Método de Crank–Nicolson

Na análise numérica, o método de Crank–Nicolson é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações diferenciais parciais similares. É um método de segunda ordem no tempo e no espaço, implícito no tempo e é numericamente estável. O método foi desenvolvido por John Crank e Phyllis Nicolson na metade do século 20.

Para equações de difusão (e muitas outras), pode-se provar que o método de Crank–Nicolson é incondicionalmente estável. Contudo, as soluções aproximadas podem ainda conter oscilações significativas caso a razão entre o passo de tempo e o quadrado do passo de espaço for grande (usualmente maior que 1/2). Por essa razão, sempre que grandes passos de tempo forem tomados, o método menos preciso de euler implícito é frequentemente utilizado, o qual é estável e imune à oscilações.

O método

The Crank–Nicolson stencil for a 1D problem.

O método de Crank-Nicolson é baseado em diferenças centradas no espaço, e na regra trapezoidal no tempo, é de segunda no tempo e no espaço. Por exemplo, para um caso unidimensional, se a equação diferencial parcial for

$\frac{\partial u}{\partial t}=F(u,x,t,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2})$

em seguida, fazendo $u(i\mathrm{\Delta }x,n\mathrm{\Delta }t)=u_i^n$, a equação para o método de Crank–Nicolson é a combinação do método de euler explícito em $n$ e do método de euler implícito em n+1 (deve-se notar, contudo, que o método por si só não é simplesmente a média desses dois métodos, já que a equação tem uma dependência implícita na solução):

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}=F_i^n(u,x,t,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2})\text{(Euler explícito)}$

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}=F_i^{n+1}(u,x,t,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2})\text{(Euler implícito)}$

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{2}(F_i^{n+1}(u,x,t,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2})+F_i^n(u,x,t,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}))\text{(Crank-Nicolson)}$

A função F deve ser discretizada no espaço por diferenças centradas.

Note que este é um método implícito: para conseguir o valor posterior de u no tempo, um sistema de equações algébricas deve ser resolvido. Se a equação diferencial parcial for não-linear, a discretização também deverá ser não-linear para que o avanço no tempo envolva a solução do sistema algébrico não-linear de equações, embora que linearizações sejam possíveis.

Exemplo: Difusão unidimensional

O método de Crank-Nicolson é frequentemente aplicado a problemas de difusão. Como exemplo, para a difusão linear:

$\frac{\partial u}{\partial t}=a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

a discretização de Crank-Nicolson é dada por:

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{a}{2(\mathrm{\Delta }x{)}^2}((u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)+(u_{i+1}^{n+1}-2u_i^{n+1}+u_{i-1}^{n+1}))$

ou reescrevendo, fazendo $r=\frac{a\mathrm{\Delta }t}{2(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$:

$u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)+r(u_{i+1}^{n+1}-2u_i^{n+1}+u_{i-1}^{n+1})$

Predefinição:Resolução de equações diferenciais parciais Predefinição:Esboço-matemática