Fatoriais crescentes e decrescentes

Em matemática, o fatorial decrescente (às vezes chamado de fatorial descendente, produto sequencial decrescente ou fatorial inferior) é definido como o polinômio $$\begin{array}{cc}(x{)}_n=x^{\underset{\_}{n}}& =\stackrel{n\text{ fatores}}{\overbrace{x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}}\\ & =\prod _{k=1}^n(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{array}$$

O fatorial ascendente' (às vezes chamado de função de Pochhammer, polinômio de Pochhammer, fatorial ascendente, produto sequencial ascendente ou fatorial superior) é definido como $$\begin{array}{cc}(x{)}^n=x^{\bar{n}}& =\stackrel{n\text{ fatores}}{\overbrace{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}}\\ & =\prod _{k=1}^n(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{array}$$

O valor de cada um é considerado 1 (um produto vazio) quando $n=0$ . Esses símbolos são chamados coletivamente de potências fatoriais.

O símbolo de Pochhammer, introduzido por Leo August Pochhammer, é a notação $(x{)}_n$, onde Predefinição:Mvar é um número inteiro não negativo. Ele pode representar o fatorial crescente ou decrescente, com diferentes artigos e autores usando convenções diferentes. O próprio Pochhammer usou $(x{)}_n$ com ainda outro significado, a saber, denotar o coeficiente binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n})$ .

Neste artigo, o símbolo $(x{)}_n$ é usado para representar o fatorial decrescente, e o símbolo $x^{(n)}$ é usado para o fatorial crescente. Essas convenções são usadas em combinatória, embora as notações de sublinhado e sobre-linhado de Knuth $x^{\underset{\_}{n}}$ e $x^{\bar{n}}$ são cada vez mais populares. Na teoria das funções especiais (em particular a função hipergeométrica ) e na obra de referência padrão Abramowitz e Stegun, o símbolo de Pochhammer $(x{)}_n$ é usado para representar o fatorial crescente.

Quando $x$ é um número inteiro positivo, $(x{)}_n$ fornece o número de [[Permutação|Predefinição:Mvar-permutações]] (sequências de elementos distintos) de um conjunto de Predefinição:Mvar -elementos ou, equivalentemente, o número de funções injetoras de um conjunto de tamanho $n$ para um conjunto de tamanho $x$ . O fatorial crescente $x^{(n)}$ fornece o número de partições de um $n$-elemento definido em $x$ sequências ordenadas (possivelmente vazias). Predefinição:Nre

Exemplos e interpretação combinatória

Os primeiros fatoriais decrescentes são os seguintes: $$\begin{array}{cccc}(x{)}_0& & & =1\\ (x{)}_1& & & =x\\ (x{)}_2& =x(x-1)& & =x^2-x\\ (x{)}_3& =x(x-1)(x-2)& & =x^3-3x^2+2x\\ (x{)}_4& =x(x-1)(x-2)(x-3)& & =x^4-6x^3+11x^2-6x\end{array}$$ Os primeiros fatoriais crescentes são os seguintes: $$\begin{array}{cccc}{x}^{(0)}& & & =1\\ x^{(1)}& & & =x\\ x^{(2)}& =x(x+1)& & =x^2+x\\ x^{(3)}& =x(x+1)(x+2)& & =x^3+3x^2+2x\\ x^{(4)}& =x(x+1)(x+2)(x+3)& & =x^4+6x^3+11x^2+6x\end{array}$$Os coeficientes que aparecem nas expansões são números de Stirling do primeiro tipo (veja abaixo).

Quando a variável $x$ é um número inteiro positivo, o número $(x{)}_n$ é igual ao número de [[Permutação|Predefinição:Mvar-permutações de um conjunto de Predefinição:Mvar itens]], ou seja, o número de maneiras de escolher uma lista ordenada de comprimento Predefinição:Mvar consistindo de elementos distintos extraídos de uma coleção de tamanho $x$ . Por exemplo, $(8{)}_3=8\times 7\times 6=336$ é o número de pódios diferentes — atribuições de medalhas de ouro, prata e bronze — possíveis em uma corrida de oito pessoas. Por outro lado, $x^{(n)}$ é "o número de maneiras de organizar $n$ bandeiras em $x$ mastros de bandeira", onde todas as bandeiras devem ser usadas e cada mastro pode ter qualquer número de bandeiras. Equivalentemente, este é o número de maneiras de particionar um conjunto de tamanho $n$ (as bandeiras) em $x$ partes distinguíveis (os mastros), com uma ordem linear nos elementos atribuídos a cada parte (a ordem das bandeiras em um determinado mastro).

Propriedades

Os fatoriais crescentes e decrescentes estão relacionados com certa simplicidade entre si: $$\begin{array}{cccc}{(x)}_n& ={(x-n+1)}^{(n)}& & =(-1{)}^n(-x{)}^{(n)},\\ x^{(n)}& ={(x+n-1)}_n& & =(-1{)}^n(-x{)}_n.\end{array}$$

Os fatoriais crescentes e decrescentes de números inteiros estão diretamente relacionados ao fatorial ordinário: $$\begin{array}{cc}n!& =1^{(n)}=(n{)}_n,\\ (m{)}_n& =\frac{m!}{(m-n)!},\\ m^{(n)}& =\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!}.\end{array}$$

Os fatoriais crescentes de meios estão diretamente relacionados ao fatorial duplo : $$\begin{array}{c}{\left[\frac{1}{2}\right]}^{(n)}=\frac{(2n-1)!!}{2^n},{\left[\frac{2m+1}{2}\right]}^{(n)}=\frac{(2(n+m)-1)!!}{2^n(2m-1)!!}.\end{array}$$

Os fatoriais decrescentes e crescentes podem ser usados para expressar um coeficiente binomial : $$\begin{array}{cc}\frac{(x{)}_n}{n!}& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n}),\\ \frac{x^{(n)}}{n!}& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-1}{n}).\end{array}$$

Assim, muitas identidades em coeficientes binomiais são transferidas para os fatoriais decrescentes e crescentes.

Os fatoriais crescentes e decrescentes são bem definidos em qualquer anel unitário e, portanto, $x$ pode ser considerado, por exemplo, um número complexo, incluindo inteiros negativos, ou um polinômio com coeficientes complexos, ou qualquer função de valor complexo .

Números reais e n negativo

O fatorial decrescente pode ser estendido para valores reais de $x$ usando a função gama sabendo que $x$ e $x+n$ são números reais diferentes de inteiros negativos: $$(x{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-n+1)},$$ e o mesmo pode acontecer com o fatorial crescente: $$x^{(n)}=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$$

Cálculo

Fatoriais decrescentes aparecem na diferenciação múltipla de funções de potência simples: $${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)}^n{x}^a=(a{)}_n\cdot x^{a-n}.$$

O fatorial crescente também é parte integrante da definição da função hipergeométrica : A função hipergeométrica é definida para $|z|<1$ pela série de potências $${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^{(n)}{b}^{(n)}}{c^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$$ desde que $c\ne 0,-1,-2,\dots$ . Note, entretanto, que a literatura sobre funções hipergeométricas normalmente usa a notação $(a{)}_n$ para fatoriais crescentes.

Coeficientes de conexão e identidades

Fatoriais crescentes e decrescentes estão intimamente relacionados aos números de Stirling . Na verdade, a expansão do produto revela números de Stirling do primeiro tipo $$\begin{array}{cc}(x{)}_n& =\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^k\\ & =\sum _{k=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right](-1{)}^{n-k}{x}^k\\ x^{(n)}& =\sum _{k=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]x^k\\ \end{array}$$

E as relações inversas usam números de Stirling do segundo tipo $$\begin{array}{cc}{x}^n& =\sum _{k=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}(x{)}_k\\ & =\sum _{k=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}(-1{)}^{n-k}{x}^{(k)}.\end{array}$$

Os fatoriais decrescentes e crescentes estão relacionados entre si através dos números de Lah $L(n,k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})\frac{n!}{k!}$: $$\begin{array}{cc}(x{)}_n& =\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\ x^{(n)}& =\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1{)}^{n-k}(x{)}_k\end{array}$$

Como os fatoriais decrescentes são uma base para o anel polinomial, pode-se expressar o produto de dois deles como uma combinação linear de fatoriais decrescentes: $$(x{)}_m(x{)}_n=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k!\cdot (x{)}_{m+n-k}.$$

Os coeficientes $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k!$ são chamados de coeficientes de conexão e têm uma interpretação combinatória como o número de maneiras de identificar (ou "colar") Predefinição:Math elementos, cada um de um conjunto de tamanho Predefinição:Mvar e um conjunto de tamanho Predefinição:Mvar.

Existe também uma fórmula de conexão para a razão de dois fatoriais crescentes dada por $$\frac{x^{(n)}}{x^{(i)}}=(x+i{)}^{(n-i)},\text{para }n\ge i.$$

Além disso, podemos expandir leis de expoentes generalizadas e potências negativas crescentes e decrescentes por meio das seguintes identidades: Predefinição:Rp

$$\begin{array}{cc}(x{)}_{m+n}& =(x{)}_m(x-m{)}_n=(x{)}_n(x-n{)}_m\\ x^{(m+n)}& =x^{(m)}(x+m{)}^{(n)}=x^{(n)}(x+n{)}^{(m)}\\ x^{(-n)}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(x-n)}{\mathrm{\Gamma }(x)}=\frac{(x-n-1)!}{(x-1)!}=\frac{1}{(x-n{)}^{(n)}}=\frac{1}{(x-1{)}_n}=\frac{1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}\\ (x{)}_{-n}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+n+1)}=\frac{x!}{(x+n)!}=\frac{1}{(x+n{)}_n}=\frac{1}{(x+1{)}^{(n)}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}\end{array}$$

Finalmente, as fórmulas de duplicação e multiplicação para os fatoriais decrescentes e crescentes fornecem as seguintes relações: $$\begin{array}{cccc}(x{)}_{k+mn}& =x^{(k)}{m}^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}{\left(\frac{x-k-j}{m}\right)}_n,& \text{para }m& \in \mathbb{N}\\ x^{(k+mn)}& =x^{(k)}{m}^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}{\left(\frac{x+k+j}{m}\right)}^{(n)},& \text{para }m& \in \mathbb{N}\\ (ax+b{)}^{(n)}& =x^n\prod _{j=0}^{n-1}(a+\frac{b+j}{x}),& \text{para }x& \in {\mathbb{Z}}^{+}\\ (2x{)}^{(2n)}& =2^{2n}{x}^{(n)}{(x+\frac{1}{2})}^{(n)}.\end{array}$$

Relação com cálculo umbral

O fatorial decrescente ocorre em uma fórmula que representa polinômios usando o operador de diferença direta $\mathrm{\Delta }f(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f(x+1)-f(x),$ e que é formalmente semelhante ao teorema de Taylor : $$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Delta }}^{n}f(0)}{n!}(x{)}_n.$$

Nesta fórmula e em muitos outros lugares, o fatorial decrescente $(x{)}_n$ no cálculo de diferenças finitas desempenha o papel de $x^n$ em cálculo diferencial. Note-se, por exemplo, a semelhança de $\mathrm{\Delta }(x{)}_n=n(x{)}_{n-1}$ para $\frac{\text{<mi fromhbox="1">d</mi>}}{\text{<mi fromhbox="1">d</mi>}x}{x}^n=n{x}^{n-1}$ .

Um resultado semelhante vale para o fatorial crescente e o operador de diferença regressiva.

O estudo de analogias desse tipo é conhecido como cálculo umbral. Uma teoria geral que abrange tais relações, incluindo as funções fatoriais decrescentes e crescentes, é dada pela teoria de sequências polinomiais do tipo binomial e sequências de Sheffer. Fatoriais decrescentes e crescentes são sequências de Sheffer do tipo binomial, conforme mostrado pelas relações:

$$\begin{array}{cc}(a+b{)}_n& =\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(a{)}_{n-j}(b{)}_j\\ (a+b{)}^{(n)}& =\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})a^{(n-j)}{b}^{(j)}\end{array}$$

onde os coeficientes são os mesmos do teorema binomial.

Da mesma forma, a função geradora dos polinômios de Pochhammer equivale então à exponencial umbral,

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(x{)}_n\frac{t^n}{n!}={(1+t)}^x,$$

desde que

$${\mathrm{\Delta }}_x{(1+t)}^x=t\cdot {(1+t)}^x$$

Notações alternativas

Uma notação alternativa para o fatorial crescente $$x^{\bar{m}}\equiv (x{)}_{+m}\equiv (x{)}_m=\stackrel{m\text{ fatores}}{\overbrace{x(x+1)\dots (x+m-1)}}\text{for integer }m\ge 0$$

e para o fatorial decrescente $$x^{\underset{\_}{m}}\equiv (x{)}_{-m}=\stackrel{m\text{ fatores}}{\overbrace{x(x-1)\dots (x-m+1)}}\text{for integer }m\ge 0$$

remonta a A. Capelli (1893) e L. Toscano (1939), respectivamente. Graham, Knuth e PatashnikPredefinição:Rp propõe pronunciar essas expressões como "$x$ para o $m$ subindo" e " $x$ para o $m$ caindo", respectivamente.

Uma notação alternativa para o fatorial crescente $x^{(n)}$ é o menos comum $(x{)}_n^{+}$ . Quando $(x{)}_n^{+}$ é usado para denotar o fatorial crescente, a notação $(x{)}_n^{-}$ é normalmente usado para o fatorial decrescente comum, para evitar confusão.

Generalizações

O símbolo de Pochhammer tem uma versão generalizada chamada símbolo de Pochhammer generalizado, usado em análise multivariada. Há também um [[Q-analógico|Predefinição:Mvar-análogo]], o [[Símbolo Q-Pochhammer|Predefinição:Mvar-símbolo de Pochhammer]].

Para qualquer função aritmética fixa $f:\mathbb{N}\to ℂ$ e parâmetros simbólicos Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar, produtos fatoriais generalizados relacionados da forma

$$(x{)}_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}(x+\frac{f(k)}{t^k})$$

pode ser estudado do ponto de vista das classes de números de Stirling generalizados do primeiro tipo definidos pelos seguintes coeficientes das potências de Predefinição:Mvar nas expansões de Predefinição:Math e então pela próxima relação de recorrência triangular correspondente:

$$\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_{f,t}& =\left[x^{k-1}\right](x{)}_{n,f,t}\\ & =f(n-1)t^{1-n}{\left[\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right]}_{f,t}+{\left[\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right]}_{f,t}+{\delta }_{n,0}{\delta }_{k,0}.\end{array}$$

Esses coeficientes satisfazem uma série de propriedades análogas às dos números de Stirling do primeiro tipo, bem como relações de recorrência e equações funcionais relacionadas aos números Predefinição:Mvar -harmônicos, $$F_n^{(r)}(t):=\sum _{k\le n}\frac{t^k}{f(k{)}^r}.$$

Ver também

• Identidade Vandermonde

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld