Mostrar código-fonte de Integração por partes

{{Cálculo}}
No [[cálculo integral]], '''integração por partes''' é um método que permite expressar a [[integral]] de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da [[regra do produto]].

A fórmula típica é a seguinte:<ref>{{citar livro|título = Cálculo - Volume 1|sobrenome = Anton|nome = Howard|edição = 10|local = |editora = Bookman|ano = 2014|página = |isbn = 9788582602256}}</ref><ref name=":0">{{citar livro|título = Cálculo - Volume 1|sobrenome = Stewart|nome = James|edição = 7|local = |editora = Cengage|ano = 2013|página = |isbn = 9788522112586}}</ref>

:<math>\int_a^b f(x) g'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[f(x) g(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b f'(x) g(x) \,\mathrm dx</math>

onde <math>f(x)\,</math> e <math>g(x)\,</math> são funções de [[função suave|classe C<sup>1</sup>]] no intervalo <math>x\in[a,b]\,</math>, ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são [[função contínua|contínuas]] entre ''a'' e ''b''. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

<math>\int u\,\mathrm dv= uv-\int v\,\mathrm du</math>

onde <math>u\, = f(x)</math>, <math>dv\, = g'(x)dx</math>, <math>v\, = g(x)</math> e <math>du\, = f'(x)dx</math>.

== Exemplos ==
Algumas [[Antiderivada|antiderivadas]] podem ser obtidas via integração por partes. Vejamos alguns exemplos:
* <math>\int x e^{x}dx = xe^{x} - \int e^{x}dx=(x-1)e^x \,</math> + C
onde escolheu-se <math>u(x)=x\,</math> e <math>dv=e^{x}dx\,</math>.

* <math>\int_{1}^{2}x\ln(x) dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2}xdx\,</math>
escolhendo <math display="inline"> u = \ln(x) </math> e <math display="inline"> dv = x\,dx </math>.

== Demonstração ==
Pela [[regra do produto]], temos que:

<math>{d \over dx}[u(x)*v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)</math>

Integrando dos dois lados em dx, ficamos com:

<math>u(x)*v(x) = \int u'(x)*v(x) dx + \int u(x)*v'(x) dx</math>

Abrindo o u'(x) e v'(x):

<math>u(x)*v(x) = \int v(x) {du \over dx} dx + \int u(x)*{dv \over dx} dx
</math>

Simplificando as integrais, ficamos com:

<math>u(x)*v(x) = \int v(x) du + \int u(x) dv
</math>

Conclui-se que:

<math>u(x)*v(x) - \int v(x) du = \int u(x) dv
</math>

== Ver também ==
* [[Identidades de green]]
* [[Métodos de integração]]
* [[Somatório por partes]]
* [[Tabela de integrais]]

{{referências}}

== Bibliografia ==
* Ávila, Geraldo Severo de Souza. '''Introdução à análise matemática'''. 2<sup><u>a</u></sup>edição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.

* Rudin, Walter. '''Principles of mathematical analysis'''. 3<sup><u>a</u></sup>edição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.

[[Categoria:Cálculo integral]]

[[es:Métodos de integración#Método de integración por partes]]