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{{Acoplamento na ciência}}
Na [[física quântica]], a '''interação spin-órbita''' (também chamado '''efeito spin-órbita''' ou '''acoplamento spin-órbita''') é qualquer interação de [[partículas]] de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atômica de elétrons devido a uma interação entre o momento de dipolo magnético do spin e o campo magnético interno do átomo gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o [[momento angular]] e da [[força nuclear forte]], ocorre por [[Próton|prótons]] e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em [[semicondutores]] e outros materiais são explorados para [[Ciências aplicadas|aplicações tecnológicas]].<ref>{{Citar periódico|ultimo=Caetano|primeiro=R. A.|data=2016-03-24|titulo=Spin-Current and Spin-Splitting in Helicoidal Molecules Due to Spin-Orbit Coupling|jornal=Scientific Reports|volume=6|pmid=27009836|doi=10.1038/srep23452|url=http://www.nature.com/articles/srep23452|idioma=inglês}}</ref> A interação spin-órbita é uma das causas da [[anisotropia]] magnetocristalina.

== Momentos angulares e momentos magnéticos (imagem semi-clássica) == 
Uma [[Corrente elétrica|corrente]] numa [[Espira (eletromagnetismo)|espira]] tem associado a ela um [[momento magnético]] dado por:  

<math>\vec{\mu}=I. \vec{A}</math> .

Nessa expressão <math>\scriptstyle I</math> é a intensidade da corrente e <math>\scriptstyle \vec{A}</math> é o [[Vetor (matemática)|vetor]] área cuja [[direção]] é [[Perpendicularidade|perpendicular]] ao [[Plano (geometria)|plano]] da espira e o [[Sentido (matemática)|sentido]] é consistente com a [[Regra de Fleming|regra do parafuso de rosca direita]]:

<math>A=\pi.r^2</math> 

e ''i''  = carga do electrão '''X''' número de vezes por segundo que o electrão passa num dado ponto = e.''f'' onde ''f'' é a frequência de rotação do electrão.

Módulo do momento de dípolo magnético 

<math>|\vec{\mu}| = I.A=(e.f).(\pi.r^{2})</math>

Cuja direção é oposta a do [[momento angular]] orbital <math>\scriptstyle \vec{L}</math> porque o electrão possui carga negativa.

Agora

<math>|\vec{L}| = m.v.r=.(2\pi.f.r)r=2mf\pi.r^{2} = \frac{2m}{e}.|\vec{\mu}|</math>

Portanto

<math>\vec{\mu}=\frac{e}{2m}.\vec{L}</math> (Z)

Dado que o momento angular é [[Quantização (física)|quantizado]], temos:  

<math>\vec{I} = m\hbar \hat{I}</math>

Na primeira órbita de Bohr, m = 1 e a equação (Z) torna-se  

<math>\vec{\mu}_{i}=\frac{-e\hbar\hat{I}}{2m}=-\vec{\mu}_{B}\hat{I}</math> (Y)

onde <math>\mu_{B}</math> é chamado [[magnetão de Bohr]] e o seu valor é dado por 

<math>\mu_{B}=\frac{e\hbar}{2m}</math>


Pode-se ver da Equação (Y) que <math>\scriptstyle \vec{\mu}_{i}</math> é anti-paralelo ao momento angular orbital.

O [[Razão (matemática)|rácio]] entre o [[momento magnético]] e o [[momento angular]] orbital é chamado o rácio giromagnético clássico, 

<math>\gamma_{i}=\Bigg|\frac{\vec{\mu}_{i}}{\vec{I}}\Bigg| = \frac{e}{2m} = \frac{\mu_{B}}{\hbar}</math> (X)

O momento angular de spin também possui um momento magnético a ele associado.
 
O seu rácio giromagnético é aproximadamente duas vezes o valor clássico para o [[momento orbital]], isto é,

<math>\gamma_{s}=\Bigg|\frac{\vec{\mu}_{s}}{\vec{S}}\Bigg| = \frac{e}{m}</math> (K)

Isso significa que o [[spin]] é duas vezes mais eficaz em produzir um momento magnético do que o momento angular. 

Equações (X) e (K) são muitas vezes combinados, escrevendo 

<math>\gamma = \frac{ge}{2m}</math>

onde a grandeza  g é chamada o fator de divisão espectroscópico.  
Para momentos angulares orbitais g = 1, para spin apenas g ≈ 2 (embora
experimentalmente g = 2 004). 

Para os Estados que são misturas de momento angular orbital e momento angular de spin, g não é inteiro . 

Dado que

<math>s=\frac{1}{2}\hbar</math>

O momento magnético devido ao spin do electrão é:  

<math>\mu_{s}=\gamma_{s}|\vec{s}|=\frac{e}{m}.\frac{\hbar}{2}=\mu_{B}</math>

Assim, a menor unidade de momento magnético para o electrão é o magnetão de Bohr, quer se combine momento angular orbital ou spin.

== A interação spin-órbita (mecânica quântica) ==
Na inclusão introdutória do spin na [[função de onda]] de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do [[espaço de configuração]].<ref name=":0">{{Citar livro|url=http://pt.scribd.com/doc/48312717/Fisica-Atomica|editora=|ano=2013|isbn=|local=Reino Unido|nome=Christopher Amelye|sobrenome=KIWANGA|seção=|editor=Christopher Amelye. KIWANGA|título=Física Nuclear|subtítulo=Introdução à Física Nuclear|língua=português|edição=1|páginas=133|acessodata=2013-08-22|arquivourl=https://web.archive.org/web/20140110214308/http://pt.scribd.com/doc/48312717/Fisica-Atomica|arquivodata=2014-01-10|urlmorta=yes}}</ref> 
 
Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto. 

<math>\Psi_{\text{total}}=\psi_{nlm}(r,\theta,\phi).\chi(spin).e^{-iE_{n}t/\hbar}</math>

<math>\Psi_{\text{total}}=\Bigg|R_{nl}.e^{-i.E_{n}\frac{t}{\hbar}}\Bigg\rangle.|l,m\rangle.|s,m_{s}\rangle</math> (P)

A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e 

<math>\lfloor\hat{L},\hat{S}\rfloor=0</math>

Neste caso, <math>\scriptstyle \Psi_{\text{total}}</math> é uma auto-função de ambos <math>\scriptstyle L_{z}</math> e <math>\scriptstyle S_{z}</math>  e portanto <math>\scriptstyle m_{l}</math> e <math>\scriptstyle m_{s}</math> são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de <math>\scriptstyle \vec{L}</math> e <math>\scriptstyle \vec{S}</math> são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre <math>\scriptstyle \vec{L}</math> e <math>\scriptstyle \vec{S}</math> chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza <math>\scriptstyle \vec{L}.\vec{S}</math>.

Dado que <math>\scriptstyle \vec{L}.\vec{S}</math> não comuta quer com <math>\scriptstyle \vec{L}</math> ou com <math>\scriptstyle \vec{S}</math>, a equação (P) torna-se incorreta e <math>\scriptstyle m_{l}</math> e <math>\scriptstyle m_{s}</math> deixam de ser bons números quânticos. 

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante. 

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico  

<math>\vec{\varepsilon}=\frac{Ze}{r^2}\hat{r}</math>

Onde <math>\scriptstyle \hat{r}</math> dirige‐se do núcleo em direção ao electrão. 

Assumindo que <math>\scriptstyle \vec{v}</math> é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é: 

<math>\vec{j}=-\frac{Ze}{c}\vec{v}</math>

No sistema de referência de repouso do electrão.
 
Portanto 

<math>\vec{H}_{e} = -\frac{Ze}{c}\frac{\vec{v}\wedge\hat{r}}{r^2} = -\frac{1}{c}\vec{v}\wedge\vec{\varepsilon}</math>

O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:  

<math>\vec{\omega}_{e}=\gamma\vec{H}_{e}=-\frac{e}{m_{0}c^2}\vec{v}\wedge\varepsilon</math>

Com energia potencial 

<math>E_{e}=-\vec{\mu}_{s}.\vec{H}_{e}=-\vec{\omega}_{e}.\vec{S}</math>

As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].<ref name=":0" /> 
 
Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de  

<math>\vec{\omega}_{L}=-\frac{e}{2m_{0}c^2}\vec{v}\wedge\vec{\varepsilon}</math> (T)

e por uma energia adicional dada por  

<math>\Delta E=-\frac{1}{2}\vec{\omega}_{e}.\vec{S}</math>

As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o '''V''' ser qualquer potencial central com simetria esférica. 

De forma que 

<math>\vec{F}=-\hat{r}\frac{\partial V}{\partial r}=e\vec{\varepsilon}</math>

e então

<math>\vec{v}\wedge\vec{\varepsilon}=\frac{1}{e}\frac{\partial V}{\partial r}\vec{v}\wedge\vec{r} = \frac{1}{em_{0}}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\vec{L}</math>

A equação (T) torna-se então 

<math>\vec{\omega}_{L} = +\frac{1}{2m_{0}^{2}c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\vec{L}</math>

E a energia adicional  
 
<math>\Delta E =+\frac{1}{2m_{0}^{2}c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\vec{L}.\vec{S}</math>

O produto escalar 

<math>\vec{L}.\vec{S}=m\hbar s</math>

Para spin = ½

<math>\vec{L}.\vec{S}=m\hbar.\frac{1}{2}\hbar=\frac{1}{2}m\hbar^2</math>

A separação energética se torna então 

<math>|\Delta E| =\frac{\hbar^2 m}{4m_{0}^{2}c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}</math>

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:   

<math>\Delta E =\frac {\lambda_{c}^{2}mZe^2}{r^3}</math>

Onde 

<math>\lambda_{c}=\frac{h}{m_{o}c}</math> 

é o [[comprimento de onda de Compton]]

<math>\lambda_{c}=\frac{h}{m_{o}c}</math> ou <math>\frac{\lambda_{c}}{2\pi}</math>

Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de <math>\scriptstyle \frac{1}{r^3}</math> i.e.

<math>\Bigg\langle\frac{1}{r^3}\Bigg\rangle=\frac{Z^2}{a_{o^2}n^{2}l\Bigg(l+\frac{1}{2}\Bigg)(l+1)}</math>

para <math>\scriptstyle l \neq 0</math>

De modo que a separação energética se torna  

<math>\Delta E = \frac{\bar{\lambda}_{c}^{2}m_{i}Z^{3}e}{a_{0}^{2}n^{2}l(l+1/2)(l+1)}</math>

para <math>\scriptstyle l \neq 0</math>

== Esquemas de acoplamento do momento angular==
Consideramos até agora somente o acoplamento do spin e momento orbital de um
único electrão por meio da interação spin-órbita. Nós agora vamos considerar o caso
de dois electrões nos quais há quatro momentos constituintes. 

=== O modelo de acoplamento j - j ===
Este modelo assume que a interação de spin-órbita domina as interações
electrostáticas entre as partículas.   

Assim, nós escrevemos para cada partícula 

<math>\vec{J}_{1} = \vec{L}_{1} + \vec{S}_{1}\; e \;\vec{J}_{2} = \vec{L}_{2} + \vec{S}_{2}</math>

O momento angular total é obtido combinando <math>\scriptstyle \vec{J}_{1}</math> e <math>\scriptstyle\vec{J}_{2}</math> : 

<math>\vec{J} = \vec{J}_{1}+\vec{J}_{2}</math>.

sendo assim temos

<math>j =|j_{1} + j_{2}|,|j_{1} + j_{2}-1|,.....,|j_{1} - j_{2}|</math>

Ilustramos o acoplamento j-j aplicando-o a dois electrões p não equivalentes. 

Para cada electrão 

<math>j_{1}=j_{2}=\frac{1}{2}</math> ou <math>\frac{3}{2}</math>

Em um campo magnético fraco, cada Estado de um determinado j irá desdobrar-se em (2j+1) estados, correspondendo aos valores permitidos de mj.

Embora o acoplamento j-j seja amplamente utilizado para a descrição dos estados nucleares observados em espectroscopia nuclear, não é adequado para muitos sistemas atómicos por causa das interações electrostáticas e outras interações entre os dois electrões.

=== O esquema de acoplamento de Russell-Saunders === 
O modelo de acoplamento de Russell-Saunders tem sido mais bem sucedido no
enquadramento dos espectros atómicos de todos, excepto dos átomos mais pesados.
O modelo pressupõe que a interação electrostática, incluindo forças de intercâmbio, 

entre dois electrões domina a interação de spin-órbita. Neste caso, os momentos
orbitais e os spins dos dois electrões combinam separadamente para formar 

<math>\vec{L}=\vec{L}_{1}+\vec{L}_{2} \;e\; \vec{S}=\vec{S}_{1}+\vec{S}_{2}</math>

O momento angular total é dado, por

<math>\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}</math>

O valor absoluto de <math>\scriptstyle \vec{L}</math> , corresponde a:

<math>|\vec{L}|=\sqrt{l(l+1)}\hbar</math>

onde os valores possíveis de L são:

<math>l=l_{1}+l_{2},l_{1}+l_{2}-1...l_{1}-l_{2}</math> para <math>l_{1}\geq l_{2}</math>

O número quântico ''l'' determina as características do nível:

<math>l=0,1,2...\text{indicam os níveis}\;S,P,D...</math>

l=1, corresponde ao nível P, mas não significa necessariamente que a configuração de um dos electrões esteja individualmente num estado p.

As transições ópticas seguem as seguintes regras de seleção:

<math>\Delta l=\pm1</math> para um só electrão

<math>\Delta l=0,\pm1</math> para o sistema total.  

significa que os estados quânticos dos dois electrões variam simultaneamente, e em direções opostas, o que só é possível quando o acoplamento é forte, como é o caso dos átomos pesados.

Para dois electrões-p não equivalente temos: 

<math>\textbf{l}=2,1,\;ou \;0\;e\;s=1\;ou\;0</math>                                 

Para cada ''l'' e ''s'', os valores de ''j'' são <math> |l+s|,|l+s-1|,....,|l-s|</math>

para cada valor de j existem  (2j+1) valores de <math>\scriptstyle m_{j}</math>. As combinações são dadas na tabela.

Observar-se-á que, apesar do número de Estados é uma vez mais 36 em um campo magnético fraco, as suas energias não são as mesmas que aquelas no esquema de acoplamento '''j-j''' 

{{referências}}

[[Categoria:Física atômica e molecular]]
[[Categoria:Magnetismo]]
[[Categoria:Eletrônica]]
[[Categoria:Física da matéria condensada]]