Mostrar código-fonte de Integral de Tchebychev

[[File:Chebishev01.jpg|right|thumb|200px|''[[Pafnuti Tchebychev|Pafnuty L. Chebyshev]] — (1821-1894)'']]
A '''Integral de Tchebychev''' é formulada por

{{Teorema|1= <math>\int x^p (1-x)^q dx = B(x; 1+p, 1+ q) </math>}}

onde <math> B(x; a, b) </math> é a [[Função beta#Função beta incompleta|função beta incompleta]].<ref>{{Citar web|titulo=Chebyshev Integral|url=http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevIntegral.html|obra=mathworld.wolfram.com|acessodata=2019-10-28|lingua=en|primeiro=Eric W.|ultimo=Weisstein}}</ref>

== Teorema de integração dos binômios diferenciais ==

[[Pafnuti Tchebychev|Tchebychev]] demostrou que as [[integral indefinida|integrais indefinidas]] binômicas da forma:<ref>{{springer|title=Differential binomial|id=Differential_binomial&oldid=11396}}</ref>

:<math> \int x^m (a+b\,x^n)^p dx </math>

onde <math>a</math> e <math>b</math> são [[números reais]] e <math>m</math>, <math>n</math> e <math>p</math> são [[números racionais]], não podem ser expressos em termos de [[funções elementares]] para qualquer <math>m</math>, <math>n</math> e <math>p</math>, exceto no caso em que (pelo menos) uma das condições é satisfeita:<ref>{{Citar web|titulo=Differential binomial - Encyclopedia of Mathematics|url=https://www.encyclopediaofmath.org//index.php?title=Differential_binomial&oldid=11396|obra=www.encyclopediaofmath.org|acessodata=2019-10-28}}</ref><ref name=":0" />

; <math>p</math> é um [[número inteiro]];

: Expande-se <math>(a+b\,x^n)^p</math> pela fórmula [[Binómio de Newton|binomial]], escrevemos o integrando como uma [[função racional]] dos radicais simples <math>\sqrt[c]{x^i} = x^\frac{i}{c}</math>. Então a substituição <math>x = t^r</math>, onde <math>r</math> é o maior de todos os [[Denominador|denominadores]] <math>c</math>, removerá completamente os radicais.<ref name=":1">{{citar periódico|ultimo=Boyadzhiev|primeiro=Khristo N.|data=2006|titulo=CHEBYSHE|url=http://www2.onu.edu/~m-caragiu.1/bonus_files/CHEBYSHE.pdf|jornal=Integrals of differential binomials and Chebyshev’s criterion|acessodata=}}</ref>

; <math>\frac{m+1}{n}</math> é um número inteiro;

: Substitui-se <math>a+b\,x^n = t^k</math> onde <math>k</math> é o denominador de <math>p</math>,<ref name=":0">{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/799468131|título=Problems in mathematical analysis|ultimo=Demidovǐc, Boris P.|ultimo2=Baranenkov, G.|data=1964|editora=Moskva|local=Moscow(IS)|isbn=0846407612|oclc=799468131}}</ref> ou seja, <math>x=\sqrt[n]{\frac{t^k-a}{b}}</math> e <math>x^m=\biggl(\frac{t^k-a}{b}\biggr)^{\frac{m}{n}}</math>.<ref>{{citar periódico|ultimo=Harris, Claus|primeiro=Mitchell, Jon|data=|titulo=advanced integration techniques|url=http://universitymathsociety.weebly.com/uploads/1/3/5/1/13518336/advanced_integration_techniques.pdf|jornal=ADVANCED TECHNIQUES OF INTEGRATION|acessodata=}}</ref>

; <math>p+\frac{m+1}{n}</math> é um número inteiro. 

: Substitui-se <math>ax^{-n}+b = t^k</math> onde <math>k</math> é o denominador de <math>p</math>.<ref name=":1" /><ref name=":0" />

Caso nenhuma condição seja satisfeita, a não função não pode ser representada por [[Função elementar|funções elementares]].<ref>{{springer|title=Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials|id=Chebyshev_theorem_on_the_integration_of_binomial_differentials&oldid=17835}}</ref>

=== Exemplo ===

* <math>\int x^3(1+2x^2)^{-\frac{3}{2}}dx</math>,<ref name=":0" /> onde <math>p = -\frac{3}{2}</math>, <math>n=2</math> e <math>m=3</math>, ou seja, <math>\frac{m+1}{n}=\frac{3+1}{2}=2</math>.

Logo, <math>1+2x^2=z^2\longrightarrow x= \sqrt{\frac{z^2-1}{2}} \longrightarrow dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{z}{\sqrt{z^2-1}}dz</math> .

Assim, <math>F(x)=\int \bigg(\frac{z^2-1}{2}\biggr)^\frac{3}{2}(z^2)^{-\frac{3}{2}}z(z^2-1)^{-\frac{1}{2}}dz = 
\frac{1}{4}\int z^{-2}(z^2-1)dz=
\frac{1}{4}\int \biggl(1-\frac{1}{z^2}\biggl)dz=
\frac{1}{4}\biggr(z+\frac{1}{z}\biggr)+C=
\frac{1}{4}\biggr(\sqrt{1+2x^2}+\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}\biggr)+C.</math>

== Ver também ==
*[[Função beta#Função beta incompleta|Função beta incompleta]].

{{listaref}}

{{funções}}
{{Portal3|matemática}}
[[Categoria:Análise]]
[[Categoria:Cálculo]]
[[Categoria:Funções matemáticas|Tchebychev, Integral de]]