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{{Ver desambig2|prefixo=Para um grupo cujo reticulado de subgrupos é modular|grupo de Iwasawa}}
Em [[matemática]], o '''grupo modular''' é o grupo linear especial projetivo {{Math|PSL(2, '''Z''')}} de [[Matriz (matemática)|matrizes]] {{Nowrap|2{{Hair space}}×{{Hair space}}2}} com coeficientes [[Número inteiro|inteiros]] e [[determinante]] um. As matrizes {{Math|''A''}} e {{Math|−''A''}} são identificadas. O grupo modular age na metade superior do [[plano complexo]] por meio de [[Transformação fracionária linear|transformações fracionárias lineares]], e o nome "grupo modular" vem da relação com espaços de módulos e não da [[aritmética modular]].

== Definição ==
O '''grupo modular {{Math|Γ}}''' é o [[Grupo (matemática)|grupo]] das [[Transformação de Möbius|transformações fracionárias lineares]] da [[Meio-plano superior|metade superior do plano complexo]], que têm a forma

<math display="block">z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},</math>

em que {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}}, {{Math|''c''}}, {{Math|''d''}} são inteiros e {{Math|''ad'' − ''bc'' {{=}} 1}}. A operação do grupo é a [[composição de funções]].

Este grupo de transformações é isomorfo ao grupo linear especial projetivo {{Math|PSL(2, '''Z''')}}, que é o quociente do [[grupo linear especial]] bidimensional {{Math|SL(2, '''Z''')}} sobre os inteiros por seu [[Centro de um grupo|centro]] {{Math|{''I'', −''I''<nowiki>}</nowiki>}}. Em outras palavras, {{Math|PSL(2, '''Z''')}} consiste em todas as matrizes

: <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>

em que {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}}, {{Math|''c''}}, {{Math|''d''}} são inteiros, {{Math|''ad'' − ''bc'' {{=}} 1}}, e pares de matrizes {{Math|''A''}} e {{Math|−''A''}} são considerados idênticos. A operação do grupo é a [[Produto de matrizes|multiplicação de matrizes]] usual.

Alguns autores ''definem'' o grupo modular como {{Math|PSL(2, '''Z''')}}, e ainda outros definem o grupo modular como o grupo maior {{Math|SL(2, '''Z''')}}.

Algumas relações matemáticas requerem a consideração do grupo {{Math|GL(2, '''Z''')}} de matrizes com determinante mais ou menos um. ({{Math|SL(2, '''Z''')}} é um subgrupo deste grupo.) Da mesma forma, {{Math|PGL(2, '''Z''')}} é o grupo quociente {{Math|GL(2, '''Z''')/{''I'', −''I''<nowiki>}</nowiki>}}. Uma matriz {{Nowrap|2 × 2}} com determinante unitário é uma matriz simplética e, portanto, {{Math|SL(2, '''Z''') {{=}} Sp(2, '''Z''')}}, o grupo simplético de matrizes {{Nowrap|2 × 2}}.

=== Obtenção dos elementos ===
Para encontrar elementos de {{Math|SL(2, '''Z''')}} explicitamente, há um truque que consiste em considerar dois inteiros coprimos <math>a,b</math>, colocá-los na matriz
<math display="block">\begin{pmatrix} a & x \\ b & y \end{pmatrix}</math>
e resolver a equação determinante
<math display="block">ay-bx = 1</math>
Observe que a equação do determinante força que <math>a,b</math> sejam coprimos, pois caso contrário haveria um fator <math>c</math> de tal modo que <math>ca' = a</math>, <math>cb' = b</math>, consequentemente
<math display="block">c(a'y-b'x) = 1</math>
não teria soluções inteiras. Por exemplo, se <math>a = 7, \text{ } b =6 </math> então a equação do determinante se torna
<math display="block">7y-6x = 1</math>
então tomando <math>y = -5</math> e <math>x = -6</math> obtém-se <math>-35 - (-36) = 1</math>, consequentemente
<math display="block">\begin{pmatrix}
7 & -6 \\
6 & -5
\end{pmatrix}</math>
é uma das matrizes. Então, usando a projeção, tais matrizes definem elementos em {{Math|PSL(2, '''Z''')}}.

== Propriedades da teoria dos números ==
O determinante unitário de

: <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>

implica que as frações {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}, {{math|{{sfrac|''a''|''c''}}}}, {{math|{{sfrac|''c''|''d''}}}}, {{math|{{sfrac|''b''|''d''}}}} são todas irredutíveis, isto é, não têm fatores comuns (desde que os denominadores não sejam nulos, é claro). Mais geralmente, se {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} é uma fração na forma irredutível, então

: <math>\frac{ap+bq}{cp+dq}</math>

também é irredutível (novamente, desde que o denominador seja diferente de zero). Qualquer par de frações irredutíveis pode ser conectado dessa maneira; isto é, para qualquer par de frações irredutíveis {{Math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} e {{Math|{{sfrac|''r''|''s''}}}}, existem elementos

: <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2, \mathbf{Z})</math>

de tal modo que

: <math>r = ap+bq \quad \mbox{ and } \quad s=cp+dq.</math>
Elementos do grupo modular fornecem uma simetria no reticulado bidimensional. Sejam {{Math|''ω''<sub>1</sub>}} e {{Math|''ω''<sub>2</sub>}} dois números complexos cuja razão não é real. Então o conjunto de pontos

: <math>\Lambda (\omega_1, \omega_2)=\{ m\omega_1 +n\omega_2 : m,n\in \mathbf{Z} \}</math>

é um reticulado de paralelogramos no plano. Um par diferente de vetores {{Math|''α''<sub>1</sub>}} e {{Math|''α''<sub>2</sub>}} irá gerar exatamente a mesma rede se, e somente se,

: <math>\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>

para alguma matriz em {{Math|GL(2, '''Z''')}}. É por esta razão que as funções duplamente periódicas, como [[Função elíptica|as funções elípticas]], possuem uma simetria de grupo modular.

A ação do grupo modular sobre os números racionais pode ser mais facilmente compreendida visualizando-se uma grade quadrada, com o ponto da grade {{Math|(''p'', ''q'')}} correspondendo à fração {{Math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} (ver [[pomar de Euclides]]). Uma fração irredutível é aquela que é ''visível'' a partir da origem; a ação do grupo modular sobre uma fração nunca leva uma ''visível'' (irredutível) a uma ''oculta'' (redutível), e vice-versa.

Observe que qualquer membro do grupo modular mapeia a [[reta real estendida projetivamente]] biunivocamente consigo mesma e, além disso, mapeia bijetivamente a reta racional estendida projetivamente (os racionais com o infinito) consigo mesma, os [[Número irracional|irracionais]] com os irracionais, os [[Número transcendente|números transcendentes]] com os números transcendentais, os números não reais com os números não reais, o semiplano superior com o semiplano superior, etc.

Se {{Math|{{sfrac|''p''<sub>''n''−1</sub>|''q''<sub>''n''−1</sub>}}}} e {{Math|{{sfrac|''p''<sub>''n''</sub>|''q''<sub>''n''</sub>}}}} são dois convergentes sucessivos de uma [[fração contínua]], então a matriz

: <math>\begin{pmatrix} p_{n-1} & p_{n} \\ q_{n-1} & q_{n} \end{pmatrix}</math>

pertence a {{Math|GL(2, '''Z''')}}. Em particular, se {{Math|''bc'' − ''ad'' {{=}} 1}} para inteiros positivos {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}}, {{Math|''c''}}, {{Math|''d''}} com {{Math|''a'' < ''b''}} e {{Math|''c'' < ''d''}} então {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} e {{Math|{{sfrac|''c''|''d''}}}} serão vizinhos na [[sequência de Farey]] de ordem {{Math|max(''b'', ''d'')}}. Casos especiais importantes de convergentes de frações contínuas incluem os [[Sequência de Fibonacci|números de Fibonacci]] e as soluções para a [[equação de Pell]]. Em ambos os casos, os números podem ser organizados para formar um [[semigrupo]] que é subconjunto do grupo modular.

== Propriedades da teoria de grupos ==

=== Apresentação ===
Pode-se mostrar que o grupo modular pode ser [[Conjunto gerador de um grupo|gerado]] pelas duas transformações

: <math>\begin{align}
S &: z\mapsto -\frac1z \\
T &: z\mapsto z+1
\end{align}</math>

de modo que todo elemento do grupo modular pode ser representado (de forma não única) pela composição de potências de {{Math|''S''}} e {{Math|''T''}}. Geometricamente, {{Math|''S''}} representa a inversão no círculo unitário seguida pela reflexão em relação ao eixo imaginário, enquanto {{Math|''T''}} representa uma translação de uma unidade para a direita.

Os geradores {{Math|''S''}} e {{Math|''T''}} obedecem às relações <math>S^2 = 1</math> e {{Math|(''ST'')<sup>3</sup> {{=}} 1}}. Pode-se mostrar<ref>{{Citar periódico |primeiro=Roger C. |ultimo=Alperin |titulo={{math|PSL<sub>2</sub>(''Z'') {{=}} ''Z''<sub>2</sub> ∗ ''Z''<sub>3</sub>}} |periódico=Amer. Math. Monthly |volume=100 |paginas=385–386 |data=abril de 1993 |doi=10.2307/2324963 |jstor=2324963}}</ref> que estes são um conjunto completo de relações, portanto o grupo modular tem a presentação:

: <math>\Gamma \cong \left\langle S, T \mid S^2=I, \left(ST\right)^3=I \right\rangle</math>

Esta presentação descreve o grupo modular como o grupo triangular rotacional {{Math|D(2, 3, ∞)}} (infinito, pois não há relação em {{Math|''T''}}) e, portanto, pode ser mapeado sobre cada grupo triângular {{Math|(2, 3, ''n'')}} adicionando a relação <math>T^n = 1</math>, que ocorre, por exemplo, no subgrupo de congruência {{Math|Γ(''n'')}}.

Usando os geradores {{Math|''S''}} e {{Math|''ST''}} em vez de {{Math|''S''}} e {{Math|''T''}}, mostra-se que o grupo modular é isomorfo ao produto livre dos [[Grupo cíclico|grupos cíclicos]] {{Math|''C''<sub>2</sub>}} e {{Math|''C''<sub>3</sub>}}:

: <math>\Gamma \cong C_2 * C_3</math>
<gallery widths="300" heights="300">
Ficheiro:Sideway.gif|A ação de {{math|''T'' : ''z'' ↦ ''z'' + 1}} sobre {{math|'''H'''}}
Ficheiro:Turnovergif.gif|A ação de {{math|''S'' : ''z'' ↦ −{{sfrac|1|''z''}}}} {{math|''S'' : ''z'' ↦ −{{sfrac|1|''z''}}}} sobre {{math|'''H'''}}
</gallery>

=== Grupo de trança ===
[[Ficheiro:Braid-modular-group-cover.svg|miniaturadaimagem|376x376px| O grupo de trança {{Math|''B''<sub>3</sub>}} é a extensão central universal do grupo modular]]
O grupo de tranças {{Math|''B''<sub>3</sub>}} é a extensão central universal do grupo modular, com estes sendo reticulados dentro do grupo de cobertura universal (topológico) {{Math|{{Sobrelinhado|SL<sub>2</sub>('''R''')}} → PSL<sub>2</sub>('''R''')}}. Além disso, o grupo modular tem um centro trivial e, portanto, o grupo modular é isomorfo ao [[grupo quociente]] de {{Math|''B''<sub>3</sub>}} por seu [[Centro de um grupo|centro]]; equivalentemente, ao grupo de automorfismos internos de {{Math|''B''<sub>3</sub>}}.

O grupo de tranças {{Math|''B''<sub>3</sub>}} por sua vez, é isomorfo ao grupo de nós do [[Nó de trevo|nó trifólio]].

=== Quocientes ===
Os quocientes por subgrupos de congruência são de interesse significativo.

Outros quocientes importantes são os grupos triangulares {{Math|(2, 3, ''n'')}}, que correspondem geometricamente a descer em um cilindro, quocientando a coordenada {{Math|''x''}} [[Aritmética modular|módulo]] {{Math|''n''}}, como  <math>T^n = (z \mapsto z+n)</math>. O grupo triangular {{Math|(2, 3, 5)}} é o grupo de [[simetria icosaédrica]], e o [[grupo triangular (2, 3, 7)|grupo triangular <math>(2, 3, 7)</math>]] (e os ladrilhos associados) é a cobertura para todas as [[superfície de Hurwitz|superfícies de Hurwitz]].

=== Apresentação como um grupo matricial ===
O grupo <math>\text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> pode ser gerado pelas duas matrizes<ref>{{Citar web |ultimo=Conrad |primeiro=Keith |url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/SL(2,Z).pdf |titulo=SL(2,Z)}}</ref>

<math>S = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, \text{ }
T = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math>

como

<math>S^2 = -I_2, \text{ }
(ST)^3 = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}^3 = -I_2</math>

A projeção <math>\text{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \text{PSL}_2(\mathbb{Z})</math> transforma essas matrizes em geradores de <math>\text{PSL}_2(\mathbb{Z})</math>, com relações semelhantes às da presentação do grupo.

== Relação com a geometria hiperbólica ==
{{VT|PSL2(R)|label1={{math|PSL<sub>2</sub>('''R''')}}}}
O grupo modular é importante porque forma um [[Grupo (matemática)|subgrupo]] do grupo das [[Isometria (geometria)|isometrias]] do [[Geometria hiperbólica|plano hiperbólico]]. Se considerarmos o modelo de [[Meio-plano superior|meio plano superior]] {{Math|'''H'''}} da geometria plana hiperbólica, então o grupo de todas isometrias que [[Sentido (matemática)|preservam a orientação]] de {{Math|'''H'''}} consiste em todas as [[Transformação de Möbius|transformações de Möbius]] da forma

: <math>z\mapsto \frac{az + b}{cz + d}</math>

em que {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}}, {{Math|''c''}}, {{Math|''d''}} são [[Número inteiro|inteiros]], em vez dos [[Número real|números reais]] usuais, e {{Math|''ad'' − ''bc'' {{=}} 1}}. Em termos de [[Coordenadas homogêneas|coordenadas projetivas]], o grupo {{Math|PSL(2, '''R''')}} [[Ação (matemática)|age]] sobre o semiplano superior {{Math|'''H'''}} por projetividade:

: <math>[z,\ 1]\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \,= \, [az + b,\ cz +d] \,\thicksim\, \left[\frac{az + b}{cz + d}, \ 1\right].</math>

Esta ação é [[Ação (matemática)|fiel]]. Uma vez que {{Math|PSL(2, '''Z''')}} é um subgrupo de {{Math|PSL(2, '''R''')}}, o grupo modular é um subgrupo do grupo de isometrias que preservam a orientação de {{Math|'''H'''}}.<ref>{{Citar periódico |primeiro=Paul R. |ultimo=McCreary |primeiro2=Teri Jo |ultimo2=Murphy |primeiro3=Christian |ultimo3=Carter |url=https://www.mathematica-journal.com/issue/v9i3/contents/ModularGroup/ModularGroup.pdf |titulo=The Modular Group |periódico=The Mathematica Journal |volume=9}}</ref>

=== Tesselação do plano hiperbólico ===
[[Ficheiro:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|direita|miniaturadaimagem|400x400px| Um domínio fundamental típico para a ação de {{Math|Γ}} sobre o semiplano superior]]
O grupo modular {{Math|Γ}} age sobre {{Math|'''H'''}} como um [[grupo discreto|subgrupo discreto]] de {{Math|PSL(2, '''R''')}}, ou seja, para cada {{Math|''z''}} em {{Math|'''H'''}} podemos encontrar uma vizinhança de {{Math|''z''}} que não contém nenhum outro elemento da [[Ação (matemática)|órbita]] de {{Math|''z''}}. Isso também significa que podemos construir [[domínio fundamental|domínios fundamentais]], que (aproximadamente) contêm exatamente um representante da órbita de cada {{Math|''z''}} em {{Math|'''H'''}} (É necessário cuidado com a fronteira do domínio.)

Existem muitas maneiras de construir um domínio fundamental, mas uma escolha comum é a região

: <math>R = \left\{ z \in \mathbf{H}\colon \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \tfrac12 \right\}</math>

delimitada pelas retas verticais {{math|Re(''z'') {{=}} {{sfrac|1|2}}}} e {{math|Re(''z'') {{=}} −{{sfrac|1|2}}}}, e a circunferência <math>\left| z \right|=1</math>. Esta região é um triângulo hiperbólico. Ela tem vértices em {{math|{{sfrac|1|2}} + ''i''{{sfrac|{{radic|3}}|2}}}} e {{math|−{{sfrac|1|2}} + ''i''{{sfrac|{{radic|3}}|2}}}}, onde o ângulo entre as arestas é {{math|{{sfrac|π|3}}}}, e um terceiro vértice no infinito, onde o ângulo entre suas arestas é 0.

A transformação desta região pelos elementos do grupo modular, dá origem a uma [[Tesselação|tesselação regular]] do plano hiperbólico por triângulos hiperbólicos congruentes conhecida como [[mosaico triangular de ordem infinita]] V6.6.∞. Observe que cada um destes triângulos tem um vértice no infinito ou no eixo real {{Math|Im(''z'') {{=}} 0}}. Esse mosaico pode ser estendido ao [[disco de Poincaré]], onde cada triângulo hiperbólico tem um vértice na fronteira do disco. O mosaico do disco de Poincaré é dado de forma natural pelo [[:Ficheiro:J-inv-phase.jpeg|{{Math|''J''}}-invariante]], que é invariante sob o grupo modular, e atinge todos os números complexos uma vez em cada triângulo dessas regiões.

Este mosaico pode ser ligeiramente refinado, dividindo cada região em duas metades (convencionalmente coloridas em preto e branco), adicionando uma transformação que inverte a orientação; então as cores correspondem à orientação do domínio. Adicionando {{Math|(''x'', ''y'') ↦ (−''x'', ''y'')}} e tomando a metade direita da região {{Math|''R''}} (onde {{Math|Re(''z'') ≥ 0}}) obtém-se a tesselação usual. Este mosaico aparece pela primeira vez publicado em {{Harv|Klein|1878/79a}},<ref name="lebruyn">{{Citation|último =Le Bruyn|primeiro1 =Lieven|título=Dedekind or Klein?|data=22 de abril de 2008|url=http://www.neverendingbooks.org/dedekind-or-klein}}</ref> onde é creditado a [[Richard Dedekind]], em referência a {{Harv|Dedekind|1877}}.<ref>{{Citar periódico |issn=0002-9890 |volume=108 |paginas=70–76 |ultimo=Stillwell |primeiro=John |titulo=Modular Miracles |periódico=The American Mathematical Monthly |data=janeiro de 2001 |jstor=2695682 |doi=10.2307/2695682}}</ref>
[[Ficheiro:Morphing_of_modular_tiling_to_2_3_7_triangle_tiling.gif|miniaturadaimagem| Visualização da transformação {{Math|(2, 3, ∞) → (2, 3, 7)}} transformando os mosaicos associados.<ref name="westendorp">{{Citar web |ultimo=Westendorp |primeiro=Gerard |url=http://www.xs4all.nl/~westy31/Geometry/Geometry.html#Modular |titulo=Platonic tessellations of Riemann surfaces |website=www.xs4all.nl}}</ref>]]
A transformação de grupos {{Math|(2, 3, ∞) → (2, 3, ''n'')}} (do grupo modular para o grupo triangular) pode ser visualizada em termos desse mosaico (produzindo um mosaico na curva modular), conforme representado no vídeo à direita.

{{Tabela de mosaicos de ordem i-3}}

== Subgrupos de congruência ==
{{AP|Subgrupo de congruência}}
Alguns [[subgrupo]]s importantes do grupo modular {{Math|Γ}}, chamados ''subgrupos de congruência'', são dados impondo [[Relação de congruência|relações de congruência]] nas matrizes associadas.

Existe um [[homomorfismo]] natural {{Math|SL(2, '''Z''') → SL(2, '''Z'''/''N'''''Z''')}} dado pela redução das entradas [[Operação módulo|módulo]] {{Math|''N''}}. Isso induz um homomorfismo no grupo modular {{Math|PSL(2, '''Z''') → PSL(2, '''Z'''/''N'''''Z''')}}. O [[Núcleo (álgebra)|núcleo]] desse homomorfismo é chamado de '''[[subgrupo de congruência principal]] de nível {{Math|''N''}}''', denotado por {{Math|Γ(''N'')}}. Tem-se a seguinte [[sequência exata curta]]:

: <math>1\to\Gamma(N)\to\Gamma\to\mbox{PSL}(2, \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}) \to 1</math>.

Sendo o núcleo de um homomorfismo, {{Math|Γ(''N'')}} é um [[subgrupo normal]] do grupo modular {{Math|Γ}}. O grupo {{Math|Γ(''N'')}} é dado como o conjunto de todas as transformações modulares

: <math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>

em que {{Math|''a'' ≡ ''d'' ≡ ±1 (mod ''N'')}} e {{Math|''b'' ≡ ''c'' ≡ 0 (mod ''N'')}}.

É fácil mostrar que o [[Traço (álgebra linear)|traço]] de uma matriz que representa um elemento de {{Math|Γ(''N'')}} não pode ser -1, 0 ou 1, portanto, esses subgrupos são [[grupo livre de torção|grupos livres de torção]]. (Existem outros subgrupos sem torção.)

O subgrupo principal de congruência de nível 2, {{Math|Γ(2)}}, também é chamado de '''grupo modular {{Math|Λ}}'''. Visto que {{Math|PSL(2, '''Z'''/2'''Z''')}} é isomorfo a {{Math|[[grupo simétrico|''S''<sub>3</sub>]]}}, {{Math|Λ}} é um subgrupo do [[Índice de um subgrupo|índice]] 6. O grupo {{Math|Λ}} consiste de todas as transformações modulares em que {{Math|''a''}} e {{Math|''d''}} são ímpares e {{Math|''b''}} e {{Math|''c''}} são pares.

Outra família importante de subgrupos de congruência é o grupo modular [[grupo modular Gama0|grupo modular {{math|Γ<sub>0</sub>(''N'')}}]] definido como o conjunto de todas as transformações modulares para as quais {{Math|''c'' ≡ 0 (mod ''N'')}}, ou equivalentemente, como o subgrupo cujas matrizes tornam-se [[Matriz triangular|triangulares superiores]] após a redução módulo {{Math|''N''}}. Observe que {{Math|Γ(''N'')}} é um subgrupo de {{Math|Γ<sub>0</sub>(''N'')}}. As curvas modulares associadas a esses grupos são um aspecto do [[monstrous moonshine]] - para um [[número primo]] {{Math|''p''}}, a curva modular do normalizador é [[Género (matemática)|gênero]] zero se, e somente se, {{Math|''p''}} divide a [[Ordem (teoria dos grupos)|ordem]] do [[grupo monstro]], ou equivalentemente, se {{Math|''p''}} é um [[primo supersingular]].

== Monoide diádico ==
Um subconjunto importante do grupo modular é o '''monoide diádico''', que é o [[monoide]] de todas as [[Cadeia de caracteres|strings]] da forma <math>ST^kST^mST^n\ldots</math> para inteiros positivos {{Math|''k'', ''m'', ''n'',...}}. Este monoide ocorre naturalmente no estudo das [[curva fractal|curvas fractais]] e descreve as simetrias de [[autossimilaridade]] da [[função de Cantor]], da [[função ponto de interrogação de Minkowski]] e do [[Curva de Koch|floco de neve de Koch]], cada uma sendo um caso especial da [[curva de de Rham]] geral. O monoide também tem representações lineares de dimensões superiores; por exemplo, a representação {{Math|''N'' {{=}} 3}} pode ser entendida para descrever a autossimetria da [[curva de manjar branco]].

== Aplicações do toro ==
O grupo {{Math|GL(2, '''Z''')}} consiste das transformações lineares que preservam o reticulado padrão {{Math|'''Z'''<sup>2</sup>}}, e {{Math|SL(2, '''Z''')}} são as transformações que preservam a orientação e que preservam este reticulado; elas, portanto, se traduzem em [[auto-homeomorfismos]] do [[Toro (topologia)|toro]] (SL sendo mapeado para transformações que preservam a orientação), e de fato correspondem isomorficamente ao [[grupo de classes de aplicações|grupo (estendido) de classes de aplicações]] do toro, o que significa que todo auto-homeomorfismo do toro é [[Homotopia|isotópico]] a uma aplicação desta forma. As propriedades algébricas de uma matriz como elemento de {{Math|GL(2, '''Z''')}} correspondem à dinâmica da aplicação induzida no toro.

== Grupos de Hecke ==
O grupo modular pode ser generalizado para os '''grupos de Hecke''', nomeados em homenagem a [[Erich Hecke]] e definido como segue.<ref>{{Citar livro |url=https://books.google.com/books?id=5Unmxs7yeHwC&pg=PA65 |título=Combinatorial Group Theory, Discrete Groups, and Number Theory |ultimo=Rosenberger |primeiro=Gerhard |ultimo2=Fine |primeiro2=Benjamin |ultimo3=Gaglione |primeiro3=Anthony M. |ultimo4=Spellman |primeiro4=Dennis}}</ref>

O grupo de Hecke {{Math|''H''<sub>''q''</sub>}} com {{Math|''q'' ≥ 3}}, é o grupo discreto gerado por

: <math>\begin{align}
z &\mapsto -\frac1z \\
z &\mapsto z + \lambda_q,
\end{align}</math>

em que {{math|''λ<sub>q</sub>'' {{=}} 2 cos {{sfrac|π|''q''}}}}. Para pequenos valores de {{Math|''q'' ≥ 3}}, tem-se:

: <math>\begin{align}
\lambda_3 &= 1, \\
\lambda_4 &= \sqrt{2}, \\
\lambda_5 &= \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \\
\lambda_6 &= \sqrt{3}.
\end{align}</math>

O grupo modular {{Math|Γ}} é isomorfo a {{Math|''H''<sub>3</sub>}} e eles têm propriedades e aplicações em comum - por exemplo, assim como tem-se o produto livre de [[Grupo cíclico|grupos cíclicos]]

: <math>\Gamma \cong C_2 * C_3,</math>

mais geralmente tem-se

: <math>H_q \cong C_2 * C_q,</math>

que corresponde ao grupo triangular {{Math|(2, ''q'', ∞)}}. Da mesma forma, há uma noção de subgrupos de congruência principais associados aos ideais principais em {{Math|'''Z'''[''λ'']}}.

== História ==
O grupo modular e seus subgrupos foram estudados em detalhes pela primeira vez por [[Richard Dedekind]] e por [[Felix Klein]] como parte de seu [[Programa de Erlangen|programa Erlangen]] na década de 1870. No entanto, as [[Função elíptica|funções elípticas]] intimamente relacionadas foram estudadas por [[Joseph-Louis Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] em 1785, e outros resultados sobre funções elípticas foram publicados por [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] e [[Niels Henrik Abel]] em 1827.

== Ver também ==
*[[Grupo de Bianchi]]
*[[Curva modular clássica]]
*[[Grupo fuchsiano]]
*[[J-invariante|{{math|''J''}}-invariante]]
*[[Grupo de Klein]]
*[[Grupo de classe de aplicação]]
*[[Função ponto de interrogação de Minkowski]]
*[[Transformação de Möbius]]
*[[Curva modular]]
*[[Forma modular]]
*[[Modelo de semiplano de Poincaré]]
*[[Mosaicos uniformes no plano hiperbólico]]

== Referências ==
<references />

[[Categoria:Teoria analítica dos números]]
[[Categoria:Teoria dos grupos]]