Mostrar código-fonte de Inversa de Moore–Penrose

{{descrição curta|Inversa generalizada mais conhecida de uma matriz}}
Em [[matemática]], e em particular em [[álgebra linear]], a '''matriz inversa de Moore-Penrose''' {{Tmath|A^+}} de uma [[Matriz (matemática)|matriz]] {{Tmath|A}} é a [[generalização]] mais conhecida da matriz inversa.{{Sfn|Ben-Israel|Greville|2003|p=7}} {{Sfn|Campbell|Meyer|1991|p=10}} {{Sfn|Nakamura|1991|p=42}} {{Sfn|Rao|Mitra|1971|p=50–51}} Ela foi descrita independentemente por [[Eliakim Hastings Moore|EH Moore]]<ref name="Moore19202">{{Citar periódico |url=http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183425340 |título=On the reciprocal of the general algebraic matrix |periódico=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |número=9 |ultimo=Moore |primeiro=E. H. |autorlink=E. H. Moore |ano=1920 |paginas=394–95 |doi=10.1090/S0002-9904-1920-03322-7 |volume=26 |doi-access=free}}</ref> em 1920, [[Arne Bjerhammar]]<ref name="Bjerhammar19512">{{Citar periódico |título=Application of calculus of matrices to method of least squares; with special references to geodetic calculations |periódico=Trans. Roy. Inst. Tech. Stockholm |ultimo=Bjerhammar |primeiro=Arne |autorlink=Arne Bjerhammar |ano=1951 |volume=49}}</ref> em 1951 e [[Roger Penrose]]<ref name="Penrose19552">{{Citar periódico |título=A generalized inverse for matrices |periódico=[[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]] |número=3 |ultimo=Penrose |primeiro=Roger |autorlink=Roger Penrose |ano=1955 |paginas=406–13 |bibcode=1955PCPS...51..406P |doi=10.1017/S0305004100030401 |volume=51 |doi-access=free}}</ref> em 1955. Anteriormente, [[Erik Ivar Fredholm]] introduziu o conceito de pseudoinversa para [[operador integral|operadores integrais]] em 1903. Ao se referir a uma matriz, o termo pseudoinversa, sem maiores especificações, é frequentemente usado para indicar a inversa de Moore-Penrose. O termo [[inversa generalizada]] às vezes é usado como sinônimo de pseudoinversa.

Um uso comum da pseudoinversa é o cálculo da solução de mínimos quadrados para um [[sistema de equações lineares]] que não possui solução. Outro uso é encontrar a solução de norma ([[Espaço euclidiano|euclidiana]]) mínima para um sistema de equações lineares com múltiplas soluções. A matriz pseudoinversa facilita o enunciado e a e a prova de resultados em álgebra linear.

A pseudoinversa é definida e única para todas as matrizes cujas entradas são números [[Número real|reais]] ou [[Número complexo|complexos]]. Pode ser determinada usando-se a [[Decomposição em valores singulares|decomposição de valores singulares]]. No caso especial em que {{Tmath|A}} é uma [[matriz normal]] (por exemplo, uma matriz Hermitiana), a pseudoinversa {{Tmath|A^+}}anula o [[Núcleo (álgebra linear)|núcleo]] de {{Tmath|A}} e atua como uma inversa tradicional de {{Tmath|A}} no subespaço ortogonal ao núcleo.

==Notação==
Na discussão a seguir, as seguintes convenções são adotadas:

* {{tmath| \mathbb{K} }} denota o corpo dos números reais ({{tmath| \mathbb{R} }}) ou o cordos dos números complexos ({{tmath| \mathbb{C} }}). O [[espaço vetorial]] de matrizes {{tmath| m \times n }} sobre {{tmath| \mathbb{K} }} é denotado por {{tmath| \mathbb{K}^{m \times n} }}.
* Para {{tmath| A \in \mathbb{K}^{m\times n} }}, sua transposta é denotada por {{tmath| A^\operatorname{T} }} e a transposta conjugada (também chamada de [[Conjugado transposto|adjunta]]) é denotada por {{tmath| A^* }}. Se <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}</math>, entãoo <math>A^* = A^\operatorname{T}</math>.
* Para {{tmath| A \in \mathbb{K}^{m\times n} }}, {{tmath| \operatorname{Col}(A) }} denota o espaço coluna (imagem) de {{tmath| A }} (o espaço gerado pelos vetores colunas de {{tmath| A }}) e {{tmath| \operatorname{Nul}(A) }} (ou {{tmath| \ker(A) }}) denota o núcleo (espaço nulo) de {{tmath| A }}.
* Para qualquer inteiro positivo {{tmath| n }}, a [[matriz identidade]] de ordem {{tmath| n \times n }} é denotada por {{tmath| I_n \in \mathbb{K}^{n\times n} }}.

==Definição==
Para <math> A \in \mathbb{K}^{m\times n} </math>, uma pseudoinversa de ''{{Mvar|A}}'' é definida como uma matriz {{Tmath|A^+ \in \mathbb{K}^{n\times m} }} satisfazendo todos os quatro critérios a seguir, conhecidos como condições de Moore-Penrose:<ref name="Penrose19553">{{Citar periódico |título=A generalized inverse for matrices |periódico=[[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]] |número=3 |ultimo=Penrose |primeiro=Roger |autorlink=Roger Penrose |ano=1955 |paginas=406–13 |bibcode=1955PCPS...51..406P |doi=10.1017/S0305004100030401 |volume=51 |doi-access=free}}</ref><ref name="GvL19962">{{Citar livro|url=https://archive.org/details/matrixcomputatio00golu_910|título=Matrix computations|ultimo=Golub|primeiro=Gene H.|ultimo2=Charles F. Van Loan|editora=Johns Hopkins|ano=1996|localização=Baltimore|páginas=[https://archive.org/details/matrixcomputatio00golu_910/page/n283 257]–258|isbn=978-0-8018-5414-9|autorlink=Gene H. Golub|acessourl=limitado|edição=3rd}}</ref>

# {{Tmath|A A^+}} não precisa ser a matriz identidade, mas deve mapear todos os vetores colunas de ''{{Mvar|A}}'' em si mesmos:<math display="block">A A^+ A = \; A. </math>
# {{Tmath|A^+}} atua como uma inversa graca: <math display="block">A^+ A A^+ = \; A^+. </math>
# {{Tmath|A A^+}} é [[Matriz hermitiana|Hermitiana]]: <math display="block">\left(A A^+\right)^* = \; A A^+.  </math>
# {{Tmath|A^+A}} também é Hermitiana: <math display="block">\left(A^+ A\right)^* = \; A^+ A.   </math>

A pseudoinversa <math>A^+</math> existe para qualquer matriz <math> A \in \mathbb{K}^{m\times n} </math>. Se, além disso, <math>A</math> tem [[Posto matricial|posto]] completo, ou seja, seu posto é {{Tmath|\min \{ m,n \} }}, então {{Tmath|A^+}} tem uma expressão algébrica particularmente simples.

Em particular, quando {{Tmath|A}} tem colunas linearmente independentes (equivalentemente, {{Tmath|A}} é injetiva e, portanto {{Tmath|A^* A}} é invertível), {{Tmath|A^+}} pode ser calculado como<math display="block"> A^+ = \left(A^* A\right)^{-1} A^*.</math>

Esta pseudoinversa específica é uma ''inversa à esquerda'', ou seja, <math> A^+A = I </math> . Se, por outro lado, <math> A</math> tem linhas linearmente independentes (equivalentemente, <math> A</math> é sobrejetiva e, portanto, {{Tmath|A A^ *}} é invertível), {{Tmath|A^+}} pode ser calculado como

<math display="block"> A^+ = A^* \left(A A^*\right)^{-1}.</math>Esta é uma ''inversa à direita'', uma vez que <math> A A^+ = I</math>.

No caso mais geral, a matriz pseudoinversa pode ser expressa usando-se a [[Decomposição em valores singulares|decomposição de valores singulares]]. Qualquer matriz pode ser decomposta como <math> A=UDV^*</math> para algumas matrizes <math> U,V</math> e matriz real positiva diagonal <math> D</math> . A pseudoinversa pode então ser escrita como <math> A^+=V D^{-1} U^*</math> . Que esta matriz satisfaz o requisito acima é verificado diretamente observando que <math> AA^+=UU^*</math> e <math> A^+ A=VV^*</math>, que são as projeções na imagem e suporte de <math> A</math>

<math> A</math>, respectivamente.

==Propriedades==
===Existência e unicidade===
Para qualquer matriz {{tmath| A }}, existe uma, e somente uma pseudoinversa {{tmath| A^+ }}.<ref name="GvL1996">{{citar livro|título=Matrix computations|último=Golub|primeiro=Gene H.|autor2=Charles F. Van Loan|publicado=Johns Hopkins|isbn=978-0-8018-5414-9|autorlink=Gene H. Golub|edição=3rd|local=Baltimore|ano=1996|páginas=257–258|autorlink2=Charles F. Van Loan}}</ref>

Uma matriz que satisfaz a primeira condição da definição é conhecida como inversa generalizada. Se a matriz também satisfaz a segunda definição, ela é chamada de inversa generalizada reflexiva. Inversas generalizadas sempre existem, mas em geral não são únicas. A unicidade é uma consequência dessas duas condições.

===Propriedades básicas===
* Se {{tmath| A }} tem entradas reais, então {{tmath| A^+ }} também tem.
* Se {{tmath| A }} é invertível, sua pseudoinversa é sua inversa, ou seja, <math>A^+ = A^{-1}</math>.<ref name="SB2002">{{citar livro|último1=Stoer |primeiro1=Josef |último2=Bulirsch |primeiro2=Roland |título=Introduction to Numerical Analysis |publicado=[[Springer-Verlag]] |local=Berlin, New York |edição=3rd | isbn=978-0-387-95452-3 |ano=2002}}.</ref>
* A pseudoinversa de uma matriz nula é sua transposta, ou seja, <math>A^+ =  A^\operatorname{T} </math>.
* A pseudoinversa da pseudoinversa de <math>A</math> é a própria matriz <math>A</math>, ou seja, <math>\left(A^+\right)^+ = A</math>.<ref name="SB2002" />
* Pseudoinversion commutes with transposition, conjugation, and taking the conjugate transpose:<ref name="SB2002" />{{rp|245}}
*: <math>\left(A^\mathrm{T}\right)^+ = \left(A^+\right)^\mathrm{T}</math>, <math>\left(\overline{A}\right)^+ = \overline{A^+}</math>, <math>\left(A^*\right)^+ = \left(A^+\right)^*</math>.
* A pseudoinversa de um múltiplo escalar de {{tmath| A }} é o múltiplo inverso de {{tmath| A^+ }}, ou seja,  <math>\left(\alpha A\right)^+ = \alpha^{-1} A^+</math> for {{tmath| \alpha \neq 0 }}.

====Identidades====
As seguintes identidades podem ser usadas para simplificar ou expandir expressões envolvendo pseudoinversas:
: <math>\begin{alignat}{3}
  A^+ ={}& A^+    && A^{+*} && A^* \\
      ={}& A^*    && A^{+*} && A^+, \\
  A   ={}& A^{+*} && A^*    && A \\
      ={}& A      && A^*    && A^{+*}, \\
  A^* ={}& A^*    && A      && A^+ \\
      ={}& A^+    && A      && A^*.
\end{alignat}</math>

==Exemplos==

Como para matrizes invertíveis a pseudoinversa é igual à inversa usual, apenas exemplos de matrizes não invertíveis são apresentados abaixo.

* Para <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\,</math> a pseudoinversa é <math>\mathbf{A^+} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.</math> (De modo geral, a pseudoinversa de uma matriz nula é a sua transposta). A unicidade desta pseudoinversa pode ser vista a partir da condição <math>A^+ = A^+ A A^+</math>, já que a multiplicação por uma matriz nual sempre produz uma matriz nula.

* Para <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\,</math> a pseudoinversa é <math>\mathbf{A^+} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.</math> <br/> De fato, <math>\mathbf{A\,A^+} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}  \end{pmatrix},\,</math> e portanto <math>\mathbf{A\,A^+A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = A.</math> <br/> Similarmente, <math>\mathbf{A^+A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\,</math> e portanto <math>\mathbf{A^+A\,A^+} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A^+.</math>

* Para <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\ </math> <!--
--> <math>\mathbf{A^+} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.</math>

* Para <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix},\ </math> <!--
--> <math>\mathbf{A^+} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.</math> (Os denominadores são <math>5 = 1^2 + 2^2</math>.)

* Para <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ </math> <!--
--> <math>\mathbf{A^+} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.</math>

* Para <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\,</math> a pseudoinversa é <math>\mathbf{A^+} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.</math> <br/>Observe que para esta matriz, a inversa à esquerda existe e, portanto, é igual {{tmath| \mathbf{A^+} }}. De fato, <math>\mathbf{A^+A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.</math>

==Ver também==
* [[Inverso de Drazin|Inversa de Drazin]]
* [[Método dos mínimos quadrados]]
* [[Elemento inverso]]

{{Referências}}

==Bibliografia==
* {{citar livro|primeiro1= Adi |último1= Ben-Israel |autorlink1=Adi Ben-Israel|primeiro2= Thomas N.E. |último2= Greville |autorlink2=Thomas N. E. Greville|título=Generalized inverses: Theory and applications|edição= 2nd |local= New York, NY |publicado=  Springer |ano=2003| isbn = 978-0-387-00293-4 |ref=harv| doi = 10.1007/b97366 }}
* {{citar livro|primeiro1= S. L. |último1= Campbell |primeiro2= C. D. |último2= Meyer, Jr. |título= Generalized Inverses of Linear Transformations| url = https://archive.org/details/generalizedinver0000camp | acessourl=registo |publicado=Dover |ano=1991 | isbn = 978-0-486-66693-8 |ref=harv}}
* {{citar livro|primeiro= Yoshihiko |último= Nakamura  |título= Advanced Robotics: Redundancy and Optimization|publicado=Addison-Wesley  |ano= 1991 | isbn = 978-0201151985 |ref=harv}}
* {{citar livro|primeiro1= C. Radhakrishna |último1= Rao |primeiro2= Sujit Kumar |último2= Mitra|título= Generalized Inverse of Matrices and its Applications | url = https://archive.org/details/generalizedinver0000raoc | acessourl=registo |publicado= John Wiley & Sons |local= New York |ano= 1971 |página=[https://archive.org/details/generalizedinver0000raoc/page/240 240] | isbn = 978-0-471-70821-6 |ref=harv}}

[[Categoria:Teoria matricial]]
[[Categoria:Teoria dos operadores]]
[[Categoria:Decomposições matriciais]]
[[Categoria:Álgebra linear numérica]]