Transformação natural (teoria das categorias)

Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, uma transformação natural entre functores paralelos $F,G:C\to D$ é uma coleção de morfismos $F(X)\to G(X)$ satisfazendo certas condições. O conceito pode ser usado para dar um significado rigoroso a expressões como "natural" e "canônico".

Definição

Se $F,G$ são functores entre categorias $C$ e $D$, uma transformação natural $\eta :F\dot{\to }G$ é uma família de morfismos ${\eta }_X:F(X)\to G(X)$ para cada objeto $X$ de $C$, chamados componentes, satisfazendo, para cada morfismo $f:X\to Y$ em $C$ a condição de naturalidade:

$${\eta }_Y\circ F(f)=G(f)\circ {\eta }_X.$$

Pode-se expressar essa igualdade como o diagrama comutativo:

Quando isso vale, diz-se que ${\eta }_X:F(X)\to G(X)$ é natural em $X$; essa expressão deixa implícita a ação dos functores nos morfismos da categoria Predefinição:Math. As notações $\eta :F\Rightarrow G$ e $\eta :F⇝G$ também são usadas.

Um isomorfismo natural é uma transformação natural cujas componentes são isomorfismos.

Categorias de functores

Dadas categorias $C,D$, temos a categoria dos functores $D^C$, cujos objetos são os functores $C\to D$, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.

Composições vertical e horizontal

A composição de morfismos em $D^C$ é chamada composição vertical; dadas transformações naturais $\sigma :F\dot{\to }G$, $\tau :G\dot{\to }H$, temos que $\tau \cdot \sigma$ tem componentes

$$(\tau \cdot \sigma {)}_X={\tau }_X\circ {\sigma }_X$$

Também há a composição horizontal; dadas transformações naturais $\tau :S\dot{\to }T$, ${\tau }^{\prime }:S^{\prime }\dot{\to }{T}^{\prime }$, temos que ${\tau }^{\prime }\circ \tau :S^{\prime }S\dot{\to }{T}^{\prime }T$ tem componentes

$$({\tau }^{\prime }\circ \tau {)}_X=T^{\prime }({\tau }_X)\circ \tau {\text{'}}_{S(X)}=\tau {\text{'}}_{T(X)}\circ S^{\prime }({\tau }_X)$$

A segunda igualdade acima é consequência da condição de naturalidade.

Há seguinte relação entre os dois tipos de composição: $({\tau }^{\prime }\cdot {\sigma }^{\prime })\circ (\tau \cdot \sigma )=({\tau }^{\prime }\circ \tau )\cdot ({\sigma }^{\prime }\circ \sigma )$.

Exemplos

• Há morfismo natural de cada espaço vetorial (sobre um corpo qualquer) ao espaço dual de seu dual. Mais precisamente, os mapeamentos Predefinição:Math, para cada espaço vetorial Predefinição:Math, definidos por Predefinição:Math, formam uma transformação natural Predefinição:Math; a condição de naturalidade refere-se à igualdade$${\varphi }^{\ast \ast }\circ {\mathrm{a}\mathrm{p}}_V={\mathrm{a}\mathrm{p}}_W\circ \varphi$$para cada mapeamento linear Predefinição:Math, onde Predefinição:Math.
• A única transformação natural Predefinição:Math, em que Predefinição:Math é o functor na categoria dos espaços vetoriais definido por$$F(V\stackrel{\varphi }{\to }W)=V\otimes V\stackrel{v\otimes v^{\prime }\mapsto \varphi (v)\otimes \varphi (v^{\prime })}{\to }W\otimes W$$em que $\otimes$ denota o produto tensorial, é aquela cujas componentes são os mapeamentos nulos. Intuitivamente, qualquer definição de mapeamento linear não nulo Predefinição:Math "depende" de um base para Predefinição:Math, logo não pode ser feita naturalmente para todos os espaços vetoriais.
• Avaliação de funções em elementos de um conjunto fixo Predefinição:Math é uma transformação natural. Mais precisamente, denotando-se por Predefinição:Math o conjunto de funções Predefinição:Math, as avaliações Predefinição:Math, para cada Predefinição:Math conjunto, definidas por Predefinição:Math, formam uma transformação natural Predefinição:Math.
• O teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani pode ser expressado como um isomorfismo natural entre functores levando espaços compactos de Hausdorff a espaços de Banach.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
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