Integral de Tchebychev

Pafnuty L. Chebyshev — (1821-1894)

A Integral de Tchebychev é formulada por

onde $B(x;a,b)$ é a função beta incompleta.

Teorema de integração dos binômios diferenciais

Tchebychev demostrou que as integrais indefinidas binômicas da forma:

$\int x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx$

onde $a$ e $b$ são números reais e $m$, $n$ e $p$ são números racionais, não podem ser expressos em termos de funções elementares para qualquer $m$, $n$ e $p$, exceto no caso em que (pelo menos) uma das condições é satisfeita:

$p$ é um número inteiro;

Expande-se $(a+b{x}^n{)}^p$ pela fórmula binomial, escrevemos o integrando como uma função racional dos radicais simples $\sqrt[c]{x^i}=x^{\frac{i}{c}}$. Então a substituição $x=t^r$, onde $r$ é o maior de todos os denominadores $c$, removerá completamente os radicais.

$\frac{m+1}{n}$ é um número inteiro;

Substitui-se $a+b{x}^n=t^k$ onde $k$ é o denominador de $p$, ou seja, $x=\sqrt[n]{\frac{t^k-a}{b}}$ e $x^m=(\frac{t^k-a}{b}{)}^{\frac{m}{n}}$.

$p+\frac{m+1}{n}$ é um número inteiro.

Substitui-se $a{x}^{-n}+b=t^k$ onde $k$ é o denominador de $p$.

Caso nenhuma condição seja satisfeita, a não função não pode ser representada por funções elementares.

Exemplo

• $\int x^3(1+2x^2{)}^{-\frac{3}{2}}dx$, onde $p=-\frac{3}{2}$, $n=2$ e $m=3$, ou seja, $\frac{m+1}{n}=\frac{3+1}{2}=2$.

Logo, $1+2x^2=z^2⟶x=\sqrt{\frac{z^2-1}{2}}⟶dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{z}{\sqrt{z^2-1}}dz$ .

Assim, $F(x)=\int (\frac{z^2-1}{2}{)}^{\frac{3}{2}}(z^2{)}^{-\frac{3}{2}}z(z^2-1{)}^{-\frac{1}{2}}dz=\frac{1}{4}\int z^{-2}(z^2-1)dz=\frac{1}{4}\int (1-\frac{1}{z^2})dz=\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z})+C=\frac{1}{4}(\sqrt{1+2x^2}+\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}})+C.$

Ver também

• Função beta incompleta.