Mostrar código-fonte de Functor

Na [[matemática]], mais precisamente [[teoria das categorias]], um '''functor''' ou '''funtor'''<ref name=portaletra>{{citar web |url=https://portuguesaletra.com/acordo-ortografico/functor-ou-funtor-ao/ |titulo=Functor ou Funtor |autor=Português à letra |acessodata=30 de março de 2020}}</ref> é um mapeamento entre [[categoria (teoria das categorias)|categoria]]s, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um [[homomorfismo de grupos]] preserva o elemento neutro e a operação do grupo.

Segundo [[Saunders Mac Lane]], o conceito de functor foi, pela primeira vez, reconhecido na [[topologia algébrica]], no estudo de [[grupo de homologia|grupos de homologia]].<ref name=maclaneDef />

==Definição==
Dadas categorias {{math|''C''}} e {{math|''D''}}, um '''functor''' de {{math|''C''}} até {{math|''D''}}, escrito {{math|''F'' : ''C'' → ''D''}}, consiste
* de uma atribuição, a cada objeto {{math|''x'' ∈ ''C''}}, de um objeto {{math|''F''(''x'') ∈ ''D''}},
* de uma atribuição, a cada morfismo {{math|''f'' : ''x'' → ''y''}}, de um morfismo {{math|''F''<sub>''x'', ''y''</sub>(''f'') {{=}} ''F''(''f'') : ''F''(''x'') → ''F''(''y'')}}, (equivalentemente, {{math|dom(''F''(''f'')) {{=}} ''F''(dom(''f''))}} e {{math|cod(''F''(''f'')) {{=}} ''F''(cod(''f''))}})
satisfazendo
* {{math|''F''(1<sub>''x''</sub>) {{=}} 1<sub>''F''(''x'')</sub>}} para cada objeto {{math|''x'' ∈ ''C''}},
* {{math|''F''(''g'' ∘ ''f'') {{=}} ''F''(''g'') ∘ ''F''(''f'')}} para cada dupla de morfismos {{math|''f'' : ''x'' → ''y''}} e {{math|''g'' : ''y'' → ''z''}}.
Chama-se esse {{math|''F'' : ''C'' → ''D''}} mais explicitamente de '''functor covariante'''. Há, também, o conceito de '''functor contravariante'''<ref group=nota>O nome '''cofunctor''' é usado, mas não é recomendado.</ref><ref name=mathse>{{citar web |url=https://math.stackexchange.com/questions/394472/is-cofunctor-an-accepted-term-for-contravariant-functors |titulo=Is “cofunctor” an accepted term for contravariant functors? – Math.Stackexchange |ultimo=Vergura |primeiro=Marco |data=setembro de 2015}}</ref> de {{math|''C''}} até {{math|''D''}}, atribuindo, a cada morfismo {{math|''f'' : ''x'' → ''y''}}, um morfismo {{math|''G''(''f'') : ''F''(''y'') → ''F''(''x'')}}, satisfazendo {{math|''G''(1<sub>''x''</sub>) {{=}} 1<sub>''G''(''x'')</sub>}} e {{math|''G''(''g'' ∘ ''f'') {{=}} ''G''(''f'') ∘ ''G''(''g'')}}; os functores contravariantes de {{math|''C''}} até {{math|''D''}} estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes {{math|''C''<sup>op</sup> → ''D''}}, em que {{math|''C''<sup>op</sup>}} denota a [[categoria (teoria das categorias)#Categoria oposta|categoria oposta]] a {{math|''C''}}.

Por vezes, em vez de se dizer que {{math|''F''}} é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição {{math|''x'' ↦ ''F''(''x'')}} é '''functorial'''.<ref name=maclaneDef>{{harv | Mac Lane | loc=§I.3, §II.2}}</ref><ref name=riehlDef>{{harv | Riehl | loc=§1.3}}</ref><ref name=accDef>{{harv | Adámek, Herrlich, Strecker |loc=§I.3.17}}</ref><ref name=aluffiDef>{{harv | Aluffi | loc=§VIII.1.1}}</ref>

===Exemplos===
* Dadas {{math|''A''}} e {{math|''B''}} categorias, com objeto {{math|''b'' ∈ ''B''}}, há o '''functor constante''' {{math|Δ(''b'') : ''A'' → ''B''}}, com atribuição<math display="block">
\Delta(b) (x \xrightarrow{f} y) = b \xrightarrow{1_b} b .</math>
* Se {{math|'''Set'''}} denota a categoria dos [[categoria pequena (teoria das categorias)|conjuntos pequenos]], há {{math|''Q''}} functor contravariante de {{math|'''Set'''}} a {{math|'''Set'''}}, com atribuição<math display="block">
Q (A \xrightarrow{f} B) = \operatorname{P}(B) \xrightarrow{S \mapsto f^{\leftarrow}(S)} \operatorname{P}(A),
</math>em que {{math|P(''A'')}} é o [[conjunto de partes]] de {{math|''A''}}, e {{math|''f''<sup>←</sup>(''S'')}} é a [[pré-imagem]] de {{math|''S''}} por {{math|''f''}}.
* Se {{math|''K''-'''Vet'''}} denota a categoria dos [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] pequenos sobre um corpo {{math|''K''}}, há functor contravariante {{math|(_)<sup>*</sup>}} de {{math|''K''-'''Vet'''}} de {{math|''K''-'''Vet'''}}, com correspondência<math display="block">
(U \xrightarrow{\Lambda} V)^{*} = V^{*} \xrightarrow{f \mapsto f \circ \Lambda} U^{*} ,
</math>em que {{math|''U''<sup>*</sup> {{=}} hom<sub>''K''</sub>(''U'', ''K'')}} denota o [[espaço dual]] a {{math|''U''}}.
* A atribuição de cada espaço com base {{math|(''X'', ''x'')}} ao correspondente [[grupo fundamental]] {{math|π<sub>1</sub>(''X'', ''x'')}} é functorial.<ref name=accExemplo>{{harv | Adámek, Herrlich, Strecker | loc=§I.3.20}}</ref><ref name=riehlDef />

===Bifunctor===
Um '''bifunctor''' é um functor cujo domínio é um [[produto de categorias]] {{math|''B'' × ''C''}}. Dado bifunctor {{math|''F'' : ''B'' × ''C'' → ''D''}} e objeto {{math|''c'' ∈ ''C''}}, o functor {{math|''F''(–, ''c'') : ''B'' → ''D''}} é definido por:<math display="block">
F (-, c) (b \xrightarrow{f} b') = F ((b, c) \xrightarrow{(f, 1_c)} (b', c)) .
</math>De forma análoga, há o functor {{math|''F''(''b'', –) : ''C'' → ''D''}}.<ref name=maclaneBifunctor>{{harv | Mac Lane | loc=§II.3}}</ref>

===Categoria de categorias e functores===
Para cada {{math|''U''}} [[universo de Grothendieck]], há a categoria <math>U\text{-}\mathsf{Cat}</math> (ou, brevemente, <math>\mathsf{Cat}</math>) cujos objetos são as categorias que pertencem a {{math|''U''}} e cujos morfismos são os functores entre essas categorias.<ref name=maclaneCat>{{harv | Mac Lane | loc=§I.3, §I.6}}</ref><ref name=riehlDef />

Um conceito similar é a categoria de functores {{math|''D''<sup>''C''</sup>}}, cujos objetos são os functores {{math|''C'' → ''D''}}, e cujos morfismos são as [[transformação natural (teoria das categorias)|transformações naturais]] entre esses functores.<ref name=maclaneFunc>{{harv | Mac Lane | loc=§II.4}}</ref>

==Functor hom==
Seja <math>C</math> uma categoria. Denotando-se por <math>\textsf{Set}</math> uma categoria de conjuntos [[categoria pequena (teoria das categorias)|suficientemente grande]], há functor<ref>{{harv | Mac Lane | loc=§II.2, §II.3}}</ref>
<math display="block">\mathrm{hom} : C^{\mathrm{op}} \times C \rightarrow \textsf{Set}</math>
em que <math>\mathrm{hom}(X, Y)</math> é o conjunto de morfismos <math>X \rightarrow Y</math>, e, dados <math>f : X' \rightarrow X</math>, <math>g : Y \rightarrow Y'</math> morfismos em <math>C</math>,
<math display="block">\mathrm{hom}(f, g) = g \circ \text{-} \circ f = (k \mapsto g \circ k \circ f) : \mathrm{hom}(X, Y) \rightarrow \mathrm{hom}(X', Y') . </math>

==Ligações externas==
* [ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo]
* [https://web.archive.org/web/20071006145952/http://minerva.ufpel.tche.br/~campani/cat.pdf Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani]

{{Notas |group=notas}}
{{Referências}}
==Bibliografia==
* {{citar livro |ultimo1=ADÁMEK |primeiro1=Jiří |ultimo2=HERRLICH |primeiro2=Horst |ultimo3=STRECKER |primeiro3=George E. |data=2004 |titulo=Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats |url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc}}
* {{citar livro |ultimo=ALUFFI |primeiro=Paolo |data=2009 |titulo=Algebra: Chapter 0 |edicao=1 |editora=American Mathematical Society |series=Graduate Studies in Mathematics |isbn=978-0-8218-4781-7}}
* {{citar livro |ultimo=MAC LANE |primeiro=Saunders |data=1998 |titulo=Categories for the Working Mathematician |series=Graduate Texts in Mathematics |edicao=2 |editora=Springer |isbn=0-387-98403-8}}
* {{citar livro |ultimo=RIEHL |primeiro=Emily |data=2014 |titulo=Category Theory in Context |url=http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context/}}

{{Teoria das categorias}}

[[Categoria:Teoria das categorias]]