Mostrar código-fonte de Lema fundamental de teoria dos crivos

{{mais fontes|data=fevereiro de 2014}}

Em [[teoria dos números]], especificamente em [[teoria dos crivos]], o '''lema fundamental de teoria de crivos''' é um de vários resultados que sistematizam o processo de aplicar [[Teoria dos crivos|métodos de crivagem]] a problemas particulares. [[Heini Halberstam|Halberstam]] e [[Hans-Egon Richert|Richert]]
<ref name="HR">
{{citar livro | sobrenome = Halberstam | nome = Heini |autorlink=Heini Halberstam | autor2 =[[Hans-Egon Richert|H. -E. Richert]]| título = Sieve Methods | editora = Academic Press | local = London | ano = 1974 | isbn = 0123182506 }}
</ref>
asseguram:
{{quote|Uma curiosidade na literatura dos métodos de crivagem, é que bem se usa frequentemente o [[crivo de Brun|Brun]], tendo poucos intentos de formular um ''teorema'' geral de Brun (tal como o teorema 2.1); como resultado, existem demasiados trabalhos surpreendentes, os quais se repetem em considerável detalhe, nos passos dos argumentos de Brun.}}

Diamond e [[Heini Halberstam|Halberstam]]<ref name="DH">
{{citar livro | sobrenome= Diamond | nome = Harold G. | sobrenome2 = Halberstam | nome2 = Heini | autorlink2 = Heini Halberstam  | outros = With William F. Galway | título = A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions |serie= Cambridge Tracts in Mathematics |volume=177 | editora = Cambridge University Press | local = Cambridge | ano = 2008 | isbn = 9780521894876 }}</ref>
atribuíram a terminologia ''Lema Fundamental'' a [[Jonas Kubilius]].

== Notação Comum ==
Usaremos a seguinte notação:
* ''A'' é um conjunto de ''X'' inteiros positivos, isto é |''A''|=''X'', e ''A''<sub>''d''</sub> é o subconjunto de ''A'' de inteiros divisíveis por ''d''.
* ''w''(''d'') e ''R''<sub>''d''</sub> são funções de ''A'' e de ''d'' que estimam o número de elementos de ''A'' que são divisíveis por ''d'', de acordo com a fórmula
:<math> \left\vert A_d \right\vert = \frac{w(d)}{d} X + R_d . </math>
:Logo ''w''(''d'') / ''d'' representa uma densidade aproximada de membros divisíveis por ''d'', e ''R''<sub>''d''</sub> representa um erro ou término de resíduo.
* ''P'' é um conjunto de primos, e ''P''(''z'') é o produto dos elementos deste que são menores ou iguais a ''z''
* ''S''(''A'', ''P'', ''z'') é o número de elementos de ''A'' que não são divisíveis por qualquer primo em ''P'' isto é ≤ ''z''
* κ é uma constante, chamada densidade discriminadora,<ref name="Greaves" /> que aparece nas hipóteses anteriores . Esta medida de peso é uma [[média ponderada]] do número de classes residuais afastadas por cada primo.

== Lema fundamental do crivo combinatório ==
Esta formulação é de Tenenbaum.<ref name="Tenenbaum">
{{citar livro | sobrenome = Tenenbaum | nome = Gérald | título = Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory | editora = Cambridge University Press | local = Cambridge | ano = 1995 | isbn = 0521412617 }}
</ref> Outras formulações em [[Heini Halberstam|Halberstam]] e [[Hans-Egon Richert|Richert]],<ref name="HR" /> en Greaves,<ref name="Greaves">
{{citar livro | sobrenome = Greaves | nome = George | título = Sieves in Number Theory | editora = Springer | local = Berlin | ano = 2001 | isbn = 3540416471 }}
</ref> e en [[John Friedlander|Friedlander]] e [[Henryk Iwaniec|Iwaniec]].<ref>{{citar web |apelido=Friedlander |nome=John |autorlink=John Friedlander |autor2= [[Henryk Iwaniec]] |ano=1978 |título=On Bombieri's asymptotic sieve |publicação=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze 4<sup>e</sup> série |volume=5 |número=4 |páginas=719–756 |url=http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1978_4_5_4_719_0 |acessodata=2009-02-14 }}</ref>
Consideremos as seguinte hipóteses :
* ''w''(''d'') é uma [[função multiplicativa]].
* a densidade discriminadora κ satisfaz, para alguma constante ''C'' e qualquer par de números reais η e ξ com 2 ≤ η ≤ ξ:
:<math>\prod_{\eta \le p \le \xi} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) ^{-1} < \left( \frac{\ln \xi}{\ln \eta} \right) ^\kappa \left( 1 + \frac{C}{\ln \eta} \right). </math>

Existe um parâmetro ''u'' ≥ 1 isto é, a nossa disposição. Temos uniformente em ''A'', ''X'', ''z'', e ''u'' que
:<math>S(a,P,z) = X \prod_{p \le z, p \in P} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) \{1 + O(u^{-u/2})\} + O\left(\sum_{d \le z^u, d|P(z)} |R_d| \right).</math>
Para certas aplicações fixamos ''u'' de maneira que obtemos o melhor término de erro possível. No crivo isto representa o número de níveis no [[Princípio da inclusão-exclusão|princípio de inclusão-exclusão]].

== Lema fundamental para o crivo de Selberg ==
Esta formulação viene de [[Heini Halberstam|Halberstam]] e [[Hans-Egon Richert|Richert]].<ref name="HR" /> outra formulação encontra-se em Diamond e [[Heini Halberstam|Halberstam]].<ref name="DH" />

Considere as hipóteses :
* ''w''(''d'') é uma [[função multiplicativa]].
* a densidade discriminadora κ satisfaz, para alguma constante ''C'' e para qualquer par de números reais η e ξ con 2 ≤ η ≤ ξ:
:<math> \sum_{\eta \le p \le \xi} \frac{w(p) \ln p}{p} < \kappa \ln \frac{\xi}{\eta} + C. </math>
* ''w''(''p'') / p < 1 - ''c'' para algum número pequeno fixo ''c'' e todo ''p''
* | ''R''<sub>''d''</sub> | ≤ ω(''d'') onde ω(''d'') é o número de distintos divisores primos de ''d''.

O lema fundamental tem ao menos a mesma forma que a do crivo combinatório. Tomando ''u'' = ln ''X'' / ln ''z''. a conclusão é:
:<math>S(a,P,z) = X \prod_{p \le z, p \in P} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) \{1 + O(e^{-u/2})\}.</math>

Note que ''u'' não é um parâmetro pequeno a nossa disposição, mas é controlada pela variável ''z'', a qual encontra-se a nossa disposição.

Note que o término de erro é mais débil que o término existente no lema fundamental do crivo combinatório. Halberstam e Richert asseguram:<ref name="HR" /> "Logo não é certo dizer, como se tem assegurado na literatura (matemática) pelos tempos dos tempos, que o crivo de Selberg é sempre melhor que o de Brun."

{{referências}}

== Ver também ==
* [[Teoria dos crivos]]

{{portal|Matemática}}
{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Teoria dos crivos]]
[[Categoria:Teoria dos números]]