Lema fundamental de teoria dos crivos

Em teoria dos números, especificamente em teoria dos crivos, o lema fundamental de teoria de crivos é um de vários resultados que sistematizam o processo de aplicar métodos de crivagem a problemas particulares. Halberstam e Richert asseguram: Predefinição:Quote

Diamond e Halberstam atribuíram a terminologia Lema Fundamental a Jonas Kubilius.

Notação Comum

Usaremos a seguinte notação:

• A é um conjunto de X inteiros positivos, isto é |A|=X, e A_d é o subconjunto de A de inteiros divisíveis por d.
• w(d) e R_d são funções de A e de d que estimam o número de elementos de A que são divisíveis por d, de acordo com a fórmula

$\left|A_d\right|=\frac{w(d)}{d}X+R_d.$

Logo w(d) / d representa uma densidade aproximada de membros divisíveis por d, e R_d representa um erro ou término de resíduo.

• P é um conjunto de primos, e P(z) é o produto dos elementos deste que são menores ou iguais a z
• S(A, P, z) é o número de elementos de A que não são divisíveis por qualquer primo em P isto é ≤ z
• κ é uma constante, chamada densidade discriminadora, que aparece nas hipóteses anteriores . Esta medida de peso é uma média ponderada do número de classes residuais afastadas por cada primo.

Lema fundamental do crivo combinatório

Esta formulação é de Tenenbaum. Outras formulações em Halberstam e Richert, en Greaves, e en Friedlander e Iwaniec. Consideremos as seguinte hipóteses :

• w(d) é uma função multiplicativa.
• a densidade discriminadora κ satisfaz, para alguma constante C e qualquer par de números reais η e ξ com 2 ≤ η ≤ ξ:

$\prod _{\eta \le p\le \xi }{(1-\frac{w(p)}{p})}^{-1}<{\left(\frac{\ln \xi }{\ln \eta }\right)}^{\kappa }(1+\frac{C}{\ln \eta }).$

Existe um parâmetro u ≥ 1 isto é, a nossa disposição. Temos uniformente em A, X, z, e u que

$S(a,P,z)=X\prod _{p\le z,p\in P}(1-\frac{w(p)}{p})\{1+O(u^{-u/2})\}+O(\sum _{d\le z^u,d|P(z)}|R_d|).$

Para certas aplicações fixamos u de maneira que obtemos o melhor término de erro possível. No crivo isto representa o número de níveis no princípio de inclusão-exclusão.

Lema fundamental para o crivo de Selberg

Esta formulação viene de Halberstam e Richert. outra formulação encontra-se em Diamond e Halberstam.

Considere as hipóteses :

• w(d) é uma função multiplicativa.
• a densidade discriminadora κ satisfaz, para alguma constante C e para qualquer par de números reais η e ξ con 2 ≤ η ≤ ξ:

$\sum _{\eta \le p\le \xi }\frac{w(p)\ln p}{p}<\kappa \ln \frac{\xi }{\eta }+C.$

• w(p) / p < 1 - c para algum número pequeno fixo c e todo p
• | R_d | ≤ ω(d) onde ω(d) é o número de distintos divisores primos de d.

O lema fundamental tem ao menos a mesma forma que a do crivo combinatório. Tomando u = ln X / ln z. a conclusão é:

$S(a,P,z)=X\prod _{p\le z,p\in P}(1-\frac{w(p)}{p})\{1+O(e^{-u/2})\}.$

Note que u não é um parâmetro pequeno a nossa disposição, mas é controlada pela variável z, a qual encontra-se a nossa disposição.

Note que o término de erro é mais débil que o término existente no lema fundamental do crivo combinatório. Halberstam e Richert asseguram: "Logo não é certo dizer, como se tem assegurado na literatura (matemática) pelos tempos dos tempos, que o crivo de Selberg é sempre melhor que o de Brun."

Ver também

• Teoria dos crivos