Mostrar código-fonte de Lema do Incentro-Exincentro


Em [[geometria]], o '''lema do incentro-exincentro''' é o [[teorema]] de que o segmento de reta entre o [[incentro]] e qualquer [[exincentro]] de um triângulo, ou entre dois exincentros, é o [[diâmetro]] de uma [[circunferência]] (uma ''circunferência'' ''incentro-exincentro'' ou ''exincentro-exincentro'') que passa por dois [[Vértice|vértices]] do triângulo e que tem centro sobre a [[circunferência circunscrita]].{{Referências múltiplas|chen|lw|weisstein}} Este teorema é mais conhecido na Rússia, onde é chamado de '''teorema do trillium''' ({{Lang|ru|теорема трилистника}}) ou '''lema do tridente''' ({{Lang|ru|лемма о трезубце}}), baseado na semelhança da figura geométrica com uma flor de [[trillium]] ou com um [[tridente]].{{Referências múltiplas|rusources|mosolymp}}

Essas relações derivam do fato do incentro e os exincentros de qualquer triângulo formarem um [[sistema ortocêntrico]] cujo [[círculo de nove pontos]] é o círculo circunscrito do triângulo original.{{Referências múltiplas|johnson|lw}} O teorema é útil para resolver problemas competitivos de geometria euclidiana,{{Referências múltiplas|chen}} e pode ser usado para reconstruir um triângulo a partir de um vértice, o incentro e o circuncentro.

== Enunciado ==
[[Ficheiro:Trillium_theorem2.svg|miniaturadaimagem|Lema incentro-exincentro com incentro {{Mvar|I}} e exincentro {{Mvar|E}}]]
Seja {{Mvar|ABC}} um [[triângulo]] qualquer. Seja {{Mvar|I}} o seu [[incentro]] e seja {{Mvar|D}} o ponto onde a reta {{Mvar|BI}} (a [[bissetriz interna]] de {{Math|∠''ABC''}}) cruza a [[circunferência circunscrita]] a {{Mvar|ABC}}. Então, o teorema afirma que {{Mvar|D}} é equidistante de {{Mvar|A}}, {{Mvar|C}} e de {{Mvar|I}} (isto é, dista o mesmo até esses três pontos). Equivalentemente:

* A circunferência que passa por {{Mvar|A}}, {{Mvar|C}} e {{Mvar|I}} tem centro em {{Mvar|D}}. Em particular, isto implica que o centro desta circunferência fica sobre o círculo circunscrito.{{Referências múltiplas|morris|bogomolny2}} 
* Os três triângulos {{Mvar|AID}}, {{Mvar|CID}} e {{Mvar|ACD}} são [[Triângulo isósceles|isósceles]], tendo {{Mvar|D}} como vértice comum aos lados de mesmo comprimento.

Um quarto ponto {{Mvar|E}}, o [[exincentro]] de {{Mvar|ABC}} com relação a {{Mvar|B}}, também está à mesma distância de {{Mvar|D}}, diametralmente oposto a {{Mvar|I}}.{{Referências múltiplas|mosolymp|bogomolny1}}

== Demonstração ==
Pelo [[Ângulo inscrito|teorema do ângulo inscrito]], <math>\angle IBA = \angle DCA, \ \angle IBC = \angle DAC. </math>

Já que <math>BI</math> é uma bissetriz interna, <math> \angle DCA = \angle DAC \implies AD = CD. </math>

Também concluímos que

: <math>
\begin{align}
\angle DIA &= 180^\circ - \angle AIB \\
&= 180^\circ - (180^\circ - \angle IAB - \angle IBA) \\
&= \angle IAB + \angle IBA \\
&= \angle IAC + \angle DAC \\
&= \angle IAD \\
\implies AD &= DI.
\end{align}
</math>

== Veja também ==

* [[Bissetriz#Teorema da bissetriz interna|Teorema da Bissetriz Interna]]

== Referências ==
{{Reflist|30em|refs=<ref name=bogomolny1>{{cite web
 | last = Bogomolny |first = Alexander |author-link = Alexander Bogomolny
 | title = Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters
 | work = [[Cut-the-Knot]]
 | url = http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/InExCircum.shtml
 | access-date = 2016-01-26
 }}</ref>

<ref name=bogomolny2>{{cite web
 | last = Bogomolny |first = Alexander |author-link = Alexander Bogomolny
 | title = A Property of Circle Through the Incenter
 | work = [[Cut-the-Knot]]
 | url = http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/OnePropertyOfCircleThroughIncenter.shtml
 | access-date = 2016-01-26
 }}</ref>

<ref name=chen>{{cite book
 | last = Chen | first = Evan
 | year = 2016
 | chapter = §1.4 The Incenter/Excenter Lemma
 | title = Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads
 | publisher = Mathematical Association of America
 | pages = 9–10 
 | isbn = 9780883858394
 }}</ref>

<ref name=johnson>{{cite book
 | last = Johnson |first = Roger A.
 | year = 1929
 | title = Modern Geometry
 | publisher = Houghton Mifflin
 | chapter = X. Inscribed and Escribed Circles
 | pages = 182–194
 | chapter-url = https://archive.org/details/moderngeometry0000unse_q5z5/page/182/
 | chapter-url-access = limited
 }}</ref>

<ref name=rusources>
Trillium theorem: {{cite web
 | url = http://www.geometry.ru/persons/kushnir/9pointcircle.pdf
 | title = Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера
 | at = Ф7 (Теорема трилистника), page 34; proof on page 36
 | author = И. А. Кушнир
 | language = ru
 }} {{pb}}
Trident lemma: {{cite web
 | title = Задачи для школьного математического кружка
 | author1=Р. Н. Карасёв |author2=В. Л. Дольников |author3=И. И. Богданов |author4=А. В. Акопян |pages = 4
 | location = Problem 1.2
 | url = http://www.rkarasev.ru/common/upload/taskprob.pdf
 | language = ru
 }}
<!-- Triangle ABC is inscribed in circle S. I is the center of inscribed circle of the triangle ABC. The line AI intersects S second time in the point D. Prove that DB = DC = DI. -->
</ref>

<ref name=lw>{{cite journal
 | last1 = Le | first1 = Nguyen
 | last2 = Wildberger | first2 = Norman
 | year = 2016
 | title = Incenter Symmetry, Euler Lines, and Schiffler Points
 | journal = KoG
 | volume = 20
 | number = 20
 | pages = 22–30
 | url = https://hrcak.srce.hr/174092
 }}</ref>

<ref name=morris>{{citation
 | last = Morris | first = Richard
 | issue = 2
 | journal = [[The Mathematics Teacher]]
 | jstor = 27951001
 | pages = 63–71
 | title = Circles through notable points of the triangle
 | volume = 21
 | year = 1928| doi = 10.5951/MT.21.2.0069
 }}. See in particular the discussion on p.&nbsp;65 of circles {{mvar|BIC}}, {{mvar|CIA}}, {{mvar|AIB}}, and their centers.</ref>

<ref name=mosolymp>{{cite web
 | url = http://math.mosolymp.ru/upload/files/2015/aesc/approaching-2014-10-29-inscribed-angles.pdf
 | publisher = СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова
 | title = 6. Лемма о трезубце
 | date = 2014-10-29
 | language = ru
 }}</ref>

<ref name=weisstein>{{cite book
 | last = Weisstein | first = Eric W.
 | year = 1999
 | title = CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
 | publisher = CRC Press
 | isbn = 0849396409
 | at = [https://archive.org/details/crcconciseencycl0000weis/page/591/ "Excenter–Excenter Circle"] p. 591, [https://archive.org/details/crcconciseencycl0000weis/page/894/ "Incenter–Excenter Circle"] p. 894
 }} Republished at ''[[MathWorld]]'': [https://mathworld.wolfram.com/Excenter-ExcenterCircle.html "Excenter–Excenter Circle"], [https://mathworld.wolfram.com/Incenter-ExcenterCircle.html "Incenter–Excenter Circle"].</ref>}}
[[Categoria:!CS1 russo-fontes em língua (ru)]]
[[Categoria:Teoremas de matemática]]
[[Categoria:Geometria do triângulo]]