Mostrar código-fonte de Função injectiva

Na [[matemática]], uma '''função injectiva''' (ou '''injetora''') é uma [[Função (matemática)|função]] que preserva a distinção: nunca aponta elementos distintos de seu [[Domínio (matemática)|domínio]] para o mesmo elemento de seu [[contradomínio]]. Em outras palavras, cada elemento do contradomínio da função é a [[imagem]] de no máximo um elemento de seu domínio. Ou seja, Uma [[função (matemática)|função]] diz-se '''injectiva''' (ou '''injetora''') [[se e somente se]] quaisquer que sejam <math>x_1</math> e <math>x_2</math> (pertencentes ao [[Domínio (matemática)|domínio]] da função), <math>x_1</math> é diferente de <math>x_2</math> implica que f(<math>x_1</math>) é diferente de f(<math>x_2</math>): <math>x_1 \neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2).</math>
{{Gallery
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|style="text-align: center;"
|Image:Injection.svg|Uma função injetiva, mas não sobrejetiva ('''injeção''', não é uma [[bijeção]])|Image:Bijection.svg|Uma função injetiva e sobrejetiva ([[bijeção]])|Image:Surjection.svg|Uma função sobrejetiva, mas não injetiva ([[sobrejeção]], não é uma [[bijeção]])
|Image:Not-Injection-Surjection.svg|Uma função nem injetiva, nem sobrejetiva (também não é uma [[bijeção]])
}}
Graficamente, uma função <math>f</math> é injectiva se e somente se nenhuma [[Reta|recta]] horizontal intersecta o seu [[gráfico de uma função|gráfico]] em mais do que um ponto.

É importante notar que, neste tipo de função, o [[contradomínio]] tem uma [[cardinalidade]] sempre maior ou igual à do domínio. Além disso, pode haver mais elementos no contra-domínio que no [[conjunto imagem]] da função.

Ocasionalmente, uma função injetiva de <math>X</math> a <math>Y</math> é denotada <math>f: X \rightarrowtail Y,</math> usando uma seta com uma "cauda separada" ({{unichar|21A3|RIGHTWARDS ARROW WITH TAIL|ulink=Unicode}}).<ref>{{citar web|título= Unicode| url = https://www.unicode.org/charts/PDF/U2190.pdf|acessodata= 2013-05-11}}</ref> O [[conjunto]] de funções injetivas de <math>X</math> a <math>Y</math> pode ser denominado <math>Y^{\underline{X}}</math> usando uma notação derivada daquela usada para decrescimento de potências fatoriais, uma vez que se <math>X</math> e <math>Y</math> são [[Conjunto finito|conjuntos finitos]] com respectivamente <math>m</math> e <math>n</math> elementos, o número de injeções de <math>X</math> a <math>Y</math> é <math>n^{\underline{m}}.</math>

Um [[Monomorfismo (teoria das categorias)|monomorfismo]] é uma generalização de uma função injetiva na [[teoria das categorias]].

== Definição ==
Seja <math>f</math> uma função cujo [[Domínio (matemática)|domínio]] é um conjunto <math>X.</math> Diz-se que a função <math>f</math> é '''injetiva''' desde que [[Quantificação universal|para todos]] <math>a</math> e <math>b</math> em <math>X,</math> sempre que <math>f (a) = f (b),</math> então <math>a = b;</math> isto é, <math>f (a) = f (b)</math> [[Implicação|implica]] <math>a = b.</math> Equivalente, se <math>a \neq b,</math> então <math>f (a) \neq f (b).</math>

Simbolicamente,

<math display="block">\forall a,b \in X, \;\; f(a)=f(b) \Rightarrow a=b</math>

que é logicamente equivalente à [[Contraposição|contrapositiva]],

<math display="block">\forall a,b \in X, \;\; a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)</math>

== Exemplos ==
* A função <math>f:\R\rightarrow\R,</math> definida por <math>f(x) = x^2</math> não é injectiva, pois existe pelo menos um ''<math>a\in\R</math>'' tal que <math>f(a) = f(-a),</math> por exemplo, para <math>a=2.</math> Isto é, o domínio da função admite que dois objectos distintos tenham a mesma imagem. Noutras palavras, existem dois valores diferentes que possam substituir a variável <math>x</math> para que o valor da função <math>f(x)</math> seja igual a 4. Esses valores são 2 e -2.
* A função <math>f:[0,\infty) \rightarrow [0,\infty)</math> definida por <math>f(x) = x^2</math> é injectiva, pois implica que <math>f(a)</math> deve ser diferente de <math>f(b),</math> para <math>a \neq b.</math> Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 4, poderíamos substituir a variável <math>x</math> somente pelo número 2.
* A função <math>f:\R\rightarrow\R,</math> definida por <math>f(x) = x^3</math> é injectiva, pois implica que <math>f(a)</math> deve ser diferente de <math>f(b),</math> para <math>a \neq b.</math> Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 8, poderíamos substituir a variável <math>x</math> somente pelo número 2, enquanto que para que a função seja igual a -8, poderíamos substituir a variável <math>x</math> somente pelo número -2.

== Aplicações lineares ==
* Uma ''transformação linear'' <math>T:U\rightarrow V</math> é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, o seu núcleo <math>ker(T)</math> — ou ainda, <math>N(T)</math> — contiver apenas o [[vetor nulo]] e, pois, tiver [[dimensão zero]] — isto é, <math>dim(ker(T)) = 0.</math>

A demonstração segue adiante:

→ Hipótese: T '''não é''' injetora → <math>T(u) = T(v),</math> com <math>u \neq v,</math> para algum <math>u, v \in U.</math>

Das propriedades da transformação linear:

→ <math>T(u) - T(v) = 0 \Leftrightarrow T(u-v) = 0</math>

Como u ≠ v ⇔ u - v ≠ 0, então:

→ <math>\{u - v\} \subseteq ker(T) \therefore ker(T) \neq \{0\} \rightarrow dim(ker(T)) > 0.</math>

O caso de T ser injetora é exclusivo e podemos afirmar que se <math>\mbox{T é injetora} \leftrightarrow ker(T) = \{0\} \leftrightarrow dim(ker(T)) = 0.</math>

* Uma ''transformação linea''r <math>A:E\rightarrow F</math> também é dita injetiva se, e somente se, leva vetores L.I em vetores L.I. (LI = [[Independência linear|linearmente independentes]])
Segue a demonstração:

→ <u>Prova da ida:</u>

'''Hipótese:''' A é injetiva

'''Tese:''' A leva vetores LI em vetores LI.

Se <math>v1, v2, ..., vn \in E</math> são linearmente independentes provaremos que <math>A(v1), A(v2), ..., A(vn) \in F</math> são linearmente independentes.

Com efeito se <math>\alpha 1.A(v1) + \alpha2.A(v2) + ... + \alpha n.A(vn) = 0</math>

''Usando a linearidade de A:''

⇒ <math>A(\alpha1.v1) + A(\alpha2.v2) + ... + A(\alpha n.vn) = 0</math>

⇒ <math>A(\alpha 1.v1 + \alpha 2.v2 + ... + \alpha n.vn) = 0</math>

Então temos que <math>\alpha1.v1 + \alpha2.v2 + ... + \alpha n.vn</math> pertence ao núcleo de <math>A,</math> e como <math>A</math> é injetiva, <math>Ker(A) = \{0\},</math> ou seja,

<math>\alpha1.v1 + \alpha2.v2 + ... + \alpha n.vn = 0</math>'','' como <math>v1, v2, ..., vn</math> são ''LI'' tem-se <math>\alpha1 = \alpha2 = ... = \alpha n = 0</math>'','' ou seja <math>A(v1), A(v2), ..., A(vn)</math> são ''linearmente independentes.''

← <u>Prova da volta:</u>

'''Hipótese:''' A leva vetores LI em vetores LI.

'''Tese:''' A é injetiva.

Sendo <math>v \neq 0, v \in E \Rightarrow \{v\}</math> é LI então <math>\{A(v)\}</math> é <math>\mbox{LI} \Rightarrow A(v) \neq 0,</math> portanto <math>Ker(A) = \{0\}</math> e <math>A</math> é injetiva.

Segue-se desse teorema que se <math>E</math> tem dimensão finita, <math>dim(F) \geq dim(E),</math> assim por exemplo não existe transformação linear injetiva de <math>\mathbb{R}^3</math> em <math>\mathbb{R}^2.</math>

== Injeções podem ser desfeitas ==
[[Ficheiro:Schéma image réciproque.png|miniaturadaimagem|Cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio. Assim, é possível 'desfazer' a função, ou seja, encontrar uma função inversa que retorne ao valor original.]]
Funções com [[Função inversa#Inversa à direita ou à esquerda|inversas à esquerda]] são sempre injeções. Isto é, dado <math>f: X \rightarrow Y,</math> se houver uma função <math>g: Y \rightarrow X</math> tal que, para cada <math>x\in X,</math>

<math display="block">g(f(x)) = x</math> (<math>f</math> pode ser desfeita por <math>g</math>)

então <math>f</math> é injetiva. Nesse caso, <math>g</math> é chamada de retração de <math>f.</math> Por outro lado, <math>f</math> é chamado de seção de <math>g.</math>

Inversamente, toda injeção <math>f</math> com domínio não vazio tem uma <math>g</math> inversa à esquerda, que pode ser definida fixando um elemento a no domínio de <math>f</math> de modo que <math>g (x)</math> seja igual à [[Imagem recíproca|pré-imagem]] única de <math>x</math> sob <math>f,</math> se existir e <math>g ( x) = a</math> caso contrário.{{refn|Ao contrário da afirmação correspondente de que toda função sobrejetiva tem um inverso à direita, isso não requer o [[axioma da escolha]], já que a existência de ''a'' é implicada pela não-vacuidade do domínio. No entanto, esta afirmação pode falhar em matemática menos convencional, como a matemática construtiva. Na matemática construtiva, a inclusão {{nowrap|{0,1} → '' 'R' ''}} do conjunto de dois elementos nos reais não pode ter inversão à esquerda, pois violaria [[indecomposição]], dando uma [[Retração (teoria das categorias)|retração]] da reta real para o conjunto {0,1}.}}

A inversa à esquerda <math>g</math> não é necessariamente um inverso de <math>f</math> porque a composição na outra ordem, <math>f \circ g,</math> pode diferir da identidade em <math>Y.</math> Em outras palavras, uma função injetora pode ser "invertida" por uma inversa à esquerda, mas é não necessariamente invertível, o que requer que a função seja [[bijetiva]].

== Injeções podem tornar-se invertíveis ==

Na verdade, para transformar uma função injetora <math>f: X \rightarrow Y</math>  em uma [[Função bijectiva|função bijetiva]] (portanto, [[Função inversa|invertível]]), basta substituir seu contradomínio <math>Y</math> pelo seu intervalo real <math>J = f (X).</math> Isto é, vamos <math>g: X \rightarrow J</math> tal que <math>g(x)=f(x)</math> para todo <math>x</math> em <math>X;</math> então g é bijetiva. De fato, <math>f</math> pode ser fatorada como <math>incl_{J,Y} \circ g,</math> onde <math>incl_{J,Y}</math> é a [[Função inclusão|função de inclusão]] de <math>J</math> em <math>Y.</math>

Mais geralmente, as [[Função parcial|funções parciais]] injetivas são chamadas de bijeções parciais.

== Outras propriedades ==

* Se <math>f</math> e <math>g</math> são ambas injetivas, então <math>f \circ g</math> é injetiva.
[[Imagem:Injective composition2.svg|thumb|300px|A composição de duas funções injetivas é injetiva]]
* Se <math>g \circ f</math> é injetiva, então <math>f</math> é injetiva (mas <math>g</math> não precisa ser).
*<math>f: X \rightarrow Y</math> é injetiva [[Se e somente se|se, e somente se]], dadas quaisquer funções <math>g, h: W \rightarrow X</math> sempre que <math>f \circ g = f \circ h,</math> então <math>g = h.</math> Em outras palavras, funções injetivas são precisamente os [[Monomorfismo (teoria das categorias)|monomorfismos]] na categoria ''Conjunto de conjuntos''.
* Se <math>f: X \rightarrow Y</math> é injetiva e <math>A</math> é um [[subconjunto]] de <math>X,</math> então <math>f^{-1} (f (A)) = A.</math> Assim, <math>A</math> pode ser recuperado de sua [[Imagem (matemática)|imagem]] <math>f (A).</math>
* Se <math>f: X \rightarrow Y</math> é injetiva e <math>A</math> e <math>B</math> são ambos subconjuntos de <math>X,</math> então <math>f (A \cap B) = f (A) \cap f (B).</math>
* Cada função <math>h: W \rightarrow Y</math> pode ser decomposta como <math>h = f \circ g</math> para uma injeção adequada <math>f</math> e uma sobrejeção <math>g.</math> Esta decomposição é única até o [[isomorfismo]], e <math>f</math> pode ser considerada como a [[Função inclusão|função de inclusão]] do intervalo <math>h (W)</math> de <math>h</math> como um subconjunto do contradomínio <math>Y</math> de <math>h.</math>
* Se <math>f: X \rightarrow Y</math> é uma função injetiva, então <math>Y</math> tem pelo menos tantos elementos quanto <math>X,</math> no sentido de [[números cardinais]]. Em particular, se, além disso, houver uma injeção de <math>Y\! <</math> para <math>X,</math> então <math>X</math> e <math>Y</math> terão o mesmo número cardinal. (Isso é conhecido como o [[teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder]].)
* Se tanto <math>X</math> quanto <math>Y</math> são finitos com o mesmo número de elementos, então <math>f: X \rightarrow Y</math> é injetiva se e somente se <math>f</math> é sobrejetiva (nesse caso <math>f</math> é bijetiva).
*Uma função injetiva que é um [[homomorfismo]] entre duas [[Estrutura algébrica|estruturas algébricas]] é uma incorporação.
*Ao contrário da sobrejetividade, que é uma relação entre o gráfico de uma função e seu contradomínio, a injetividade é uma propriedade do gráfico da função sozinha; isto é, se uma função <math>f</math> é injetiva pode ser decidida considerando apenas o gráfico (e não o contradomínio) de <math>f.</math>

== Provando que as funções são injetivas ==
Uma prova de que uma função <math>f</math> é injetiva depende de como a função é apresentada e quais propriedades ela contém. Para funções que são dadas por alguma fórmula, há uma ideia básica. Usamos a contrapositiva da definição de injetividade, ou seja, se <math>f (x) = f (y),</math> então <math>x = y.</math> <ref>{{citar web|último =Williams|primeiro =Peter|título=Proving Functions One-to-One|url=http://www.math.csusb.edu/notes/proofs/bpf/node4.html|arquivodata=4 de junho de 2017|arquivourl=https://web.archive.org/web/20170604162511/http://www.math.csusb.edu/notes/proofs/bpf/node4.html}}</ref>

=== Exemplo 1 ===

<math display="block">f = 2x + 3</math>

<u>Prova</u>: Seja <math>f: X \rightarrow Y.</math> Suponha que <math>f (x) = f (y).</math> Então, <math>2x + 3 = 2y + 3 \Rightarrow 2x = 2y \Rightarrow x = y.</math> Portanto, segue da definição que <math>f</math> é injetiva.

=== Exemplo 2 ===
<math display="block">h(x) = \frac{2x+5}{1+x^2}</math><math>h(x)</math> <u>não é</u> injetiva, já que para <math>h(0)</math> e <math>h\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)</math> temos  <math>h(0) = h\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr) = 5</math> , ou seja, <math>h(x) = h(y)</math> com <math>x \neq y</math>.

Existem vários outros métodos para provar que uma função é injetiva. Por exemplo, no [[cálculo]] se <math>f</math> é uma [[função diferenciável]] definida em algum intervalo, então é suficiente mostrar que a derivada é sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Na [[álgebra linear]], se <math>f</math> é uma [[transformação linear]], é suficiente mostrar que o núcleo de <math>f</math> contém apenas o vetor zero. Se <math>f</math> é uma função com domínio finito, basta olhar a lista de imagens de cada elemento de domínio e verificar se nenhuma imagem ocorre duas vezes na lista.

== Ver também ==
{{Correlatos
|wikilivros = Matemática elementar/Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras
}}
* [[Função sobrejectiva|Função sobrejetiva]]
* [[Função bijectiva]]
* [[Teorema da função inversa]]

== Notas ==
<references/>

== Referências ==
* {{Citation |último1 =Bartle |primeiro1 =Robert G. |título=The Elements of Real Analysis |publicado=[[John Wiley & Sons]] |local=New York |edição=2nd | isbn=978-0-471-05464-1 |ano=1976}}, p.&nbsp;17 ''ff''.
* {{Citation |último1 =Halmos |primeiro1 =Paul R. |autorlink1 =Paul R. Halmos |título=[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]] | isbn=978-0-387-90092-6 |ano=1974 |publicado=Springer |local=New York}}, p.&nbsp;38 ''ff''.
== Ligações externas ==
{{Commons category|Injectivity}}
* [http://ava.cesad.ufs.br/cat/PDF/Fundamentos%20de%20Matematica/Fundamentos%20de%20Matematica%20aula%2015.pdf Aula sobre os tipos de funções]
*[http://jeff560.tripod.com/i.html Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.]
*[http://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/v/surjective--onto--and-injective--one-to-one--functions Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions]

{{Funções}}

[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]
[[Categoria:Funções matemáticas|Injetiva]]
{{Controle de autoridade}}