Método das diferenças finitas

Predefinição:Mais fontes O método das diferenças finitas (MDF) é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação obtém-se da série de Taylor da função derivada. Hoje, os MDFs são a abordagem dominante das soluções numéricas de equações diferenciais parciais.

O operador de diferenças finitas para derivada pode ser obtido a partir da série de Taylor para as seguintes funções:

$f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+\frac{f^{″}(x)h^2}{2}+\frac{f^{‴}(x)h^3}{6}+o(h^4)$

$f(x-h)=f(x)-f^{\prime }(x)h+\frac{f^{″}(x)h^2}{2}-\frac{f^{‴}(x)h^3}{6}+o(h^4)$

Portanto, a derivada primeira pode ser escrita de três formas distintas como uma diferença-quociente mais um termo de erro, obtido ao desprezar-se termos de ordem superior :

$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+o(h)$ , que é conhecida como fórmula das diferenças progressivas, ou

$f^{\prime }(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}+o(h)$ , que é conhecida como fórmula das diferenças regressivas, ou ainda

$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+o(h^2)$ , que é conhecida como fórmula das diferenças centradas.

Além disso, é possível obter derivadas de ordem superior. A derivada de segunda ordem é obtida a partir de

$f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f^{″}(x)h^2+o(h^4)$

e é dada por $f^{″}(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}+o(h^2)$

Método das diferenças finitas para problemas lineares

A partir das aproximações por diferença-quociente para derivadas de qualquer ordem, é possível transformar equações diferenciais em problemas lineares. Para isso, é necessário ignorar o termo de erro e tornar $h$ um número muito pequeno, mas grande o suficiente para que não cause instabilidades nas aproximações das derivadas.

Resolução de problemas de contorno

Para uma equação diferencial do tipo $y^{″}(x)=f(x)y^{\prime }(x)+g(x)y(x)+z(x)$, onde $x$ varia de $a$ até $b$, $y(a)=\alpha$ e $y(b)=\beta$.

A equação é aproximada pelo método das diferenças finitas, com um erro de truncamento igual a $o(h^2)$, substituindo-se as derivadas pelas suas representações numéricas, que são dadas por:

$y^{\prime }(x)=\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}$

$y^{″}(x)=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}$

Como é possível perceber, necessita-se definir um valor para $h$. Este valor pode ser definido pela divisão do intervalo em que se está interessado para a resolução do problema em $N$ intervalos menores. Assim, o valor de $h$ é dado por: $h=\frac{b-a}{N}$.

As extremidades destes subintervalos são dadas por $x(i)=a+(i-1)h$, para $i=1,2,...,N$.

Para a resolução do problema, a equação é escrita na forma $y^{″}(x)-f(x)y^{\prime }(x)-g(x)y(x)=z(x)$, que após a substituição das derivadas, torna-se:

$\frac{y(x(i)+h)-2y(x(i))+y(x(i)-h)}{h^2}-f(x(i))\left[\frac{y(x(i)+h)-y(x(i)-h)}{2h}\right]-g(x(i))y(x(i))=z(x(i))$ , para $i=2,3,...,N$.

Como $x(i+1)=x(i)+h$ e $x(i-1)=x(i)-h$, aquela equação pode ser reescrita como

$\frac{y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^2}-f(x(i))\left[\frac{y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h}\right]-g(x(i))y(x(i))=z(x(i))$.

Isolando os termos $y(x(i+1))$, $y(x(i))$ e $y(x(i-1))$ na fórmula acima, obtêm-se

$y(x(i-1))[\frac{1}{h^2}+\frac{f(x(i))}{2h}]+y(x(i))[\frac{-2}{h^2}-g(x(i))]+y(x(i+1))[\frac{1}{h^2}-\frac{f(x(i))}{2h}]=z(x(i))$

A partir desta equação é possível resolver o sistema linear a partir de uma matriz $A$ de coeficientes que multiplica os valores de $y$, sendo que a solução deste sistema é dada por $B$. Esse sistema linear é representado a seguir.

$A=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ \frac{1}{h^2}+\frac{f(x(2))}{2h}& \frac{-2}{h}-g(x(2))& \frac{1}{h^2}-\frac{f(x(2))}{2h}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& 0\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & \frac{1}{h^2}+\frac{f(x(N-1))}{2h}& \frac{-2}{h}-g(x(N))& \frac{1}{h^2}-\frac{f(x(N+1))}{2h}\\ 0& 0& \cdots & \cdots & 0& 0& 1\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ z(x(2))\\ z(x(3))\\ ⋮\\ \beta \end{array}\right]$

Onde a aproximação para $y$ é dada pelos pontos que são solução do sistema $Ay=B$.

Resolução de problemas de valor inicial e o método de Euler

A partir do método das diferenças finitas também é possível obter o método de Euler, que é usado para obter soluções de problemas de valor inicial bem-posto. Leonhard Euler (1707 - 1783) foi o primeiro matemático de sua época a apresentar o uso do método de diferenças finitas para encontrar aproximações de soluções de equações diferenciais. Entretanto, o método de Euler não é usado na prática, pois possui pouca precisão. Alternativamente a este, são utilizados com maior frequência o método de Euler modificado ou o método de Runge-Kutta para solução de problemas de valor inicial.

Para um dado problema de valor inicial bem posto

$y^{\prime }(t)=f(t,y)$, $a$ ≤ $t$ ≤ $b$ , $y(a)=\alpha$ .

Divide-se o intervalo $[a,b]$ em $N$ subintervalos e define-se que $t(i)=a+(i-1)h$, para $i=1,2,...,N$. Onde $h$ é o espaçamento da malha.

A partir disto, temos que $h=\frac{(b-a)}{N}=t(i+1)-t(i)$, para $i=1,2,...,N$.

Aproximando a equação diferencial pelo método das diferenças finitas, desprezando-se o termo de erro, temos

$\frac{y(t(i+1))-y(t(i))}{h}=f(t(i),y(i))$

$y(t(i+1))=y(t(i))+hf(t(i),y(i))$, que é usada para $i=1,2,3,...,N.$

A equação acima é conhecida como equação de diferença associada ao método de Euler.

O sistema linear é inicializado com $y(1)=\alpha$ e é de fácil solução.

Método das diferenças finitas para problemas não lineares

O método das diferenças finitas é análogo ao utilizado para problemas lineares. Entretanto, é utilizado um processo iterativo para a obtenção da solução do problema, que não é linear.

Resolução de problemas de contorno não-lineares

Para um problema de contorno não-linear geral, dado por $y^{″}=f(x,y,y^{\prime })$ com $x$ variando de $a$ até $b$, e sendo as condições de contorno $y(a)=\alpha$ e $y(b)=\beta$,

há garantia de solução única se as seguintes condições forem satisfeitas.

• $f$ e suas derivadas parciais em relação a $y$ e $y^{\prime }$ são contínuas em $D=$ { $(x,y,y^{\prime })|a$ ≤ $x$ ≤ $b,$ - $\mathrm{\infty }$ < $y$ < $\mathrm{\infty }$, - $\mathrm{\infty }$ < $y^{\prime }$ < $\mathrm{\infty }$ };
• $f(x,y,y^{\prime })$ > $\delta$, para um certo $\delta$ > $0$ ;
• Existem constantes $P$ e $Q$ tais que: $P$ é o valor máximo que o módulo da derivada parcial de $f$ em relação a $y$ atinge em $D$ e $Q$ é o valor máximo que o módulo da derivada parcial de $f$ em relação a $y^{\prime }$ atinge em $D$.

Como no caso anterior, a aproximação para a equação é obtida quando os termos de erro são desprezados.

Assim, $y^{″}=f(x,y,y^{\prime })$ torna-se $\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}=f(x,y,\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h})$, que com a mesma divisão em intervalos anterior, é dada por $\frac{y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^2}=f(x(i),y(i),\frac{y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h})$, para $i=2,3,...,N$.

As condições de contorno são $y(1)=\alpha$ e $y(N+1)=\beta$.

A partir da equação $-\frac{y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^2}+f(x(i),y(i),\frac{y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h})=0$, para $i=2,3,...,N$ e das condições de contorno, obtemos um sistema não linear que pode ser resolvido via Método de Newton para sistemas não-lineares. Sendo que o sistema terá solução única se $h$ < $2/Q$. Se a aproximação inicial utilizada no método de Newton for suficientemente próxima da solução e se a matriz Jacobiana do sistema for não-singular, o sistema converge para a solução exata.

Ver também

• Mecânica dos fluidos
• CFD (Computation Fluid Dynamics)
• Diferenciação Numérica