Functor

Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, um functor ou funtor é um mapeamento entre categorias, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro e a operação do grupo.

Segundo Saunders Mac Lane, o conceito de functor foi, pela primeira vez, reconhecido na topologia algébrica, no estudo de grupos de homologia.

Definição

Dadas categorias Predefinição:Math e Predefinição:Math, um functor de Predefinição:Math até Predefinição:Math, escrito Predefinição:Math, consiste

• de uma atribuição, a cada objeto Predefinição:Math, de um objeto Predefinição:Math,
• de uma atribuição, a cada morfismo Predefinição:Math, de um morfismo Predefinição:Math, (equivalentemente, Predefinição:Math e Predefinição:Math)

satisfazendo

• Predefinição:Math para cada objeto Predefinição:Math,
• Predefinição:Math para cada dupla de morfismos Predefinição:Math e Predefinição:Math.

Chama-se esse Predefinição:Math mais explicitamente de functor covariante. Há, também, o conceito de functor contravariante de Predefinição:Math até Predefinição:Math, atribuindo, a cada morfismo Predefinição:Math, um morfismo Predefinição:Math, satisfazendo Predefinição:Math e Predefinição:Math; os functores contravariantes de Predefinição:Math até Predefinição:Math estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes Predefinição:Math, em que Predefinição:Math denota a categoria oposta a Predefinição:Math.

Por vezes, em vez de se dizer que Predefinição:Math é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição Predefinição:Math é functorial.

Exemplos

• Dadas Predefinição:Math e Predefinição:Math categorias, com objeto Predefinição:Math, há o functor constante Predefinição:Math, com atribuição$$\mathrm{\Delta }(b)(x\stackrel{f}{\to }y)=b\stackrel{1_b}{\to }b.$$
• Se Predefinição:Math denota a categoria dos conjuntos pequenos, há Predefinição:Math functor contravariante de Predefinição:Math a Predefinição:Math, com atribuição$$Q(A\stackrel{f}{\to }B)=\mathrm{P}(B)\stackrel{S\mapsto f^{\leftarrow }(S)}{\to }\mathrm{P}(A),$$em que Predefinição:Math é o conjunto de partes de Predefinição:Math, e Predefinição:Math é a pré-imagem de Predefinição:Math por Predefinição:Math.
• Se Predefinição:Math denota a categoria dos espaços vetoriais pequenos sobre um corpo Predefinição:Math, há functor contravariante Predefinição:Math de Predefinição:Math de Predefinição:Math, com correspondência$$(U\stackrel{\mathrm{\Lambda }}{\to }V{)}^{*}=V^{*}\stackrel{f\mapsto f\circ \mathrm{\Lambda }}{\to }{U}^{*},$$em que Predefinição:Math denota o espaço dual a Predefinição:Math.
• A atribuição de cada espaço com base Predefinição:Math ao correspondente grupo fundamental Predefinição:Math é functorial.

Bifunctor

Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias Predefinição:Math. Dado bifunctor Predefinição:Math e objeto Predefinição:Math, o functor Predefinição:Math é definido por:$$F(-,c)(b\stackrel{f}{\to }{b}^{\prime })=F((b,c)\stackrel{(f,1_c)}{\to }(b^{\prime },c)).$$De forma análoga, há o functor Predefinição:Math.

Categoria de categorias e functores

Para cada Predefinição:Math universo de Grothendieck, há a categoria $U\text{-}𝖢𝖺𝗍$ (ou, brevemente, $𝖢𝖺𝗍$) cujos objetos são as categorias que pertencem a Predefinição:Math e cujos morfismos são os functores entre essas categorias.

Um conceito similar é a categoria de functores Predefinição:Math, cujos objetos são os functores Predefinição:Math, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.

Functor hom

Seja $C$ uma categoria. Denotando-se por $\mathsf{\text{Set}}$ uma categoria de conjuntos suficientemente grande, há functor $$\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}:C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times C\to \mathsf{\text{Set}}$$ em que $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,Y)$ é o conjunto de morfismos $X\to Y$, e, dados $f:X^{\prime }\to X$, $g:Y\to Y^{\prime }$ morfismos em $C$, $$\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(f,g)=g\circ \text{-}\circ f=(k\mapsto g\circ k\circ f):\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,Y)\to \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(X^{\prime },Y^{\prime }).$$

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Bibliografia

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