Inversa de Moore–Penrose

Predefinição:Descrição curta Em matemática, e em particular em álgebra linear, a matriz inversa de Moore-Penrose Predefinição:Tmath de uma matriz Predefinição:Tmath é a generalização mais conhecida da matriz inversa.Predefinição:Sfn Predefinição:Sfn Predefinição:Sfn Predefinição:Sfn Ela foi descrita independentemente por EH Moore em 1920, Arne Bjerhammar em 1951 e Roger Penrose em 1955. Anteriormente, Erik Ivar Fredholm introduziu o conceito de pseudoinversa para operadores integrais em 1903. Ao se referir a uma matriz, o termo pseudoinversa, sem maiores especificações, é frequentemente usado para indicar a inversa de Moore-Penrose. O termo inversa generalizada às vezes é usado como sinônimo de pseudoinversa.

Um uso comum da pseudoinversa é o cálculo da solução de mínimos quadrados para um sistema de equações lineares que não possui solução. Outro uso é encontrar a solução de norma (euclidiana) mínima para um sistema de equações lineares com múltiplas soluções. A matriz pseudoinversa facilita o enunciado e a e a prova de resultados em álgebra linear.

A pseudoinversa é definida e única para todas as matrizes cujas entradas são números reais ou complexos. Pode ser determinada usando-se a decomposição de valores singulares. No caso especial em que Predefinição:Tmath é uma matriz normal (por exemplo, uma matriz Hermitiana), a pseudoinversa Predefinição:Tmathanula o núcleo de Predefinição:Tmath e atua como uma inversa tradicional de Predefinição:Tmath no subespaço ortogonal ao núcleo.

Notação

Na discussão a seguir, as seguintes convenções são adotadas:

• Predefinição:Tmath denota o corpo dos números reais (Predefinição:Tmath) ou o cordos dos números complexos (Predefinição:Tmath). O espaço vetorial de matrizes Predefinição:Tmath sobre Predefinição:Tmath é denotado por Predefinição:Tmath.
• Para Predefinição:Tmath, sua transposta é denotada por Predefinição:Tmath e a transposta conjugada (também chamada de adjunta) é denotada por Predefinição:Tmath. Se $𝕂=ℝ$, entãoo $A^{*}=A^{\mathrm{T}}$.
• Para Predefinição:Tmath, Predefinição:Tmath denota o espaço coluna (imagem) de Predefinição:Tmath (o espaço gerado pelos vetores colunas de Predefinição:Tmath) e Predefinição:Tmath (ou Predefinição:Tmath) denota o núcleo (espaço nulo) de Predefinição:Tmath.
• Para qualquer inteiro positivo Predefinição:Tmath, a matriz identidade de ordem Predefinição:Tmath é denotada por Predefinição:Tmath.

Definição

Para $A\in {𝕂}^{m\times n}$, uma pseudoinversa de Predefinição:Mvar é definida como uma matriz Predefinição:Tmath satisfazendo todos os quatro critérios a seguir, conhecidos como condições de Moore-Penrose:

1. Predefinição:Tmath não precisa ser a matriz identidade, mas deve mapear todos os vetores colunas de Predefinição:Mvar em si mesmos:$$A{A}^{+}A=A.$$
2. Predefinição:Tmath atua como uma inversa graca: $$A^{+}A{A}^{+}=A^{+}.$$
3. Predefinição:Tmath é Hermitiana: $${\left(A{A}^{+}\right)}^{*}=A{A}^{+}.$$
4. Predefinição:Tmath também é Hermitiana: $${\left(A^{+}A\right)}^{*}=A^{+}A.$$

A pseudoinversa $A^{+}$ existe para qualquer matriz $A\in {𝕂}^{m\times n}$. Se, além disso, $A$ tem posto completo, ou seja, seu posto é Predefinição:Tmath, então Predefinição:Tmath tem uma expressão algébrica particularmente simples.

Em particular, quando Predefinição:Tmath tem colunas linearmente independentes (equivalentemente, Predefinição:Tmath é injetiva e, portanto Predefinição:Tmath é invertível), Predefinição:Tmath pode ser calculado como$$A^{+}={\left(A^{*}A\right)}^{-1}{A}^{*}.$$

Esta pseudoinversa específica é uma inversa à esquerda, ou seja, $A^{+}A=I$ . Se, por outro lado, $A$ tem linhas linearmente independentes (equivalentemente, $A$ é sobrejetiva e, portanto, Predefinição:Tmath é invertível), Predefinição:Tmath pode ser calculado como

$$A^{+}=A^{*}{\left(A{A}^{*}\right)}^{-1}.$$Esta é uma inversa à direita, uma vez que $A{A}^{+}=I$.

No caso mais geral, a matriz pseudoinversa pode ser expressa usando-se a decomposição de valores singulares. Qualquer matriz pode ser decomposta como $A=UD{V}^{*}$ para algumas matrizes $U,V$ e matriz real positiva diagonal $D$ . A pseudoinversa pode então ser escrita como $A^{+}=V{D}^{-1}{U}^{*}$ . Que esta matriz satisfaz o requisito acima é verificado diretamente observando que $A{A}^{+}=U{U}^{*}$ e $A^{+}A=V{V}^{*}$, que são as projeções na imagem e suporte de $A$

$A$, respectivamente.

Propriedades

Existência e unicidade

Para qualquer matriz Predefinição:Tmath, existe uma, e somente uma pseudoinversa Predefinição:Tmath.

Uma matriz que satisfaz a primeira condição da definição é conhecida como inversa generalizada. Se a matriz também satisfaz a segunda definição, ela é chamada de inversa generalizada reflexiva. Inversas generalizadas sempre existem, mas em geral não são únicas. A unicidade é uma consequência dessas duas condições.

Propriedades básicas

• Se Predefinição:Tmath tem entradas reais, então Predefinição:Tmath também tem.
• Se Predefinição:Tmath é invertível, sua pseudoinversa é sua inversa, ou seja, $A^{+}=A^{-1}$.
• A pseudoinversa de uma matriz nula é sua transposta, ou seja, $A^{+}=A^{\mathrm{T}}$.
• A pseudoinversa da pseudoinversa de $A$ é a própria matriz $A$, ou seja, ${\left(A^{+}\right)}^{+}=A$.
• Pseudoinversion commutes with transposition, conjugation, and taking the conjugate transpose:Predefinição:Rp

  ${\left(A^{\mathrm{T}}\right)}^{+}={\left(A^{+}\right)}^{\mathrm{T}}$, ${\left(\bar{A}\right)}^{+}=\overline{A^{+}}$, ${\left(A^{*}\right)}^{+}={\left(A^{+}\right)}^{*}$.

• A pseudoinversa de um múltiplo escalar de Predefinição:Tmath é o múltiplo inverso de Predefinição:Tmath, ou seja, ${\left(\alpha A\right)}^{+}={\alpha }^{-1}{A}^{+}$ for Predefinição:Tmath.

Identidades

As seguintes identidades podem ser usadas para simplificar ou expandir expressões envolvendo pseudoinversas:

$\begin{array}{cccccc}{A}^{+}=& A^{+}& & A^{+*}& & A^{*}\\ =& A^{*}& & A^{+*}& & A^{+},\\ A=& A^{+*}& & A^{*}& & A\\ =& A& & A^{*}& & A^{+*},\\ A^{*}=& A^{*}& & A& & A^{+}\\ =& A^{+}& & A& & A^{*}.\end{array}$

Exemplos

Como para matrizes invertíveis a pseudoinversa é igual à inversa usual, apenas exemplos de matrizes não invertíveis são apresentados abaixo.

• Para $𝐀=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$ a pseudoinversa é ${𝐀}^{\mathbf{+}}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$ (De modo geral, a pseudoinversa de uma matriz nula é a sua transposta). A unicidade desta pseudoinversa pode ser vista a partir da condição $A^{+}=A^{+}A{A}^{+}$, já que a multiplicação por uma matriz nual sempre produz uma matriz nula.

• Para $𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right),$ a pseudoinversa é ${𝐀}^{\mathbf{+}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0\end{array}\right).$
  De fato, $𝐀{𝐀}^{\mathbf{+}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right),$ e portanto $𝐀{𝐀}^{\mathbf{+}}𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=A.$
  Similarmente, ${𝐀}^{\mathbf{+}}𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$ e portanto ${𝐀}^{\mathbf{+}}𝐀{𝐀}^{\mathbf{+}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0\end{array}\right)=A^{+}.$

• Para $𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\end{array}\right),$ ${𝐀}^{\mathbf{+}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& 0\end{array}\right).$

• Para $𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 0\end{array}\right),$ ${𝐀}^{\mathbf{+}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\\ 0& 0\end{array}\right).$ (Os denominadores são $5=1^2+2^2$.)

• Para $𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),$ ${𝐀}^{\mathbf{+}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right).$

• Para $𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 1\end{array}\right),$ a pseudoinversa é ${𝐀}^{\mathbf{+}}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right).$
  Observe que para esta matriz, a inversa à esquerda existe e, portanto, é igual Predefinição:Tmath. De fato, ${𝐀}^{\mathbf{+}}𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Ver também

• Inversa de Drazin
• Método dos mínimos quadrados
• Elemento inverso

Bibliografia

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