ponto de vista das classes de [[Números de Stirling do primeiro tipo|números de Stirling generalizados do primeiro tipo]] definidos pelos seguintes coeficientes das potências de {{Mvar|x}} nas expansões de {{Math|(''x'')<sub>''n'',''f'',''t''</sub>}} e então pela próxima relação de recorrência triangular correspondente:

<math display="block">
\begin{align} 
\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} & = \left[x^{k-1}\right] (x)_{n,f,t} \\ 
   & = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. 
\end{align} 
</math>

Esses coeficientes satisfazem uma série de propriedades análogas às dos [[números de Stirling do primeiro tipo]], bem como relações de recorrência e equações funcionais relacionadas aos números {{Mvar|f}} -harmônicos,<ref>{{Citar periódico |título=Combinatorial identities for generalized Stirling numbers expanding {{mvar|f}}-factorial functions and the {{mvar|f}}-harmonic numbers |periódico=Journal of Integer Sequences |número=2 |ultimo=Schmidt |primeiro=Maxie D. |ano=2018 |arxiv=1611.04708v2 |mr=3779776 |volume=21}}</ref> <math display="block">
F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} \frac{ t^k }{ f(k)^r }\,.</math>

== Ver também ==
* [[Identidade de Vandermonde|Identidade Vandermonde]]

{{Notas}}

{{Referências}}

== Ligações externas ==

* {{MathWorld|titulo=Pochhammer Symbol|id=PochhammerSymbol}}
[[Categoria:Diferenças finitas]]