Mostrar código-fonte de Método das diferenças finitas

{{Mais fontes|ciência=sim|data=Março de 2011}}
O '''método das diferenças finitas''' (MDF) é um método de resolução de [[equação diferencial|equações diferenciais]] que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação obtém-se da [[série de Taylor]] da função derivada.<ref>{{citar livro|título=''Análise Numérica'', Editora CENGAGE Learning, 8° edição|autor=Richard L. Burden|coautor=J. Douglas Faires}}</ref> Hoje, os MDFs são a abordagem dominante das soluções numéricas de [[equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]].<ref name="GrossmannRoos2007">{{citar livro|autor1 =Christian Grossmann|autor2 =Hans-G. Roos|autor3 =Martin Stynes|título=Numerical Treatment of Partial Differential Equations|ano=2007|publicado=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-71584-9|página=23}}</ref>

O operador de diferenças finitas para derivada pode ser obtido a partir da série de Taylor para as seguintes funções:

:<math>f(x+h)=f(x)+f'(x)h + \frac{f''(x)h^2}{2} + \frac{f'''(x)h^3}{6} + o(h^4)\,
</math>
: <math>f(x-h) = f(x) - f'(x)h + \frac{f''(x)h^2}{2} - \frac{f'''(x)h^3}{6} + o(h^4)
</math>

Portanto, a derivada primeira pode ser escrita de três formas distintas como uma diferença-quociente mais um termo de erro, obtido ao desprezar-se termos de ordem superior :

:<math>f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+o(h)</math> , que é conhecida como fórmula das diferenças progressivas, ou
: <math>f'(x) = \frac{f(x) - f(x-h)}{h} + o(h)
</math> , que é conhecida como fórmula das diferenças regressivas, ou ainda
: <math>f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} + o(h^2)
</math> , que é conhecida como fórmula das diferenças centradas.
: Além disso, é possível obter derivadas de ordem superior. A [[derivada de segunda ordem]] é obtida a partir de
: <math>f(x+h) + f(x-h) = 2f(x) + f''(x)h^2 + o(h^4)
</math>

e é dada por  <math>f''(x) = \frac{f(x+h) -2f(x) + f(x-h)}{h^2} + o(h^2)
</math>

== Método das diferenças finitas para problemas lineares ==
A partir das aproximações por diferença-quociente para derivadas de qualquer ordem, é possível transformar equações diferenciais em problemas lineares. Para isso, é necessário ignorar o termo de erro e tornar <math>h
</math> um número muito pequeno, mas grande o suficiente para que não cause instabilidades nas aproximações das derivadas.

=== Resolução de problemas de contorno  ===
Para uma equação diferencial do tipo <math>y''(x)=f(x)y'(x)+g(x)y(x)+z(x)
</math>, onde <math>x
</math> varia de <math>a
</math> até <math>b
</math>,  <math>y(a)=\alpha


</math> e <math>y(b)=\beta
</math>.

A equação é aproximada pelo método das diferenças finitas, com um erro de truncamento igual a <math>o(h^2)
</math>, substituindo-se as derivadas pelas suas representações numéricas, que são dadas por:

<math>y'(x)=\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}
</math>

<math>y''(x)=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}

</math>

Como é possível perceber, necessita-se definir um valor para <math>h
</math>. Este valor pode ser definido pela divisão do intervalo em que se está interessado para a resolução do problema em <math>N
</math> intervalos menores. Assim, o valor de <math>h
</math> é dado por: <math>h=\frac{b-a}{N}</math>.

As extremidades destes subintervalos são dadas por  <math>x(i) = a + (i-1)h
</math>, para <math>i=1,2,...,N


</math>.

Para a resolução do problema, a equação é escrita na forma <math>y''(x)-f(x)y'(x)-g(x)y(x)=z(x)
</math>, que após a substituição das derivadas, torna-se:

<math>\frac{y(x(i)+h)-2y(x(i))+y(x(i)-h)}{h^2}-f(x(i))\left[\frac{y(x(i)+h)-y(x(i)-h)}{2h}\right]-g(x(i))y(x(i))=z(x(i))
</math> , para <math>i=2,3,...,N
</math>.

Como <math>x(i+1)=x(i)+h
</math>  e  <math>x(i-1)=x(i)-h</math>, aquela equação pode ser reescrita como

<math>\frac{y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^2}-f(x(i))\left[\frac{y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h}\right]-g(x(i))y(x(i))=z(x(i))
</math>.

Isolando os termos <math>y(x(i+1))
</math>, <math>y(x(i))
</math> e <math>y(x(i-1))</math> na fórmula acima, obtêm-se

<math>y(x(i-1))\left[\frac{1}{h^2}+\frac{f(x(i))}{2h}\right]+y(x(i))\left[\frac{-2}{h^2}-g(x(i))\right]+y(x(i+1))\left[\frac{1}{h^2}-\frac{f(x(i))}{2h}\right]=z(x(i))</math>

A partir desta equação é possível resolver o [[sistema linear]] a partir de uma matriz <math>A
</math> de coeficientes que multiplica os valores de <math>y
</math>, sendo que a solução deste sistema é dada por <math>B
</math>. Esse sistema linear é representado a seguir.

<math>A=\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots &\cdots & 0\\
\frac{1}{h^2}+\frac{f(x(2))}{2h} & \frac{-2}{h}-g(x(2)) & \frac{1}{h^2}-\frac{f(x(2))}{2h} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & 0\\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & \frac{1}{h^2}+\frac{f(x(N-1))}{2h} & \frac{-2}{h}-g(x(N)) &  \frac{1}{h^2}-\frac{f(x(N+1))}{2h}\\
0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}</math>

<math>B=\begin{bmatrix}
\alpha\\
z(x(2))\\
z(x(3))\\
\vdots\\
\beta
\end{bmatrix}</math>

Onde a aproximação para <math>y
</math> é dada pelos pontos que são solução do sistema <math>Ay=B
</math>.

=== Resolução de problemas de valor inicial e o método de Euler ===
A partir do método das diferenças finitas também é possível obter o [[método de Euler]], que é usado para obter soluções de problemas de valor inicial bem-posto. [[Leonhard Euler|Leonhard Euler (1707 - 1783)]] foi o primeiro [[matemático]] de sua época a apresentar o uso do método de diferenças finitas para encontrar aproximações de soluções de equações diferenciais. Entretanto, o método de Euler não é usado na prática, pois possui pouca precisão. Alternativamente a este, são utilizados com maior frequência o método de Euler modificado ou o [[método de Runge-Kutta]] para solução de problemas de valor inicial.

Para um dado [[problema de valor inicial]] bem posto

<math>y'(t)=f(t,y)</math>,                  <math>a
</math> ≤ <math>t</math> ≤ <math>b</math> ,                   <math>y(a)=\alpha</math> .

Divide-se o intervalo <math>[a,b]</math> em <math>N</math> subintervalos e define-se que <math>t(i)=a+(i-1)h</math>, para <math>i=1,2,...,N</math>. Onde <math>h</math> é o espaçamento da malha.

A partir disto, temos que  <math>h=\frac{(b-a)}{N}=t(i+1)-t(i)</math>, para <math>i=1,2,...,N</math>.

Aproximando a equação diferencial pelo método das diferenças finitas, desprezando-se o termo de erro, temos

<math>\frac{y(t(i+1))-y(t(i))}{h}=f(t(i),y(i))</math>

<math>y(t(i+1))=y(t(i))+hf(t(i),y(i))</math>, que é usada para <math>i=1,2,3,...,N.</math>

A equação acima é conhecida como equação de diferença associada ao método de Euler.

O sistema linear é inicializado com <math>y(1)=\alpha</math> e é de fácil solução.
== Método das diferenças finitas para problemas não lineares ==
O método das diferenças finitas é análogo ao utilizado para problemas lineares. Entretanto, é utilizado um processo iterativo para a obtenção da solução do problema, que não é linear.

=== Resolução de problemas de contorno não-lineares ===
Para um problema de contorno não-linear geral, dado por <math>y''=f(x,y,y')</math> com <math>x
</math> variando de <math>a
</math> até <math>b
</math>, e sendo as condições de contorno <math>y(a)=\alpha</math> e <math>y(b)=\beta</math>,

há garantia de solução única se as seguintes condições forem satisfeitas.
* <math>f
</math> e suas derivadas parciais em relação a <math>y</math> e <math>y'</math> são contínuas em'' ''<math>D=
</math> '''''{ '''''<math>(x,y,y') | a</math> ''≤ ''<math>x
</math>'' ≤ ''<math>b,</math>'' - ''<math>\infty</math> < <math>y
</math> < '' ''<math>\infty</math>, -'' ''<math>\infty</math> < <math>y'</math> <'' ''<math>\infty</math>'' '''};'''''
* <math>f(x,y,y')
</math> > <math>\delta</math>, para um certo <math>\delta
</math> > <math>0</math>''''' ;'''''
* Existem constantes <math>P</math> e <math>Q</math> tais que: <math>P</math> é o valor máximo que o módulo da [[derivada parcial]] de <math>f</math> em relação a <math>y</math> atinge em <math>D</math> e <math>Q</math> é o valor máximo que o módulo da derivada parcial de <math>f</math> em relação a <math>y'</math> atinge em <math>D</math>.
Como no caso anterior, a aproximação para a equação é obtida quando os termos de erro são desprezados.

Assim, <math>y''=f(x,y,y')</math> torna-se  <math>\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}=f(x,y,\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h})
</math>, que com a mesma divisão em intervalos anterior, é dada por  <math>\frac{y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^2}=f(x(i),y(i),\frac{y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h})

</math>, para <math>i=2,3,...,N</math>.

As condições de contorno são <math>y(1)=\alpha</math> e <math>y(N+1)=\beta</math>.

A partir da equação <math>-\frac{y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^2}+f(x(i),y(i),\frac{y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h})=0
</math>, para <math>i=2,3,...,N</math> e das condições de contorno, obtemos um sistema não linear que pode ser resolvido via [[Método de Newton]] para sistemas não-lineares. Sendo que o sistema terá solução única se <math>h</math> < <math>2/Q</math>. Se a aproximação inicial utilizada no método de Newton for suficientemente próxima da solução e se a [[Matriz jacobiana|matriz Jacobiana]] do sistema for não-singular, o sistema converge para a solução exata.

{{Referências}}

==Ver também==
*[[Mecânica dos fluidos]]
*[[CFD]] (Computation Fluid Dynamics)
*[[Diferenciação numérica|Diferenciação Numérica]]

{{Portal3|Matemática}}
{{Esboço-matemática}}
{{Controle de autoridade}}

{{DEFAULTSORT:Metodo Diferencas Finitas}}
[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:Diferenças finitas]]