Mostrar código-fonte de Forma indeterminada

No [[cálculo]] e em outros ramos da [[análise matemática]], os limites de uma combinação algébrica de funções em uma [[Variáveis dependentes e independentes|variável independente]] podem frequentemente ser avaliados pela substituição dessas funções por seus [[limite]]s individuais. Se a expressão obtida após esta substituição não fornecer informação suficiente para determinar o limite da combinação, então a expressão é considerada uma '''forma indeterminada''' . Mais especificamente, uma forma indeterminada é uma [[expressão matemática]] envolvendo <math>0</math>, <math>1</math> e <math>\infty</math>. É obtida pela aplicação do [[Limite de uma função|teorema do limite algébrico]] no processo de tentativa de determinar um limite, mas que falha em restringir esse limite a um valor específico ou infinito (se um limite é confirmado como infinito, então não é indeterminado, mas sim determinado como infinito) e, portanto, ainda não determina o limite que se busca.<ref name=":0">{{Citar web |url=https://mathvault.ca/math-glossary/#indeterminate |titulo=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Indeterminate |data=2019-08-01 |acessodata=2019-12-02 |website=Math Vault |lingua=en-US}}</ref><ref name=":1">{{Citar web |ultimo=Weisstein |primeiro=Eric W. |url=http://mathworld.wolfram.com/Indeterminate.html |titulo=Indeterminate |acessodata=2019-12-02 |website=mathworld.wolfram.com |lingua=en}}</ref>

Existem várias formas indeterminadas que são normalmente consideradas na literatura:<ref name=":1"/>

* <math>0 \div 0</math>
* <math> {\infty} \div {\infty} </math>
* <math> 0\times\infty </math>
* <math> \infty - \infty </math>
* <math> 0^0 </math>
* <math> 1^\infty </math>
* <math> \infty^0 </math>
* <math> \sqrt[0]{1} </math>
* <math> \sqrt[\infty]{0} </math>
* <math> \sqrt[\infty]{\infty} </math>
* <math> \log_{0}(0) </math>
* <math> \log_{\infty}(\infty) </math>
* <math> \log_{1}(1) </math>
* <math> \log_{\infty}(0) </math>
* <math> \log_{0}(\infty) </math>

O exemplo mais comum de uma forma indeterminada ocorre ao determinar o limite da razão de duas funções que tendem a 0 no mesmo ponto, e é referido como "a forma indeterminada <math>0/0</math> " .Por exemplo, como <math>x</math> se aproximando de <math>0</math>, as proporções <math>x/x^3</math>, <math>x/x</math>, e <math>x^2/x</math> tendem a <math>\infty</math>, <math>1</math>, e <math>0</math> respectivamente.  Nos três casos, se os limites do numerador e denominador forem substituídos, a expressão resultante é <math>0/0</math>, que é indefinido. De uma maneira geral, <math>0/0</math> pode assumir os valores <math>0</math>, <math>1</math>, ou <math>\infty</math>, e é fácil construir exemplos semelhantes para os quais o limite é qualquer valor particular.

Então, dado que duas [[Função (matemática)|funções]] <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> ambas se aproximam de <math>0</math> quando <math>x</math> aproxima-se de algum ponto <math>c</math>, esse fato por si só não dá informações suficientes para avaliar o [[Limite de uma função|limite]]

 {{block indent|<math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} .</math>}}

Nem toda expressão algébrica indefinida corresponde a uma forma indeterminada. Por exemplo, a expressão <math>1/0</math> é indefinido como um [[número real]], mas não corresponde a uma forma indeterminada, pois qualquer limite que se apresente dessa forma irá [[Série divergente|divergir para o infinito]], já que, nos casos em que acontece, o denominador se aproxima de 0, mas nunca é 0.<ref name=":3">{{Citar web |url=https://www.cut-the-knot.org/blue/GhostCity.shtml |titulo=Undefined vs Indeterminate in Mathematics |acessodata=2019-12-02 |website=www.cut-the-knot.org}}</ref>

Uma expressão que surge por outras formas que não a aplicação do teorema do limite algébrico pode ter a mesma aparência de uma forma indeterminada. No entanto, não é apropriado chamar uma expressão de "forma indeterminada" se a expressão for feita fora do contexto de determinação de limites. Por exemplo, <math>0/0</math> que surge da substituição <math>0</math> para <math>x</math> na equação <math>f(x)=|x|/(|x-1|-1)</math> não é uma forma indeterminada, uma vez que esta expressão não é feita na determinação de um limite (na verdade é indefinida como [[divisão por zero]] ). Outro exemplo é a expressão <math>0^0</math> . Esta expressão pode ser deixada indefinida ou ser definida como igual <math>1</math>, dependendo do campo de aplicação e do autor. Para mais informações, consulte o artigo [[Zero elevado a zero|Zero à potência de zero]] . Observe que <math>0^\infty</math> e outras expressões envolvendo infinito não são formas indeterminadas .

== Alguns exemplos e não exemplos ==

=== Forma indeterminada 0<sup>0</sup> ===
<gallery>
Ficheiro:Indeterminate form - x over x.gif|Fig. 1: {{var|y}} = {{sfrac|{{var|x}}|{{var|x}}}}
Ficheiro:Indeterminate form - x2 over x.gif|Fig. 2: {{var|y}} = {{sfrac|{{var|x}}{{sup|2}}|{{var|x}}}}
Ficheiro:Indeterminate form - sin x over x close.gif|Fig. 3: {{var|y}} = {{sfrac|sin&nbsp;{{var|x}}|{{var|x}}}}
Ficheiro:Indeterminate form - complicated.gif|Fig. 4: {{var|y}} = {{sfrac|x &minus; 49|{{radic|x}} &minus; 7}} (para {{var|x}} = 49)
Ficheiro:Indeterminate form - 2x over x.gif|Fig. 5: {{var|y}} = {{sfrac|{{var|a}}{{var|x}}|{{var|x}}}} onde {{var|a}} = 2
Ficheiro:Indeterminate form - x over x3.gif|Fig. 6: {{var|y}} = {{sfrac|{{var|x}}|{{var|x}}{{sup|3}}}}
</gallery>A forma indeterminada <math>0/0</math> é encontrada regularmente em [[cálculo]], porque com frequência surge na avaliação de [[derivada]]s usando sua definição em termos de limite.

Como acima mencionado,

{{block indent|<math> \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1, \qquad </math> (see fig. 1)}}

enquanto

{{block indent|<math> \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = 0,  \qquad </math> (see fig. 2)}}

Isso é o suficiente para mostrar que <math>0/0</math> é uma forma indeterminada. Outros exemplos com esta forma indeterminada incluem

{{block indent|<math> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \qquad </math> (see fig. 3)}}

e

{{block indent|<math> \lim_{x \to 49} \frac{x - 49}{\sqrt{x}\, - 7} = 14, \qquad </math> (see fig. 4)}}

A substituição direta do número que ''<math>x</math>'' se aproxima em qualquer uma dessas expressões mostra que esses são exemplos correspondem à forma indeterminada <math>0/0</math>, mas esses limites podem assumir muitos valores diferentes. Qualquer valor desejado <math>a</math> pode ser obtido para esta forma indeterminada da seguinte forma:

{{block indent|<math> \lim_{x \to 0} \frac{ax}{x} = a . \qquad </math> (see fig. 5)}}

O valor que <math>\infty</math> também pode ser obtido (no sentido de tender ao infinito):

{{block indent|<math> \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \infty . \qquad </math> (see fig. 6)}}<gallery>
Ficheiro:Indeterminate form - x0.gif|Fig. 7: {{var|y}} = {{var|x}} {{sup|0}}
Ficheiro:Indeterminate form - 0x.gif|Fig. 8: {{var|y}} = 0 {{sup|{{var|x}}}}
</gallery>Os limites a seguir ilustram que a expressão <math>0^0</math> é uma forma indeterminada:

{{block indent|<math> \lim_{x \to 0^+} x^0 = 1 , \qquad </math> (see fig. 7)}}

{{block indent|<math> \lim_{x \to 0^+} 0^x = 0 . \qquad </math> (see fig. 8)}}

Assim, em geral, sabendo que <math>\textstyle\lim_{x \to c} f(x) \;=\; 0\!</math>  e <math>\textstyle\lim_{x \to c} g(x) \;=\; 0</math> não é suficiente para avaliar o limite

 {{block indent|<math>\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} .</math>}}

Se as funções <math>f</math> e <math>g</math> são [[Função analítica|analíticas]] em <math>c</math>, e <math>f</math> é positivo para <math>x</math> suficientemente perto (mas não igual) para <math>c</math>, então o limite de <math>f(x)^{g(x)}</math> será <math>1</math> .<ref>{{Citar periódico |titulo=The indeterminate form 0<sup>0</sup> |data=Janeiro de 1977 |ultimo=Louis M. Rotando |ultimo2=Henry Korn |paginas=41&ndash;42 |doi=10.2307/2689754 |volume=50 |periódico=Mathematics Magazine}}</ref> Caso contrário, use a transformação na tabela abaixo para avaliar o limite.

=== Expressões que não são formas indeterminadas ===
A expressão <math>1/0</math> não é comumente considerado como uma forma indeterminada, porque não há uma gama infinita de valores que <math>f/g</math> poderia se aproximar. Especificamente, se <math>f</math> se aproxima de <math>1</math> e <math>g</math> se aproxima de <math>0</math>, então <math>f</math> e <math>g</math> podem ser escolhido para que:

# <math>f/g</math> se aproxime de <math>+\infty</math>
# <math>f/g</math> se aproxima de <math>-\infty</math>
# O limite não existe.

Em cada caso, o valor absoluto <math>|f/g|</math> se aproxima de <math>+\infty</math>, e então o quociente <math>f/g</math> deve divergir, no sentido dos números reais estendidos (no quadro da [[Reta real estendida projetivamente|linha real projetivamente estendida]], o limite é o [[Ponto impróprio|infinito sem sinal]] <math>\infty</math> em todos os três casos <ref name=":3"/> ). Da mesma forma, qualquer expressão do formulário <math>a/0</math> com <math>a\ne0</math> (Incluindo <math>a=+\infty</math> e <math>a=-\infty</math> ) não é uma forma indeterminada, uma vez que o quociente que dá origem a tal expressão sempre diverge.

A expressão <math>0^\infty</math> não é uma forma indeterminada. A expressão <math>0^{+\infty}</math>, obtida considerando <math>\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}</math>, dá o limite <math>0</math>, conquanto que <math>f(x)</math> permanece não negativo como <math>x</math> se aproximando de <math>c</math> . A expressão <math>0^{-\infty}</math> é equivalente a <math>1/0</math> ; E se <math>f(x) > 0</math> quando <math>x</math> se aproxima de  <math>c</math>, o limite sai como <math>+\infty</math> .

Para ver porque, deixe <math>L = \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)},</math> Onde <math> \lim_{x \to c} {f(x)}=0,</math> e <math> \lim_{x \to c} {g(x)}=\infty.</math> Tirando o logaritmo natural de ambos os lados e usando <math> \lim_{x \to c} \ln{f(x)}=-\infty,</math> concluímos que<math>\ln L = \lim_{x \to c} ({g(x)}\times\ln{f(x)})=\infty\times{-\infty}=-\infty,</math> o que significa que <math>L = {e}^{-\infty}=0.</math>

== Avaliando formas indeterminadas ==
O adjetivo ''indeterminado'' ''não'' implica que o limite não exista, como mostram muitos dos exemplos acima. Em muitos casos, a eliminação algébrica, [[Regra de l'Hôpital|a regra de L'Hôpital]] ou outros métodos podem ser usados para manipular a expressão de forma que o limite possa ser avaliado.<ref name=":0"/>

=== Infinitesimal equivalente ===
Quando duas variáveis <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> convergem para zero no mesmo [[ponto limite]] e <math>\textstyle \lim \frac{\beta}{\alpha} = 1</math>, eles são chamados de ''infinitesimais equivalentes'' (equiv. <math>\alpha \sim \beta</math> )

Além disso, se as variáveis <math>\alpha'</math> e <math>\beta'</math> são tais que <math>\alpha \sim \alpha'</math> e <math>\beta \sim \beta'</math>, então:

 

Aqui está uma prova rápida:

Suponha que existam dois infinitesimais equivalentes <math>\alpha \sim \alpha'</math> e <math>\beta \sim \beta'</math> .

 

Para a avaliação da forma indeterminada <math>0/0</math>, pode-se fazer uso dos seguintes fatos sobre [[Infinitesimal|infinitesimais]] equivalentes (por exemplo, <math>x\sim\sin x</math> se ''x'' ficar mais próximo de zero):<ref>{{Citar web |url=http://www.vaxasoftware.com/doc_eduen/mat/infiequi.pdf |titulo=Table of equivalent infinitesimals |website=Vaxa Software}}</ref>

  {{block indent|<math>x \sim \arcsin x,</math>}} {{block indent|<math>x \sim \sinh x,</math>}} {{block indent|<math>x \sim \tan x,</math>}} {{block indent|<math>x \sim \arctan x,</math>}} {{block indent|<math>x \sim \ln(1 + x),</math>}}  {{block indent|<math>\cosh x - 1 \sim \frac{x^2}{2},</math>}} {{block indent|<math>a^x - 1 \sim x \ln a,</math>}} {{block indent|<math>e^x - 1\sim x,</math>}} {{block indent|<math>(1 + x)^a - 1 \sim ax.</math>}}

Por exemplo:

 {{block indent|<math>\begin{align}\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^x - 1 \right] & = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x\ln{\frac{2 + \cos x}{3}}}-1}{x^3} \\ & =  \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{2+ \cos x}{3} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\cos x -1}{3}+1\right) \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x -1}{3x^2} \\ &= \lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{6x^2} \\ & = -\frac{1}{6}\end{align}</math>}}

Na <sup>2ª</sup> igualdade, <math>e^y - 1 \sim y</math> onde <math>y = x\ln{2+\cos x \over 3}</math> conforme ''y'' se torna mais próximo de 0 é usado, e <math>y \sim \ln {(1+y)}</math> onde <math>y = {{\cos x - 1} \over 3}</math> é usado na <sup>4ª</sup> igualdade, e <math>1-\cos x \sim {x^2 \over 2}</math> é usado na <sup>5ª</sup> igualdade.

=== Regra de L'Hôpital ===
A regra de L'Hôpital é um método geral para avaliar as formas indeterminadas <math>0/0</math> e <math>\infty/\infty</math> . Esta regra afirma que, sob condições apropriadas
 {{block indent|<math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} ,</math>}}

onde <math>f'</math> e <math>g'</math> são as [[derivada]]s de <math>f</math> e <math>g</math> . (Observe que esta regra não ''se'' aplica a expressões <math>\infty/0</math>, <math>1/0</math>, e assim por diante, visto que essas expressões não são formas indeterminadas. ) Essas derivadas permitirão realizar a simplificação algébrica e, eventualmente, avaliar o limite.

A regra de L'Hôpital também pode ser aplicada a outras formas indeterminadas, usando primeiro uma transformação algébrica apropriada. Por exemplo, para avaliar a forma 0 <sup>0</sup> :

 {{block indent|<math> \ln \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} .</math>}}

O lado direito tem a forma <math>\infty/\infty</math>, então a regra de L'Hôpital se aplica a ele. Observe que essa equação é válida (desde que o lado direito seja definido) porque o [[logaritmo natural]] (ln) é uma [[função contínua]] ; é irrelevante o quão bem comportado <math>f</math> e <math>g</math> pode (ou não) ser tão longo quanto <math>f</math> é assintoticamente positivo. (o domínio dos logaritmos é o conjunto de todos os números reais positivos. )

Embora a regra de L'Hôpital se aplique a ambos <math>0/0</math> e <math>\infty/\infty</math>, uma dessas formas pode ser mais útil do que a outra em um caso particular (devido à possibilidade de simplificação algébrica posteriormente). Pode-se mudar entre essas formas, se necessário, transformando <math>f/g</math> para <math>(1/g)/(1/f)</math> .

== Lista de formas indeterminadas ==
A tabela a seguir lista as formas indeterminadas mais comuns e as transformações para a aplicação da regra de l'Hôpital.
{| class="wikitable" border="1" style="background-color: #ffffff; width: 85%;"
!Forma indeterminada
! Condições
! Transformação para <math>0/0</math>
! Transformação para <math>\infty/\infty</math>
|-
|{{Frac-2|0|0}}
| <math> \lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
|<center> &#x2014;</center>
| <math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|-
|{{Frac-2|<math>\infty</math>|<math>\infty</math>}}
| <math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|<center> &#x2014;</center>
|-
| <math>0\cdot\infty</math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|-
| <math>\infty - \infty</math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} \! </math>
|-
| <math>0^0</math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|-
| <math>1^\infty</math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x) = 1,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
|-
| <math>\infty^0</math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
| <math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|}

== Ver também ==

*
* [[Divisão por zero]]
* [[Regra de l'Hôpital|Regra de L'Hôpital]]

== Referências ==
{{Referências}}

[[Categoria:Matemática]]
[[Categoria:Cálculo diferencial]]