Lista de métodos Runge-Kutta

Métodos de Runge–Kutta são métodos para a solução numérica de equações diferenciais ordinárias

$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$

tomando a forma

$y_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i{k}_i$

$k_i=f(t_n+c_{i}h,y_n+h\sum _{j=1}^s{a}_{ij}{k}_j).$

Cada um dos métodos listados nesta página são definidos por sua matriz de Butcher, que mostram os coeficientes do método em uma tabela como segue:

$\begin{array}{ccccc}{c}_1& a_{11}& a_{12}& \dots & a_{1s}\\ c_2& a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2s}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_s& a_{s1}& a_{s2}& \dots & a_{ss}\\ & b_1& b_2& \dots & b_s\end{array}$

Métodos explícitos

Os métodos explícitos são aqueles onde a matriz $[a_{ij}]$ é triangular inferior.

Euler direto

Este método é de primeira ordem. A falta de estabilidade e precisão o tornam popular principalmente como uma simples primeira introdução a solução numérica.

$\begin{array}{cc}0& 0\\ & 1\end{array}$

Método de Kutta de terceira ordem

$\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1/2& 1/2& 0& 0\\ 1& -1& 2& 0\\ & 1/6& 2/3& 1/6\end{array}$ Predefinição:Carece de fontes

Método clássico de quarta ordem

O método Runge–Kutta "original".

$\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1/2& 1/2& 0& 0& 0\\ 1/2& 0& 1/2& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1& 0\\ & 1/6& 1/3& 1/3& 1/6\end{array}$

Métodos implícitos

Euler reverso

Este método é de primeira ordem. Incondicionalmente estável e não oscilatório para problemas de difusão linear;

$\begin{array}{cc}1& 1\\ & 1\end{array}$

Métodos de Lobatto

Há três famílias de métodos de Lobatto, chamadas IIIA, IIIB and IIIC. Todos são métodos implícitos tendo ordem $2s-2$ e todos eles tendo $c_1=0$ e $c_s=1$. Ao contrário de qualquer método explícito, é possível para esses métodos ter uma ordem maior que o número de estágios. Lobatto viveu antes do método clássico de quarta ordem ser popularizado por Runge e Kutta.

Método de Lobatto IIIA

Os Métodos de Lobatto IIIA são métodos de colocação. O método de segunda ordem é praticamente análogo ao método de Crank–Nicolson.

$\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1/2& 1/2\\ & 1/2& 1/2\end{array}$

O método de quarta ordem é dado por

$\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1/2& 5/24& 1/3& -1/24\\ 1& 1/6& 2/3& 1/6\\ & 1/6& 2/3& 1/6\end{array}$

Método de Lobatto IIIB

Os métodos de Lobatto IIIB não são de colocação, mas eles podem ser vistos como métodos de colocação descontínuos O método de segunda ordem é dado por

$\begin{array}{ccc}0& 1/2& 0\\ 1& 1/2& 0\\ & 1/2& 1/2\end{array}$

O método de quarta ordem é dado por

$\begin{array}{cccc}0& 1/6& -1/6& 0\\ 1/2& 1/6& 1/3& 0\\ 1& 1/6& 5/6& 0\\ & 1/6& 2/3& 1/6\end{array}$

Métodos de Lobatto IIIC

Os métodos de Lobatto IIIC também são métodos de colocação descontínuos. O método de segunda ordem é dado por:

$\begin{array}{ccc}0& 1/2& -1/2\\ 1& 1/2& 1/2\\ & 1/2& 1/2\end{array}$

O método de quarta ordem é dado por

$\begin{array}{cccc}0& 1/6& -1/3& 1/6\\ 1/2& 1/6& 5/12& -1/12\\ 1& 1/6& 2/3& 1/6\\ & 1/6& 2/3& 1/6\end{array}$

Referências

• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0
• Hairer, Ernst & Wanner, Gerhard (1996). Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-60452-5 .
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian & Wanner, Gerhard (2006). Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30663-4.