Método de Runge-Kutta

Em análise numérica, os métodos de Runge–Kutta formam uma família importante de metódos iterativos implícitos e explícitos para a resolução numérica (aproximação) de soluções de equações diferenciais ordinárias. Estas técnicas foram desenvolvidas por volta de 1900 pelos matemáticos C. Runge e M.W. Kutta.

Veja o artigo sobre métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias para maior entendimento e para outros métodos. Veja ainda a lista de métodos Runge-Kutta.

Trata-se de um método por etapas que tem a seguinte expressão genérica:

$u^{n+1}=u^n+\mathrm{\Delta }t\sum _{i=1}^e{b}_i{k}_i,$

onde

$k_i=F(u^n+\mathrm{\Delta }t\sum _{j=i}^e{a}_{ij}{k}_j;t_n+c_i\mathrm{\Delta }t)$ $i=1,...,e$

com $a_{ij},b_i,c_i$ constantes próprias do esquema numérico. Os esquemas Runge-Kutta podem ser explícitos ou implícitos dependendo das constantes $a_{ij}$ do esquema. Se esta matriz é triangular inferior com todos os elementos da diagonal principal iguais a zero; quer dizer, $a_{ij}=0$ para $j=i,...,e,$ os esquemas são explícitos.

O método de runge-kutta é muitas vezes confundido com o metodo "predictor-corrector"sendo este o resultado da junção do método dos trapézios e do método de Euler.

O método Runge–Kutta clássico de quarta ordem

Um membro da família de métodos Runge–Kutta é usado com tanta frequência que costuma receber o nome de "RK4" ou simplesmente "o método Runge–Kutta".

Seja um problema de valor inicial (PVI) especificado como segue:

$$y^{\prime }=f(t,y),y(t_0)=y_0.$$

Então o método RK4 para este problema é dado pelas seguintes equações:

$$\begin{array}{cc}{y}_{n+1}& =y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\\ t_{n+1}& =t_n+h\\ \end{array}$$

onde $y_{n+1}$ é a aproximação por RK4 de $y(t_{n+1}),$ e

$$\begin{array}{cc}{k}_1& =f(t_n,y_n)\\ k_2& =f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_1)\\ k_3& =f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_2)\\ k_4& =f(t_n+h,y_n+h{k}_3)\\ \end{array}$$

Então, o próximo valor (y_n+1) é determinado pelo valor atual (y_n) somado com o produto do tamanho do intervalo (h) e uma inclinação estimada. A inclinação é uma média ponderada de inclinações:

• k₁ é a inclinação no início do intervalo;
• k₂ é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando a inclinação k₁ para determinar o valor de y no ponto t_n + h/2 através do método de Euler;
• k₃ é novamente a inclinação no ponto médio do intervalo, mas agora usando a inclinação k₂ para determinar o valor de y;
• k₄ é a inclinação no final do intervalo, com seu valor y determinado usando k₃.

Ao fazer a média das quatro inclinações, um peso maior é dado para as inclinações no ponto médio:

$$\text{inclinação}=\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}.$$

O método RK4 é um método de quarta ordem, significando que o erro por passo é da ordem de h⁵, enquanto o erro total acumulado tem ordem h⁴.

Note que as fórmulas acima são válidas tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais (ou seja, quando y pode ser um vetor e $f$ um operador). Por exemplo, pode-se integrar a equação de Schrödinger usando o operador Hamiltoniano como função $f.$

Métodos Runge–Kutta explícitos

A família de métodos Runge–Kutta explícitos é uma generalização do método RK4 mencionado acima.

Ela é dada por $$y_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i{k}_i,$$ onde $$k_1=f(t_n,y_n),$$ $$k_2=f(t_n+c_{2}h,y_n+a_{21}h{k}_1),$$ $$k_3=f(t_n+c_{3}h,y_n+a_{31}h{k}_1+a_{32}h{k}_2),$$ $$⋮$$ $$k_s=f(t_n+c_{s}h,y_n+a_{s1}h{k}_1+a_{s2}h{k}_2+\cdots +a_{s,s-1}h{k}_{s-1}).$$

(Nota: as equações acima têm definições diferentes em diferentes textos, apesar de equivalentes).

Para especificar um método em particular, é necessário fornecer o inteiro s (número de estágios), e os coeficiêntes a_ij (para 1 ≤ j <i ≤ s), b_i (para i = 1, 2, ..., s) e c_i (para i = 2, 3, ..., s). Esses dados são geralmente dispostos de forma mnemônica, conhecida como matriz de Butcher (de John Charles Butcher):

	0
	$c_2$	$a_{21}$
	$c_3$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$⋮$	$⋮$		$\ddots$
	$c_s$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_1$	$b_2$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_s$

O método Runge–Kutta é consistente se $$\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}=c_i\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}i=2,\dots ,s.$$

Existem ainda exigências extras se for imposto que o método tenha certa ordem p, significando que o erro de truncamento é O(h^p+1). Tais condições podem ser deduzida da própria definição de erro de truncamento. Por exemplo, um método de 2 estágios tem ordem 2 se b₁ + b₂ = 1, b₂c₂ = 1/2, e b₂a₂₁ = 1/2.

Exemplos

O método RK4 se enquadra nesta categoria. Seu tableau é:

	0
	1/2	1/2
	1/2	0	1/2
	1	0	0	1
		1/6	1/3	1/3	1/6

No entanto, o método Runge–Kutta mais simples é o (forward) Euler, dado pela fórmula $y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n).$ Este é o único método Runge–Kutta explícito de um estágio que é consistente. A tableau correspondente é:

	0
		1

Um exemplo de um método de segunda ordem com dois estágios é o método do ponto médio (midpoint method, em inglês) $$y_{n+1}=y_n+hf(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n,y_n)).$$ A tableau correspondente é:

	0
	1/2	1/2
		0	1

Note que este método do 'ponto médio' não é o método RK2 ótimo. Uma alternativa é fornecida pelo método de Heun, onde os 1/2's da tableau acima são simplesmente substituídos por 1's. Caso se queira minimizar o erro de truncamento, o método abaixo deve ser utilizado (Atkinson p. 423). Outros métodos importantes são Fehlberg, Cash-Karp e Dormand-Prince. Leia ainda, o artigo sobre tamanho de passo Adaptativo.

Uso

O que segue é um exemplo de uso de um método Runge–Kutta explícito de dois estágios:

	0
	2/3	2/3
		1/4	3/4

para resolver o problema de valor inicial $$y^{\prime }=(\tan y)+1,y(1)=1,t\in [1,1.1]$$ com tamanho de passo h=0.025.

A tableau acima gera as seguintes equações equivalentes que definem o método: $$k_1=y_n$$ $$k_2=y_n+2/3hf(t_n,k_1)$$ $$y_{n+1}=y_n+h(1/4f(t_n,k_1)+3/4f(t_n+2/3h,k_2))$$

$t_0=1$
	$y_0=1$
$t_1=1.025$
	$k_1=y_0=1$	$f(t_0,k_1)=2.557407725$	$k_2=y_0+2/3hf(t_0,k_1)=1.042623462$
	$y_1=y_0+h(1/4*f(t_0,k_1)+3/4*f(t_0+2/3h,k_2))=1.066869388$
$t_2=1.05$
	$k_1=y_1=1.066869388$	$f(t_1,k_1)=2.813524695$	$k_2=y_1+2/3hf(t_1,k_1)=1.113761467$
	$y_2=y_1+h(1/4*f(t_1,k_1)+3/4*f(t_1+2/3h,k_2))=1.141332181$
$t_3=1.075$
	$k_1=y_2=1.141332181$	$f(t_2,k_1)=3.183536647$	$k_2=y_2+2/3hf(t_2,k_1)=1.194391125$
	$y_3=y_2+h(1/4*f(t_2,k_1)+3/4*f(t_2+2/3h,k_2))=1.227417567$
$t_4=1.1$
	$k_1=y_3=1.227417567$	$f(t_3,k_1)=3.796866512$	$k_2=y_3+2/3hf(t_3,k_1)=1.290698676$
	$y_4=y_3+h(1/4*f(t_3,k_1)+3/4*f(t_3+2/3h,k_2))=1.335079087$

As soluções numéricas correspondem aos valores sublinhados. Note que $f(t_i,k_1)$ foi calculado evitando refazer os cálculos em $y_i$s.

Ligações externas

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Referências gerais

• J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, ISBN 0471967580
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)
• Predefinição:Link at Holistic Numerical Methods Institute
• Kendall E. Atkinson. An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley & Sons - 1989
• F. Cellier, E. Kofman. Continuous System Simulation. Springer Verlag, 2006. ISBN 0-387-26102-8.