Hexadecácoro

Hexadecácoro
Diagrama Schlegel
Tipo	Polítopo regular
Células	16 {3,3}
Faces	32 {3}
Arestas	24
Vértices	8
Figura de vértice	(Octaedro)
Símbolo de Schläfli	{3,3,4}
Polígono de Petrie	Octágono
Diagrama Coxeter-Dynkin	Predefinição:CDD
Grupo de simetria	BC₄, [3,3,4], ordem 384 D₄, ordem 192
Dual	Tesserato
Propriedades	convexo, isogonal, isotoxal, isoedral, quasiregular

O Hexadecácoro é um polícoro (tipo de polítopo quadridimensional) delimitado por 16 faces tetraédricas. É um dos 6 polítopos regulares convexos de 4 dimensões descritos pela primeira vez pelo matemático suíço Ludwig Schläfli em meados do Século XIX. Também é conhecido como C₁₆ (derivado da denominação 16-cell em inglês), e hexadecaedroide. ^[1]

O hexadecácoro regular pertence a uma família infinita de polítopos, chamados de ortoplexos. Seu polítopo dual é o Tesserato (4-cubo). Possui 16 células, assim como o tesserato tem 16 vértices. É uma forma regular formada por 16 tetraedros e é análogo ao tetraedro em 3 dimensões e ao triângulo em duas. ^[2]^[3]

Geometria

É delimitado por 16 células, sendo todas tetraedros regulares. Ele tem 32 faces triangulares, 24 arestas e 8 vértices. Os oito vértices do hexadecácoro são:

(\pm 1, 0, 0, 0), (0, \pm 1, 0, 0), (0, 0, \pm 1, 0), (0, 0, 0, \pm 1) .

Todos os vértices são conectados por arestas, exceto os pares opostos. O símbolo de Schläfli para o hexadecácoro é {3,3,4}. Sua figura de vértice é o octaedro regular. Há oito tetraedros, 12 triângulos e seis arestas convergindo em cada vértice. Há quatro tetraedros e quatro triângulos se encontrando em cada extremidade. Pode-se decompor o hexadecácoro em duas disjunções como cadeias de 8 tetraedros cada, com 4 arestas. Cada cadeia A célula 16 pode ser decomposto em dois disjuntos como cadeias de round oito tetraedros cada, quatro bordas longas. Cada cadeia, quando esticada em linha reta, forma uma hélice de Boerdijk-Coxeter. Esta decomposição pode ser visto em um 4-4 duoantiprisma a partir da construção do hexadecácoro: Predefinição:CDD ou Predefinição:CDD, símbolo de Schläfli {2}⨂{2} ou s{2}s{2}, simetria [[4,2⁺,4]], ordem 64. O hexadecácoro pode ser bisectado em duas pirâmides octaédricas,das quais compartilham uma nova base octaédrica através do centro do hexadecácoro. ^[4]

Imagens

Projeção estereográfica	uma projeção em 3D do hexadecácoro a partir de uma rotação simples.	O hexadecácoro tem duas construções de Wythoff, uma forma regular e uma forma alternada, mostrada aqui como uma planificação.

Projeções ortogonais

Predefinição:Projeções ortogonais de 4-cubo de Coxeter

Tesselações

Pode-se tesselar o hexadecácoro em um espaço euclidiano quadridimensional com 16 células regulares, produzindo o chamado favo de mel hexadecacórico, tendo símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Consequentemente, cada uma das 16 células tem um ângulo diedral de 120°. ^[5] A tesselação dual, o favo de mel icositetracórico ({3,4,3,3}), é feito a partir do icositetrácoro (24-cell). Juntamente com o favo de mel tesserático ({4,3,3,4}), estas são as únicas pavimentações regulares em R ⁴. ^[6]. Cada hexadecácoro contém 16 vizinhos com os quais compartilha um tetraedro, 24 vizinhos com os quais compartilha apenas uma aresta e 72 vizinhos com os quais partilha apenas um único ponto.^[7]^[8]

Hélice de Boerdijk–Coxeter

Um hexadecácoro pode ser construído a partir de hélices de Boerdijk–Coxeter de 8 cadeias de tetraedros, cada uma se dobrada se tornando um anel quadridimensional. As 16 faces triangulares podem ser vistas em uma planificação 2D em um mosaico triangular, com 6 triângulos ao redor de cada vértice. As arestas em roxo representam o Polígono de Petrie do hexadecácoro. ^[9]^[10]

Projeções

A primeira projeção paralela das células do hexadecácoro no espaço 3D tem um formato cúbico. As células mais próximas e as mais distantes são projetadas em tetraedros inscritos dentro do cubo, o que corresponde a duas maneiras possíveis para inscrever um tetraedro regular em um cubo. Ao redor de cada um destes há 4 outros tetraedros (não regulares). As demais 6 células são projetadas nas faces quadradas do cubo. Nessa projeção, todas as bordas convergem para as faces cúbicas.^[11]

A primeira projeção em perspectiva das células do hexadecácoro no espaço 3D tem o formato de um tetraedro triakis. A disposição das células neste formato são semelhantes às da projeção paralela.

A projeção paralela dos vértices das células tem um formato octaédrico. Este octaedro pode ser dividido em 8 formas tetraédricas, por corte ao longo dos planos coordenados. Cada um destes é a imagem de um par de células presentes no hexadecácoro.

A primeira projeção das arestas das células tem um formato octaédrico encurtado, e a projeção paralela tem um formato bipiramidal hexagonal. ^[12]^[13]

Diagrama de Venn esférico

A projeção usual do hexadecácoro e suas 4 esferas que o intersectam (um diagrama de Venn de 4 dimensões) forma topologicamente um mesmo objeto no espaço 3D:

Construções simétricas

Há uma forma simétrica reduzida do hexadecácoro, chamada de demitesserato ou 4-demicubo, um membro da família dos demihipercubos. e representado por h{4,3,3}, e Predefinição:CDD ou Predefinição:CDD.

Há também um antiprisma tetraédrico que pode ser construído a partir de dois tetraedros paralelos em configuraç~eos duais, conectado com8 tetraedros. É representado por s{2,4,3}, e Predefinição:CDD.

Também há o 4-ortótopo Snub representado por s{2^1,1,1}, e Predefinição:CDD ou Predefinição:CDD.Com o tesserato construído como um 4-4 duoprisma, o hexadecácoro pode ser visto com seu dual como a 4-4 duopirâmide. ^[14]

Nome	Diagrama de Coxeter	Símbolo de Schläfli	Notação de Coxeter	Ordem	Figura de vértice
Hexadecácoro regular	Predefinição:CDD	{3,3,4}	[3,3,4]	384	Predefinição:CDD
Demitesserato	Predefinição:CDD = Predefinição:CDD Predefinição:CDD = Predefinição:CDD	h{4,3,3} {3,3^1,1}	[3^1,1,1] = [1⁺,4,3,3]	192	Predefinição:CDD
4-4 duoprisma alternado	Predefinição:CDD	2s{4,2,4}	[[4,2⁺,4]]	64
antiprisma tetraédrico	Predefinição:CDD	s{2,4,3}	[2⁺,4,3]	48
prisma quadrado alternado	Predefinição:CDD	sr{2,2,4}	[(2,2)⁺,4]	16
4-ortótopo Snub	Predefinição:CDD = Predefinição:CDD	s{2^1,1,1}	[2,2,2]⁺ = [2^1,1,1]⁺	8	Predefinição:CDD
4-fusil
	Predefinição:CDD	{3,3,4}	[3,3,4]	384	Predefinição:CDD
	Predefinição:CDD	{4}+{4} or 2{4}	[[4,2,4]] = [8,2⁺,8]	128	Predefinição:CDD
	Predefinição:CDD	{3,4}+{ }	[4,3,2]	96	Predefinição:CDD Predefinição:CDD
	Predefinição:CDD	{4}+2{ }	[4,2,2]	32	Predefinição:CDD Predefinição:CDD
	Predefinição:CDD	{ }+{ }+{ }+{ } or 4{ }	[2,2,2]	16	Predefinição:CDD

Relação de Euler

Para todo polítopo vale a relação de Euler:

V - A + F = C

Onde:

V é o número de vértices;
A é o número de arestas;
F é o número de faces;
C é o número de células.

No caso do hexadecácoro, temos:

8 - 24 + 32 = 16

Fórmulas relacionadas

Volume

A fórmula que descreve o volume do hexadecácoro em 4D é:

V_{4 D} = \frac{a^{4}}{6}

Área superficial

Existem 3 fórmulas que descrevem a área superficial do hexadecácoro, em 3D, 2D e 1D:

S_{3 D} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} a^{3}

S_{2 D} = 8 \sqrt{3} a^{2}

S_{1 D} = 24 a

Raio da esfera inscrita

O raio $ρ$ da esfera inscrita é:

ρ = \frac{a}{2 \sqrt{2}}

Raio da esfera circunscrita

O raio $ρ$ da esfera circunscrita é:

r = \frac{a}{\sqrt{2}}

Ver também

Predefinição:Referências

Predefinição:4-Polítopos Regulares Predefinição:Geometria Predefinição:Portal3

↑ Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life (1977), p.68 (em inglês)
↑ Actividades matemáticas
↑ [1]
↑ Se a matemática fosse minha, eu mandava ladrilhar.
↑ Coxeter, Regular polygons, p.293
↑ Aristóteles, Sobre o Céu, Livro III, Capítulo 8 [em linha]
↑ Predefinição:Citar livro
↑ Predefinição:Citar web
↑ Dragões diapositivos
↑ Predefinição:Citar web
↑ [http://mathworld.wolfram.com/16-Cell.html The 16-cell (em inglês)
↑ T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
↑ Predefinição:Citar web Predefinição:Ligação inativa
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1_n1)

[1] Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life (1977), p.68 (em inglês)

[2] Actividades matemáticas

[3] [1]

[4] Se a matemática fosse minha, eu mandava ladrilhar.

[5] Coxeter, Regular polygons, p.293

[aristoteles.sobre.o.ceu.2-6] Aristóteles, Sobre o Céu, Livro III, Capítulo 8 [em linha]

[hilton.3-7] Predefinição:Citar livro

[8] Predefinição:Citar web

[9] Dragões diapositivos

[10] Predefinição:Citar web

[11] [http://mathworld.wolfram.com/16-Cell.html The 16-cell (em inglês)

[12] T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900

[13] Predefinição:Citar web Predefinição:Ligação inativa

[14] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1_n1)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Hexadecácoro

Índice

Geometria

Imagens

Projeções ortogonais

Tesselações

Hélice de Boerdijk–Coxeter

Projeções

Diagrama de Venn esférico

Construções simétricas

Relação de Euler

Fórmulas relacionadas

Volume

Área superficial

Raio da esfera inscrita

Raio da esfera circunscrita

Ver também

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Projeções ortogonais

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Hélice de Boerdijk–Coxeter

Projeções

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