Mostrar código-fonte de Limite

{{mais fontes|data=junho de 2010}}
{{nota:|Esta página é sobre a noção matemática de limite. Se procura outros significados da mesma expressão, consulte [[limite (desambiguação)]].}}
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{{Cálculo}}
Em [[matemática]], a noção de '''limite''' é usado para descrever o comportamento de uma [[função (matemática)|função]] à medida que o seu [[Argumento (matemática)|argumento]] se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito <math>(+\infty)</math>. Os limites são usados no [[cálculo diferencial|cálculo diferencial e integral]] e em outros ramos da [[análise matemática]] para definir [[derivada]]s, [[função contínua|continuidade de funções]], soma de Riemann, integrais definidas e integrais impróprias.

== Limite de uma sequência ==
{{AP|[[Limite de uma sequência]]}}
Seja <math>x_1, x_2, \ldots</math> uma [[Sequência (matemática)|sequência]] de [[número real|números reais]]. A expressão:
<math display="block"> \lim x_i = L</math>
significa que, para índices <math display="inline">i</math> suficientemente grandes, os termos <math display="inline">x_i</math> da sequência estão arbitrariamente próximos do valor <math display="inline">L.</math> Neste caso, dizemos que ''o limite da sequência é '' <math display="inline">L.</math> 

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um ''desafio''. O desafiante propõe quão perto de <math display="inline">L</math> os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice <math display="inline">i</math>, os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de <math display="inline">L</math> quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de <math display="inline">L</math> (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto <math display="inline">(L - \epsilon, L + \epsilon)</math> com <math display="inline">\epsilon > 0</math>, o desafiado deve exibir um número natural <math>N</math> tal que <math display="inline">\forall i</math> com <math display="inline">i > N</math> tem-se que  <math display="inline">x_i \in (L - \epsilon, L + \epsilon)</math>.

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:<ref name=":0">{{citar livro|título = Curso de Análise Vol.1|sobrenome = Lima|nome = Elon Lages|edição = 14|local = |editora = IMPA|ano = 2013|página = |isbn = 9788524401183}}</ref>
<math display="block">\forall \epsilon >0,~\exists N\in\mathbb{N};\forall i\in\mathbb{N}\land~i\geq N \Rightarrow |x_i - L| < \epsilon</math>

== Limite de uma função ==
{{AP|[[Limite de uma função]]}}

Suponhamos que <math display="inline">f(x)</math> é uma função real e que <math display="inline">c</math> é um número real. A expressão:
<math display="block"> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>
significa que <math display="inline">f(x)</math> se aproxima tanto de <math display="inline">L</math> quanto quisermos, quando se toma <math display="inline">x</math> suficientemente próximo de <math display="inline">c</math>.<ref>{{citar livro|título = Cálculo - Volume 1|sobrenome = Anton|nome = Howard|edição = 8|local = |editora = Bookman|ano = 2007|página = |isbn = 9788560031634}}</ref><ref name="Stewart, James 2009, pg. 98" /> Quando tal acontece dizemos que o limite de <math display="inline">f(x)</math>, à medida que <math display="inline">x</math> se aproxima de <math display="inline">c</math>, é <math display="inline">L</math>. 

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que <math display="inline">f(c) = L</math>, nem sequer que <math display="inline">f(x)</math> esteja definida em <math display="inline">c</math>. Agora,  no caso de <math display="inline">f(c)</math> existir (estar definido) e 
<math display="block">\lim_{x\to c} f(x) = f(c)</math>
diz-se que <math display="inline">f(x)</math> é [[Função contínua|contínua]] no ponto <math display="inline">c</math>.

=== Exemplos ===

Consideremos 
<math display="block">f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}</math>
à medida que <math display="inline">x</math> se aproxima de <math display="inline">2</math>, i.e busquemos calcular
<math display="block">\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2}\frac{x}{x^2 + 1}</math>
Neste caso, <math display="inline">f(x)</math> está definida em <math display="inline">2</math> e é igual ao seu limite: <math display="inline">0,\!4,</math> vejamos:

{| class="wikitable"
|f(1,9)||f(1,99)||f(1,999)||f(2)||f(2,001)||f(2,01)||f(2,1)
|-
|0,4121||0,4012||0,4001||<math>\rightarrow</math> 0,4 <math>\leftarrow</math>||0,3998||0,3988||0,3882
|}

À medida que <math display="inline">x</math> aproxima-se de <math display="inline">2</math>, <math display="inline">f(x)</math> aproxima-se de <math display="inline">0,\!4</math> e consequentemente temos
<math display="block">\lim_{x\to 2}f(x)=0,\!4</math>
Ou seja, <math display="inline">f(x)</math> é contínua no ponto <math display="inline">2</math>.

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua):
<math display="block">g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{se }x\ne 2 \\  \\ 0, & \mbox{se }x=2. \end{matrix}\right.</math>
O limite de <math display="inline">g(x)</math> à medida que <math display="inline">x</math> se aproxima de <math display="inline">2</math> é <math display="inline">0,\!4</math> (tal como no exemplo acima), mas 
<math display="block">g(2) = 0 \neq \lim_{x\to 2}g(x)</math> 
e consequentemente <math display="inline">g(x)</math> não é contínua em <math display="inline">x=2</math>.

Consideremos, agora, mais o seguinte  exemplo de uma função descontínua:
<math display="block"> h(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} </math>
Apesar de <math display="inline">h(x)</math> não estar definida em <math display="inline">x=1</math>, pode-se demonstrar (por exemplo, via [[regra de l'Hôpital]]) que
<math display="block">\lim_{x\to 1} h(x) = 2</math>

{| class="wikitable"
|h(0,9)||h(0,99)||h(0,999)||h(1.0)||h(1,001)||h(1,01)||h(1,1)
|-
|1,95||1,99||1,999||<math>\rightarrow</math> não está definido <math>\leftarrow</math>||2,001||2,010||2,10
|}

Observa-se que <math display="inline">x</math> pode ser tomado tão próximo de <math display="inline">1</math> quanto quisermos, sem no entanto ser igual a <math display="inline">1</math>, donde infere-se que o limite de <math display="inline">f(x)</math> é <math display="inline">2</math>.<ref name="Stewart, James 2009, pg. 98">Stewart, James. Cálculo vol. I. ISBN 978-85-221-0660-8. Ed. Cengage, 2009, pg. 98.</ref>

=== Definição formal===
[[Imagem:Limit.svg|thumb|250px|A definição ε-δ de limite.]]
Sejam <math>I\subset\mathbb{R}</math> um intervalo de números reais, <math>a\in I</math> e <math>f:I-\{a\}\to\mathbb{R}</math> uma função real definida em <math>I-\{a\}.</math> Escrevemos
<math display="block">A =  \lim_{x \to a}f(x)</math>
quando para qualquer que seja <math> \varepsilon>0</math> existe um <math> \delta>0</math> tal que para todo <math> x \in I,</math> satisfazendo <math>0<|x-a|< \delta,</math> vale <math>| f (x)-A|< \varepsilon</math><ref name=":0" />. Ou, usando a [[Notação matemática|notação simbólica]]:

<math display="block"> A = \lim_{x \to a} f(x) \Leftrightarrow  \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in I ; 0 < | x - a | < \delta  \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon</math>
===Exemplos de provas de limites ===

==== Exemplo 1 ====

<math>\lim_{x\rightarrow2} (3x + 1) = 7</math>
Supondo um <math>\epsilon > 0</math>

<math>|(3x + 1) - 7| < \epsilon</math>

<math>|3x - 6| < \epsilon</math>

Dividindo por 3 em ambos os lados:

<math>|x - 2| < \frac{\epsilon}{3}</math>

O que prova o limite com <math>\delta = \frac{\epsilon}{3} > 0</math>

==== Exemplo 2 ====
<math>\lim_{x \rightarrow 1} (1 + x) = 2</math>

Supondo um <math>\epsilon > 0</math>

<math>|1 + x - 2| < \epsilon</math>

<math>|x - 1| < \epsilon</math>

E isso completa a prova com <math>\delta = \epsilon > 0</math>

===Aproximação intuitiva===

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. A noção de limite ''pode ser aprendido'' de forma  intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita ''nunca'' vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere '''arbitrariamente''' muito pouco quando o valor de x difere de x<sub>0</sub> arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a [[Função matemática|função]]: <math>f(x)=2x+1</math> e imaginando <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos:
<math>f(0)=2.0+1</math> que nos dá: <math>f(0)=0+1 = 1,</math> ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

* Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
* Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
* Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
* Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

----
'''Exemplo 1.1''': Sendo uma função f definida por: <math>f(x)=2x+1</math> nos reais, calcular o limite da função <math>f</math> quando <math>x \to 1.</math> Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1:
Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função <math>f(x)</math> descrita nos exemplo acima, por exemplo:
Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

==Limites em funções de duas ou mais variáveis==
A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por <math> | x - a |,</math> não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:<ref>STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2007. 5ª edição. ISBN 85-211-0484-0. Página 900.</ref>

Seja <math>f</math> uma função do tipo:

<math display="block">D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R}</math><math display="block">x \longmapsto f(x) = z  </math>

Em que <math>x</math> é um vector com <math>n</math> coordenadas e <math>z</math> um número real. Se <math>a</math> for um vector com <math>n</math> coordenadas, então:

<math display="block"> \lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( x \in D\;\wedge 0 < d(x,a) < \delta \right ) \Longrightarrow | f(x) - L| < \epsilon</math>

Em que <math>d(x,a) = \| x - a \|</math> é a função distância.

=== Exemplo ===
Uma função do tipo:

<math display="block">\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}</math><math display="block">(x,y) \longmapsto f(x,y) = z  </math>

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um ''grau de liberdade'', ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter ''infinitos'' caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois '''limites laterais''' coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

<math display="block">\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}</math><math display="block">(x,y) \longmapsto f(x,y) = xy  </math>

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

<math display="block">\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) = L</math>

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

* o limite através do eixo dos <math>yy,</math> ou seja,

<math display="block">\lim_{x \to 0}f(x,0) = L</math>

Nesse caso o limite  L é zero.

* o limite através do eixo dos <math>xx,</math> ou seja,

<math display="block">\lim_{y \to 0}f(0,y) = L</math>

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então,  provar que

<math display="block"> \lim_{(x,y) \to (0, 0)} xy = 0</math>

Ou seja, provar que

<math display="block">\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( (x,y) \in \mathbb{R}^2\;\wedge 0 < \| (x,y) - (0,0) \| < \delta \right ) \Longrightarrow | xy - 0| < \epsilon</math><math display="block">\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( (x,y) \in \mathbb{R}^2\;\wedge 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \right ) \Longrightarrow | xy | < \epsilon</math>

Vamos procurar escrever <math>\delta</math> em função de <math>\epsilon.</math> 

<math display="block">\sqrt{x^2 + y^2} < \delta \Leftrightarrow x^2 + y^2 < \delta^2</math><math display="block">|xy| \leq \max\{|x|,|y|\}^2 \leq x^2 + y^2 < \delta^2</math>

Se escolhermos <math>\delta = \sqrt{\epsilon},</math> então, pela segunda desigualdade, <math> |xy| < \delta^2 = \epsilon,</math> o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

<math display="block">\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}</math><math display="block">(x,y) \longmapsto f(x,y) = {xy \over (x^2+y^2)} </math>

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das [[Parametrização|parametrizações]] dadas pelas equações paramétricas:

<math display="block">x = \left(\cos \alpha\right)t</math>

<math display="block">y = \left(\mathrm{sen}\, \alpha\right)t</math>

a função toma a forma

<math display="block">f(x,y) = {\cos(\alpha)\mathrm{sen}\,(\alpha) \over (\cos\alpha)^2+(\mathrm{sen}\,\alpha)^2} = {\mathrm{sen}\,(2\alpha) \over 2}</math>

Vê-se, então, que o valor do limite '''depende''' do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite '''não existe''' nesse ponto para essa função.

== Ver também ==
{{Wikilivros|Cálculo (Volume 1)|Limites e Continuidade}}
*[[Limite de uma função]]
*[[Lista de limites]]
*[[Função contínua]]

{{Referências}}

{{Funções}}
{{Análise}}
{{Controle de autoridade}}
{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Cálculo]]
[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:Topologia (matemática)]]