Lema do Incentro-Exincentro

Em geometria, o lema do incentro-exincentro é o teorema de que o segmento de reta entre o incentro e qualquer exincentro de um triângulo, ou entre dois exincentros, é o diâmetro de uma circunferência (uma circunferência incentro-exincentro ou exincentro-exincentro) que passa por dois vértices do triângulo e que tem centro sobre a circunferência circunscrita.Predefinição:Referências múltiplas Este teorema é mais conhecido na Rússia, onde é chamado de teorema do trillium (Predefinição:Lang) ou lema do tridente (Predefinição:Lang), baseado na semelhança da figura geométrica com uma flor de trillium ou com um tridente.Predefinição:Referências múltiplas

Essas relações derivam do fato do incentro e os exincentros de qualquer triângulo formarem um sistema ortocêntrico cujo círculo de nove pontos é o círculo circunscrito do triângulo original.Predefinição:Referências múltiplas O teorema é útil para resolver problemas competitivos de geometria euclidiana,Predefinição:Referências múltiplas e pode ser usado para reconstruir um triângulo a partir de um vértice, o incentro e o circuncentro.

Enunciado

Lema incentro-exincentro com incentro Predefinição:Mvar e exincentro Predefinição:Mvar

Seja Predefinição:Mvar um triângulo qualquer. Seja Predefinição:Mvar o seu incentro e seja Predefinição:Mvar o ponto onde a reta Predefinição:Mvar (a bissetriz interna de Predefinição:Math) cruza a circunferência circunscrita a Predefinição:Mvar. Então, o teorema afirma que Predefinição:Mvar é equidistante de Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar e de Predefinição:Mvar (isto é, dista o mesmo até esses três pontos). Equivalentemente:

• A circunferência que passa por Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar tem centro em Predefinição:Mvar. Em particular, isto implica que o centro desta circunferência fica sobre o círculo circunscrito.Predefinição:Referências múltiplas
• Os três triângulos Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar são isósceles, tendo Predefinição:Mvar como vértice comum aos lados de mesmo comprimento.

Um quarto ponto Predefinição:Mvar, o exincentro de Predefinição:Mvar com relação a Predefinição:Mvar, também está à mesma distância de Predefinição:Mvar, diametralmente oposto a Predefinição:Mvar.Predefinição:Referências múltiplas

Demonstração

Pelo teorema do ângulo inscrito, $\mathrm{\angle }IBA=\mathrm{\angle }DCA,\mathrm{\angle }IBC=\mathrm{\angle }DAC.$

Já que $BI$ é uma bissetriz interna, $\mathrm{\angle }DCA=\mathrm{\angle }DAC⟹AD=CD.$

Também concluímos que

$\begin{array}{cc}\mathrm{\angle }DIA& =180^{\circ }-\mathrm{\angle }AIB\\ & =180^{\circ }-(180^{\circ }-\mathrm{\angle }IAB-\mathrm{\angle }IBA)\\ & =\mathrm{\angle }IAB+\mathrm{\angle }IBA\\ & =\mathrm{\angle }IAC+\mathrm{\angle }DAC\\ & =\mathrm{\angle }IAD\\ ⟹AD& =DI.\end{array}$

Veja também

• Teorema da Bissetriz Interna