Mostrar código-fonte de Inequação do 2º grau

Uma '''Inequação do 2º Grau''' é uma inequação que pode ser reduzida à forma:
:<math>ax^2+bx+c\star0</math>.

Note que comparar um dos termos a zero é essencial para a resolução de qualquer inequação mais complexa do que a [[Inequação|inequação do 1º grau]].

Inicialmente, acham-se os zeros da inequação, resolvendo-a como uma [[equação quadrática]]. Note que, achando 2 raízes reais, sabe-se que <math>\Delta > 0</math>, achando-se 1 raiz real, sabe-se que <math>\Delta = 0</math> e não se achando raiz real, sabe-se que <math>\Delta < 0</math>. Após isso, observa-se o sinal do coeficiente <math>a</math>. Pelo estudo dos sinais da [[função quadrática]], temos que:
[[Imagem:Parabole a pos delta nég.png|thumb|right|Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de <math>x</math>]]
[[Imagem:Parabole a nég delta zéro.png|thumb|right|Exemplo de uma função negativa para <math>x \ne r_1 = r_2</math> e nula para <math>x = r_1 = r_2</math>]]
[[Imagem:Parabole a pos delta pos.png|thumb|right|Exemplo de uma função positiva para <math>x < r_1</math> ou <math>x > r_2</math>; nula para <math>x = r_1 = r_2</math> e negativa para <math>r_1 < x < r_2</math>.]]

*<math>\Delta < 0</math>
**<math>a > 0 \rightarrow f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}</math>
**<math>a < 0 \rightarrow f(x) < 0, \forall x \in \mathbb{R}</math>
*<math>\Delta = 0</math>
**<math>a > 0</math>
***<math>f(x) > 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2</math>
***<math>f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2</math>
**<math>a < 0</math>
***<math>f(x) < 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2</math>
***<math>f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2</math>
*<math>\Delta > 0</math>
**<math>a > 0</math>
***<math>f(x) > 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2 </math>
***<math>f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2</math>
***<math>f(x) < 0 \rightarrow r_1 < x < r_2 </math>
**<math>a < 0</math>
***<math>f(x) > 0 \rightarrow r_1 < x < r_2 </math>
***<math>f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2</math>
***<math>f(x) < 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2 </math>

Então, separe-se os valores adequados e obtém-se o conjunto-solução.

Praticamente, pode-se esboçar o gráfico da função
:<math>y = ax^2 + bx + c</math>,

observando os sinais do coeficiente <math>a</math> e do <math>\Delta</math>, e selecionando as raízes que cumprem a função. Basta observar para que valores a curva está acima (positivo) ou abaixo (negativo) da [[abcissa]].

==Exemplos==

*<math>x^2 + 6 \ge 5x \Leftrightarrow x^2 - 5x +6 \ge 0</math>. Se <math>x^2 - 5x +6 = 0</math>, então <math>r_1 = 2</math> e <math>r_2 = 3</math>. Logo, <math>\Delta >0 </math> (uma vez que se obteve 2 raízes). Como <math>a = 1 > 0</math>, então, os valores que fazem <math>f(x) > 0</math> ou <math>f(x) = 0</math> são <math>x \le 2</math> ou <math>x \ge 3</math>
*<math>x^2 - 2x + 1 \le 0</math>. Se <math>x^2 - 2x + 1 = 0</math>, então <math>r_1 = r_2 = 1</math>. Logo, <math>\Delta = 0</math> (uma vez que se obteve 1 raiz). Como <math>a = 1 > 0</math>, então, os valores que fazem <math>f(x) < 0</math> ou <math>f(x) = 0</math> são apenas <math>x = 1</math>.
*<math>- x^2 - x -1 > 0</math>. Se <math>- x^2 - x - 1 = 0</math>, então a equação não possui raízes reais. Logo, <math>\Delta < 0</math>. Como <math>a = - 1 < 0</math>, então não há valores que fazem <math>f(x) > 0</math>.

== Bibliografia ==

*MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8

== Ver também ==

*[[Inequação]]
*[[Inequação simultânea]]
*[[Inequação-produto]]
*[[Inequação-quociente]]

{{Esboço-matemática}}

[[Categoria:Álgebra]]
[[Categoria:Equações]]