Interação spin-órbita

Predefinição:Sidebar Na física quântica, a interação spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou acoplamento spin-órbita) é qualquer interação de partículas de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atômica de elétrons devido a uma interação entre o momento de dipolo magnético do spin e o campo magnético interno do átomo gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o momento angular e da força nuclear forte, ocorre por prótons e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas. A interação spin-órbita é uma das causas da anisotropia magnetocristalina.

Momentos angulares e momentos magnéticos (imagem semi-clássica)

Uma corrente numa espira tem associado a ela um momento magnético dado por:

$\overrightarrow{\mu }=I.\overrightarrow{A}$ .

Nessa expressão $I$ é a intensidade da corrente e $\overrightarrow{A}$ é o vetor área cuja direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido é consistente com a regra do parafuso de rosca direita:

$A=\pi .r^2$

e i = carga do electrão X número de vezes por segundo que o electrão passa num dado ponto = e.f onde f é a frequência de rotação do electrão.

Módulo do momento de dípolo magnético

$|\overrightarrow{\mu }|=I.A=(e.f).(\pi .r^2)$

Cuja direção é oposta a do momento angular orbital $\overrightarrow{L}$ porque o electrão possui carga negativa.

Agora

$|\overrightarrow{L}|=m.v.r=.(2\pi .f.r)r=2mf\pi .r^2=\frac{2m}{e}.|\overrightarrow{\mu }|$

Portanto

$\overrightarrow{\mu }=\frac{e}{2m}.\overrightarrow{L}$ (Z)

Dado que o momento angular é quantizado, temos:

$\overrightarrow{I}=m\hslash \hat{I}$

Na primeira órbita de Bohr, m = 1 e a equação (Z) torna-se

${\overrightarrow{\mu }}_i=\frac{-e\hslash \hat{I}}{2m}=-{\overrightarrow{\mu }}_B\hat{I}$ (Y)

onde ${\mu }_B$ é chamado magnetão de Bohr e o seu valor é dado por

${\mu }_B=\frac{e\hslash }{2m}$

Pode-se ver da Equação (Y) que ${\overrightarrow{\mu }}_i$ é anti-paralelo ao momento angular orbital.

O rácio entre o momento magnético e o momento angular orbital é chamado o rácio giromagnético clássico,

${\gamma }_i=\left|\frac{{\overrightarrow{\mu }}_i}{\overrightarrow{I}}\right|=\frac{e}{2m}=\frac{{\mu }_B}{\hslash }$ (X)

O momento angular de spin também possui um momento magnético a ele associado.

O seu rácio giromagnético é aproximadamente duas vezes o valor clássico para o momento orbital, isto é,

${\gamma }_s=\left|\frac{{\overrightarrow{\mu }}_s}{\overrightarrow{S}}\right|=\frac{e}{m}$ (K)

Isso significa que o spin é duas vezes mais eficaz em produzir um momento magnético do que o momento angular.

Equações (X) e (K) são muitas vezes combinados, escrevendo

$\gamma =\frac{ge}{2m}$

onde a grandeza g é chamada o fator de divisão espectroscópico. Para momentos angulares orbitais g = 1, para spin apenas g ≈ 2 (embora experimentalmente g = 2 004).

Para os Estados que são misturas de momento angular orbital e momento angular de spin, g não é inteiro .

Dado que

$s=\frac{1}{2}\hslash$

O momento magnético devido ao spin do electrão é:

${\mu }_s={\gamma }_s|\overrightarrow{s}|=\frac{e}{m}.\frac{\hslash }{2}={\mu }_B$

Assim, a menor unidade de momento magnético para o electrão é o magnetão de Bohr, quer se combine momento angular orbital ou spin.

A interação spin-órbita (mecânica quântica)

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

${\mathrm{\Psi }}_{\text{total}}={\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi ).\chi (spin).e^{-i{E}_{n}t/\hslash }$

${\mathrm{\Psi }}_{\text{total}}=|R_{nl}.e^{-i.E_n\frac{t}{\hslash }}⟩.|l,m⟩.|s,m_s⟩$ (P)

A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

$\lfloor \hat{L},\hat{S}\rfloor =0$

Neste caso, ${\mathrm{\Psi }}_{\text{total}}$ é uma auto-função de ambos $L_z$ e $S_z$ e portanto $m_l$ e $m_s$ são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de $\overrightarrow{L}$ e $\overrightarrow{S}$ são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre $\overrightarrow{L}$ e $\overrightarrow{S}$ chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza $\overrightarrow{L}.\overrightarrow{S}$.

Dado que $\overrightarrow{L}.\overrightarrow{S}$ não comuta quer com $\overrightarrow{L}$ ou com $\overrightarrow{S}$, a equação (P) torna-se incorreta e $m_l$ e $m_s$ deixam de ser bons números quânticos. 

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

$\overrightarrow{\epsilon }=\frac{Ze}{r^2}\hat{r}$

Onde $\hat{r}$ dirige‐se do núcleo em direção ao electrão. 

Assumindo que $\overrightarrow{v}$ é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é: 

$\overrightarrow{j}=-\frac{Ze}{c}\overrightarrow{v}$

No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

${\overrightarrow{H}}_e=-\frac{Ze}{c}\frac{\overrightarrow{v}\wedge \hat{r}}{r^2}=-\frac{1}{c}\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{\epsilon }$

O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

${\overrightarrow{\omega }}_e=\gamma {\overrightarrow{H}}_e=-\frac{e}{m_0{c}^2}\overrightarrow{v}\wedge \epsilon$

Com energia potencial

$E_e=-{\overrightarrow{\mu }}_s.{\overrightarrow{H}}_e=-{\overrightarrow{\omega }}_e.\overrightarrow{S}$

As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

${\overrightarrow{\omega }}_L=-\frac{e}{2m_0{c}^2}\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{\epsilon }$ (T)

e por uma energia adicional dada por

$\mathrm{\Delta }E=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{\omega }}_e.\overrightarrow{S}$

As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

$\overrightarrow{F}=-\hat{r}\frac{\partial V}{\partial r}=e\overrightarrow{\epsilon }$

e então

$\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{\epsilon }=\frac{1}{e}\frac{\partial V}{\partial r}\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{r}=\frac{1}{e{m}_0}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\overrightarrow{L}$

A equação (T) torna-se então

${\overrightarrow{\omega }}_L=+\frac{1}{2m_0^2{c}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\overrightarrow{L}$

E a energia adicional

$\mathrm{\Delta }E=+\frac{1}{2m_0^2{c}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\overrightarrow{L}.\overrightarrow{S}$

O produto escalar

$\overrightarrow{L}.\overrightarrow{S}=m\hslash s$

Para spin = ½

$\overrightarrow{L}.\overrightarrow{S}=m\hslash .\frac{1}{2}\hslash =\frac{1}{2}m{\hslash }^2$

A separação energética se torna então

$|\mathrm{\Delta }E|=\frac{{\hslash }^{2}m}{4m_0^2{c}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}$

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

$\mathrm{\Delta }E=\frac{{\lambda }_c^{2}mZ{e}^2}{r^3}$

Onde

${\lambda }_c=\frac{h}{m_{o}c}$

é o comprimento de onda de Compton

${\lambda }_c=\frac{h}{m_{o}c}$ ou $\frac{{\lambda }_c}{2\pi }$

Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de $\frac{1}{r^3}$ i.e.

$⟨\frac{1}{r^3}⟩=\frac{Z^2}{a_{o^2}{n}^{2}l(l+\frac{1}{2})(l+1)}$

para $l\ne 0$

De modo que a separação energética se torna

$\mathrm{\Delta }E=\frac{{\overline{\lambda }}_c^2{m}_i{Z}^{3}e}{a_0^2{n}^{2}l(l+1/2)(l+1)}$

para $l\ne 0$

Esquemas de acoplamento do momento angular

Consideramos até agora somente o acoplamento do spin e momento orbital de um único electrão por meio da interação spin-órbita. Nós agora vamos considerar o caso de dois electrões nos quais há quatro momentos constituintes.

O modelo de acoplamento j - j

Este modelo assume que a interação de spin-órbita domina as interações electrostáticas entre as partículas.

Assim, nós escrevemos para cada partícula

${\overrightarrow{J}}_1={\overrightarrow{L}}_1+{\overrightarrow{S}}_{1}e{\overrightarrow{J}}_2={\overrightarrow{L}}_2+{\overrightarrow{S}}_2$

O momento angular total é obtido combinando ${\overrightarrow{J}}_1$ e ${\overrightarrow{J}}_2$ :

$\overrightarrow{J}={\overrightarrow{J}}_1+{\overrightarrow{J}}_2$.

sendo assim temos

$j=|j_1+j_2|,|j_1+j_2-1|,.....,|j_1-j_2|$

Ilustramos o acoplamento j-j aplicando-o a dois electrões p não equivalentes.

Para cada electrão

$j_1=j_2=\frac{1}{2}$ ou $\frac{3}{2}$

Em um campo magnético fraco, cada Estado de um determinado j irá desdobrar-se em (2j+1) estados, correspondendo aos valores permitidos de mj.

Embora o acoplamento j-j seja amplamente utilizado para a descrição dos estados nucleares observados em espectroscopia nuclear, não é adequado para muitos sistemas atómicos por causa das interações electrostáticas e outras interações entre os dois electrões.

O esquema de acoplamento de Russell-Saunders

O modelo de acoplamento de Russell-Saunders tem sido mais bem sucedido no enquadramento dos espectros atómicos de todos, excepto dos átomos mais pesados. O modelo pressupõe que a interação electrostática, incluindo forças de intercâmbio,

entre dois electrões domina a interação de spin-órbita. Neste caso, os momentos orbitais e os spins dos dois electrões combinam separadamente para formar

$\overrightarrow{L}={\overrightarrow{L}}_1+{\overrightarrow{L}}_{2}e\overrightarrow{S}={\overrightarrow{S}}_1+{\overrightarrow{S}}_2$

O momento angular total é dado, por

$\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$

O valor absoluto de $\overrightarrow{L}$ , corresponde a:

$|\overrightarrow{L}|=\sqrt{l(l+1)}\hslash$

onde os valores possíveis de L são:

$l=l_1+l_2,l_1+l_2-1...l_1-l_2$ para $l_1\ge l_2$

O número quântico l determina as características do nível:

$l=0,1,2...\text{indicam os níveis}S,P,D...$

l=1, corresponde ao nível P, mas não significa necessariamente que a configuração de um dos electrões esteja individualmente num estado p.

As transições ópticas seguem as seguintes regras de seleção:

$\mathrm{\Delta }l=\pm 1$ para um só electrão

$\mathrm{\Delta }l=0,\pm 1$ para o sistema total.

significa que os estados quânticos dos dois electrões variam simultaneamente, e em direções opostas, o que só é possível quando o acoplamento é forte, como é o caso dos átomos pesados.

Para dois electrões-p não equivalente temos:

$\mathbf{\text{l}}=2,1,ou0es=1ou0$

Para cada l e s, os valores de j são $|l+s|,|l+s-1|,....,|l-s|$

para cada valor de j existem (2j+1) valores de $m_j$. As combinações são dadas na tabela.

Observar-se-á que, apesar do número de Estados é uma vez mais 36 em um campo magnético fraco, as suas energias não são as mesmas que aquelas no esquema de acoplamento j-j