Mostrar código-fonte de Hexadecácoro

{| class="wikitable" align="right" style="margin-left:10px" width="134"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Hexadecácoro<br />
|-
|bgcolor=#ffffff align=center colspan=2|[[Imagem:Schlegel_wireframe_16-cell.png|220px]]<br />[[Diagrama Schlegel]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Tipo||[[Polítopos regulares convexos de 4 dimensões|Polítopo regular]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Células||16 [[Tetraedro|{3,3}]] [[Imagem:3-simplex_t0.svg|20px]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Faces||32 [[Triângulo|{3}]] [[Imagem:2-simplex_t0.svg|20px]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Arestas||24
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Vértices||8
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Figura de vértice]]||[[Imagem:16-cell_verf.svg|80px]]<br>([[Octaedro]])
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Símbolo de Schläfli]]|| {3,3,4}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Polígono de Petrie]]|| [[Octágono]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Diagrama Coxeter-Dynkin]]||{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Grupo de simetria||BC<sub>4</sub>, [3,3,4], ordem 384<BR>D<sub>4</sub>, ordem 192
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Dual||[[Tesserato]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Propriedades||[[Polítopo convexo|convexo]], [[isogonal]], [[isotoxal]], [[figura isoedral|isoedral]], [[Polítopo quasiregular|quasiregular]]
|}
[[File:16-cell_net.png|250px|thumb|[[planificação]].]]
O '''Hexadecácoro''' é um [[polícoro]] (tipo de [[polítopo]] quadridimensional) delimitado por 16 faces [[tetraedro|tetraédricas]]. É um dos 6 [[polítopos regulares convexos de 4 dimensões]] descritos pela primeira vez pelo [[matemático]] [[Suíça|suíço]] [[Ludwig Schläfli]] em meados do [[Século XIX]]. Também é conhecido como '''C<sub>16</sub>''' (derivado da denominação '''[[:en:16-cell|16-cell]]''' em [[língua inglesa|inglês]]), e '''hexadecaedroide'''. <ref>Matila Ghyka, ''The Geometry of Art and Life'' (1977), p.68 (em [[língua inglesa|inglês]])</ref>

O hexadecácoro regular pertence a uma família infinita de polítopos, chamados de [[ortoplexo]]s. Seu [[polítopo]] [[dual]] é o [[Tesserato]] (4-[[cubo]]). Possui 16 [[célula]]s, assim como o tesserato tem 16 [[vértice]]s. É uma forma regular formada por 16 [[tetraedro]]s e é análogo ao tetraedro em 3 dimensões e ao [[triângulo]] em duas. <ref>[http://www.mat.uc.pt/~emsa/Actividades.html Actividades matemáticas]</ref><ref>[http://www.cs.sjsu.edu/faculty/rucker/hypercube.htm]</ref>

== Geometria ==

É delimitado por 16 células, sendo todas tetraedros regulares. Ele tem 32 faces triangulares, 24 arestas e 8 vértices.
Os oito vértices do hexadecácoro são:

:<math> (\pm 1,0,0,0), (0,\pm 1,0,0), (0,0,\pm 1,0), (0,0,0,\pm 1). </math>

Todos os vértices são conectados por arestas, exceto os pares opostos.
O [[símbolo de Schläfli]] para o hexadecácoro é {3,3,4}. Sua figura de vértice é o octaedro regular. Há oito tetraedros, 12 triângulos e seis arestas convergindo em cada vértice. Há quatro tetraedros e quatro triângulos se encontrando em cada extremidade.
Pode-se decompor o hexadecácoro em duas [[disjunção|disjunções]] como cadeias de 8 tetraedros cada, com 4 arestas. Cada cadeia
A célula 16 pode ser decomposto em dois disjuntos como cadeias de round oito tetraedros cada, quatro bordas longas. Cada cadeia, quando esticada em linha reta, forma uma [[hélice]] de Boerdijk-Coxeter. Esta decomposição pode ser visto em um 4-4 [[antiprisma|duoantiprisma]] a partir da construção do hexadecácoro: {{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h|2x|node_h}} ou {{CDD|node|4|node_h|2x|node_h|4|node}}, [[símbolo de Schläfli ]] {2}⨂{2} ou s{2}s{2}, [[Coxeter|simetria]] [<nowiki/>[4,2<sup>+</sup>,4]], ordem 64.
O hexadecácoro pode ser [[secção|bisectado]] em duas [[pirâmide]]s octaédricas,das quais compartilham uma nova base octaédrica através do centro do hexadecácoro. <ref>[http://clickeaprenda.uol.com.br/portal/mostrarConteudo.php?idPagina=33486 Se a matemática fosse minha, eu mandava ladrilhar].</ref>

== Imagens ==

{| class="wikitable" width=480
|- align=center valign=top
|[[Imagem:stereographic polytope 16cell.png|240px]]<br>[[Projeção estereográfica]]||rowspan=2|[[Imagem:16-cell.gif]]<br>uma projeção em [[3D]] do hexadecácoro a partir de uma [[rotação|rotação simples]].||[[Imagem:16-cell nets.png|180px]]<br> O hexadecácoro tem duas construções de  [[Wythoff]], uma forma regular e uma forma alternada, mostrada aqui como uma [[planificação]].
|}

==Projeções ortogonais==
<center>{{Projeções ortogonais de 4-cubo de Coxeter|t3|150}}</center>

== Tesselações ==

Pode-se [[tesselação|tesselar]] o hexadecácoro em um espaço [[Euclides|euclidiano]] quadridimensional com 16 [[célula]]s regulares, produzindo o chamado ''[[favo|favo de mel]] hexadecacórico'', tendo símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Consequentemente, cada uma das 16 células tem um [[diedro|ângulo diedral]] de 120°. <ref>Coxeter, Regular polygons, p.293</ref> A tesselação dual, o ''[[favo|favo de mel]] icositetracórico'' ({3,4,3,3}), é feito a partir do [[icositetrácoro]] ([[:en:24-cell|24-cell]]). Juntamente com o ''[[favo|favo de mel]] tesserático'' ({4,3,3,4}), estas são as únicas [[pavimentação|pavimentações]] regulares em '''R <sup>4</sup>'''. <ref name="aristoteles.sobre.o.ceu.2">[[Aristóteles]], ''[[Sobre o Céu]]'', Livro III, Capítulo 8 [http://www.sacred-texts.com/cla/ari/oth/oth34.htm <nowiki>[em linha]</nowiki>]</ref>. Cada hexadecácoro contém 16 vizinhos com os quais compartilha um tetraedro, 24 vizinhos com os quais compartilha apenas uma aresta e 72 vizinhos com os quais partilha apenas um único [[ponto (geometria)|ponto]].<ref name="hilton.3">{{Citar livro|url=http://archive.org/stream/anewerathought00falkgoog/anewerathought00falkgoog_djvu.txt |nome=Charles Howard |sobrenome=Hilton |autorlink= |coautor= |título=A New Era of Thought |subtítulo= |idioma=en |edição= |local= |editora= |editor= |ano=1888 |páginas= |página= |capítulo=3 |volume= |isbn= |id=|ISSN= |notas= |acessodata= |ref=}}</ref><ref>{{citar web|url= http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/CC25102738844.pdf |título=APRENDENDO TESSELAÇÕES DE FORMA LÚDICA (.pdf) |primeiro = |último = |obra=sbem.com.br |ano=2007 |acessodata=5 de junho de 2011}}</ref>

== Hélice de Boerdijk–Coxeter ==

Um hexadecácoro pode ser [[construção|construído]] a partir de [[Hélice de Boerdijk–Coxeter|hélices de Boerdijk–Coxeter]] de 8 cadeias de tetraedros, cada uma se dobrada se tornando um [[anel|anel quadridimensional]]. As  16 faces triangulares podem ser vistas em uma planificação [[2D]] em um [[mosaico triangular]], com 6 [[triângulo]]s ao redor de cada vértice. As arestas em roxo representam o [[Polígono de Petrie]] do hexadecácoro. <ref>[http://www.mat.uc.pt/~emsa/ActiGeo/Mathematica/textos/dragoes_diapositivos.pdf Dragões diapositivos]</ref><ref>{{Citar web |url=http://davidf.faricy.net/polyhedra/Polytopes.html |titulo=Polytopes |acessodata=2016-01-21 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20040702163006/http://davidf.faricy.net/polyhedra/Polytopes.html |arquivodata=2004-07-02 |urlmorta=yes }}</ref>
:::::::::::[[Imagem:16-cell 8-ring net4.png|600px]]

== Projeções ==
[[Imagem:Orthogonal projection envelopes 16-cell.png|thumb|Formatos de projeções do hexadecácoro.]]
A primeira projeção paralela das células do hexadecácoro no espaço [[3D]] tem um formato [[cúbico]]. As células mais próximas e as mais distantes são projetadas em tetraedros inscritos dentro do [[cubo]], o que corresponde a duas maneiras possíveis para inscrever um tetraedro regular em um cubo. Ao redor de cada um destes há 4 outros tetraedros (não regulares). As demais 6 células são projetadas nas faces quadradas do cubo. Nessa projeção, todas as bordas convergem para as faces cúbicas.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/16-Cell.html The 16-cell (em [[língua inglesa|inglês]])</ref>

A primeira projeção em perspectiva das células do hexadecácoro no espaço 3D tem o formato de um [[tetraedro triakis]]. A disposição das células neste formato são semelhantes às da projeção paralela.

A projeção paralela dos vértices das células tem um formato [[octaédrico]].  Este octaedro pode ser dividido em 8 formas tetraédricas, por corte ao longo dos planos coordenados. Cada um destes é a imagem de um par de células presentes no hexadecácoro.

A primeira projeção das arestas das células tem um formato octaédrico encurtado, e a projeção paralela tem um formato [[bipirâmide|bipiramidal hexagonal]]. <ref>[[Thorold Gosset|T. Gosset]]: ''On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions'', Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900</ref><ref>{{citar web |url=http://hamello.com.br/livro/cap_5.pdf |título=Compondo um plano com polígonos: Tesselações(.pdf) |primeiro= |último= |obra=hamello.com.br |ano=2010 |acessodata=5 de junho de 2011 }}{{Ligação inativa|1={{subst:DATA}} }}</ref>

== Diagrama de Venn esférico ==

A projeção usual do hexadecácoro [[Imagem:Stereographic polytope 16cell.png|80px]] e suas 4 [[esfera]]s que o [[interseção|intersectam]] (um [[diagrama de Venn]] de 4 dimensões) forma [[topologia|topologicamente]] um mesmo objeto no espaço 3D:

{|class="wikitable" style="text-align:center; width: 100%;"
| style="vertical-align:top;"|[[Imagem:Venn 1000 0000 0000 0000.png|150px]]
| style="vertical-align:top;"|[[Imagem:Venn 0110 1000 1000 0000.png|150px]]<br>
[[Imagem:Venn 0100 0000 0000 0000.png|37px]][[Imagem:Venn 0010 0000 0000 0000.png|37px]][[Imagem:Venn 0000 1000 0000 0000.png|37px]][[Imagem:Venn 0000 0000 1000 0000.png|37px]]
| style="vertical-align:top;"|[[Imagem:Venn 0001 0110 0110 1000.png|150px]]<br>
[[Imagem:Venn 0001 0000 0000 0000.png|24px]][[Imagem:Venn 0000 0100 0000 0000.png|24px]][[Imagem:Venn 0000 0010 0000 0000.png|24px]][[Imagem:Venn 0000 0000 0100 0000.png|24px]][[Imagem:Venn 0000 0000 0010 0000.png|24px]][[Imagem:Venn 0000 0000 0000 1000.png|24px]]
| style="vertical-align:top;"|[[Imagem:Venn 0000 0001 0001 0110.png|150px]]<br>
[[Imagem:Venn 0000 0001 0000 0000.png|37px]][[Imagem:Venn 0000 0000 0001 0000.png|37px]][[Imagem:Venn 0000 0000 0000 0100.png|37px]][[Imagem:Venn 0000 0000 0000 0010.png|37px]]
| style="vertical-align:top;"|[[Imagem:Venn 0000 0000 0000 0001.png|150px]]
|}

== Construções simétricas ==
Há uma forma simétrica reduzida do hexadecácoro, chamada de '''demitesserato''' ou '''4-demicubo''', um membro da [[família]] dos demihipercubos. e representado por h{4,3,3}, e {{CDD|node_h1|4|node|3|node|3|node}} ou {{CDD|nodes_10ru|split2|node|3|node}}.

Há também um '''antiprisma tetraédrico''' que pode ser construído a partir de dois tetraedros paralelos em configuraç~eos duais, conectado com8 tetraedros. É representado por s{2,4,3}, e {{CDD|node_h|2x|node_h|4|node|3|node}}.

Também há o 4-ortótopo Snub representado por s{2<sup>1,1,1</sup>}, e {{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h|2x|node_h}} ou {{CDD|node_h|2x|node_h|split1-22|nodes_hh}}.Com o tesserato construído como um 4-4 [[prisma|duoprisma]], o hexadecácoro pode ser visto com seu dual como a 4-4 [[pirâmide|duopirâmide]]. <ref>[[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ''The Symmetries of Things'' 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp.&nbsp;409: Hemicubes: 1<sub>n1</sub>)</ref>

{| class=wikitable
!Nome
![[Diagrama de Coxeter]]
![[Símbolo de Schläfli]]
![[Coxeter|Notação de Coxeter]]
!Ordem
![[Figura de vértice]]
|- align=center
!Hexadecácoro regular
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}
|{3,3,4}
|[3,3,4]||384
|{{CDD|node_1|3|node|4|node}}
|- align=center
!Demitesserato
|{{CDD|nodes_10ru|split2|node|3|node}} = {{CDD|node_h1|4|node|3|node|3|node}}<br>{{CDD|node_1|3|node|split1|nodes}} = {{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node_h0}}
|h{4,3,3}<br>{3,3<sup>1,1</sup>}
|[3<sup>1,1,1</sup>] = [1<sup>+</sup>,4,3,3]||192
|{{CDD|node|3|node_1|3|node}}
|- align=center
! 4-4 [[prisma|duoprisma]] alternado
|{{CDD|label2|branch_hh|4a4b|nodes}}
|2s{4,2,4}
|[[4,2<sup>+</sup>,4]]||64
|
|- align=center
![[antiprisma|antiprisma tetraédrico]]
|{{CDD|node_h|2x|node_h|4|node|3|node}}
|s{2,4,3}
|[2<sup>+</sup>,4,3]||48
|
|- align=center
!prisma quadrado alternado
|{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h|4|node}}
|sr{2,2,4}
|[(2,2)<sup>+</sup>,4]||16
|
|- align=center
!4-ortótopo [[Snub]]
|{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h|2x|node_h}} = {{CDD|node_h|2x|node_h|split1-22|nodes_hh}}
|s{2<sup>1,1,1</sup>}
|[2,2,2]<sup>+</sup> = [2<sup>1,1,1</sup>]<sup>+</sup>||8
|{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h}}
|- align=center
!rowspan=6|4-[[fusil]]
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|3|node}}
|{3,3,4}
|[3,3,4]||384
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1|4|node}}
|{4}+{4} or 2{4}
|<nowiki>[[</nowiki>4,2,4]] = [8,2<sup>+</sup>,8]||128
|{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|2x|node_f1}}
|{3,4}+{ }
|[4,3,2]||96
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node}}<br>{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|{4}+2{ }
|[4,2,2]||32
|{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1}}<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|{ }+{ }+{ }+{ } or 4{ }
|[2,2,2]||16
|{{CDD|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|}

== Relação de Euler ==

Para todo polítopo vale a [[Teorema de Euler|relação de Euler]]:

:<math>V - A + F = C</math>

Onde:

* '''V''' é o número de vértices;
* '''A''' é o número de arestas;
* '''F''' é o número de faces;
* '''C''' é o número de células.

No caso do hexadecácoro, temos:

:<math>8 - 24 + 32 = 16</math>

== Fórmulas relacionadas ==

=== Volume ===

A fórmula que descreve o [[volume]] do hexadecácoro em [[4D]] é:

:<math>V_{4D}=\frac{a^4}{6}</math>

=== Área superficial ===

Existem 3 fórmulas que descrevem a área superficial do hexadecácoro, em [[3D]], [[2D]] e [[1D]]:

:<math>S_{3D}= \frac{4\sqrt{2}}{3}\ a^3</math>

:<math>S_{2D}= 8 \sqrt{3}\ a^2</math>

:<math>S_{1D}=24\ a\,</math>

=== Raio da [[esfera|esfera inscrita]] ===

O raio <math>\rho</math> da esfera inscrita é:

:<math>\rho=\frac{a}{2\sqrt{2}}\,</math>

=== Raio da [[esfera|esfera circunscrita]] ===

O raio <math>\rho</math> da esfera circunscrita é:

:<math>r=\frac{a}{\sqrt{2}}\,</math>

== Ver também ==
*[[Tesserato]]
*[[Polítopo]]
*[[Polícoro]]

{{referências}}

{{4-Polítopos Regulares}}
{{Geometria}}
{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Geometria euclidiana]]
[[Categoria:Polítopos]]