Mostrar código-fonte de Método de Lax–Wendroff

{{revisão-sobre|matemática}}
O '''método de Lax–Wendroff''', em homenagem a [[Peter Lax]] e [[Burton Wendroff]], é um método [[Análise numérica|numérico]] para a resolução de [[Equação hiperbólica em derivadas parciais|equações hiperbólicas em derivadas parciais]], baseado em [[diferenças finitas]]. É um método de segunda ordem no tempo e no espaço. Lax e Wendroﬀ<ref>{{citar livro|título=Systems of conservation laws, Communications in Pureand Applied Mathematics |autor = Peter D. Lax, Burton Wendroﬀ |página=217-237 |ano=1960}}</ref> apresentaram um método de discretização de segunda ordem para a solução de equações hiperbólicas, o que substituiu o método de Lax-friedrichs.

==Ilustração do método==
Para determinar o método de Lax-Wendroff, podemos expandir a variável <math>u</math> em [[Série de Taylor|séries de Taylor]] e truncar os termos até a segunda ordem:
:<math>
(1) \qquad u_i^{n+1} = u_i^n + \Delta t\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) + \frac{\Delta t^2}{2}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right)
</math>

Relacionando as derivadas do tempo e do espaço:
:<math>
\frac{\partial u}{\partial t} = -c\frac{\partial u}{\partial x}
</math>

:<math>
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) = -c\frac{\partial}{\partial x}\left(-c\frac{\partial u}{\partial x}\right) = c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
</math>

Podemos fazer substituições na equação (1), obtendo:

:<math>
(2) \qquad u_i^{n+1} = u_i^n -c\Delta t\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) + c^2\frac{\Delta t^2}{2}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)
</math>

Usando [[Diferenças finitas|diferenças centradas]] de primeira e segunda ordem em relação ao espaço:
:<math>
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2\Delta x}
</math>

:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}
</math>

E substituindo em (2), obtemos assim o '''método de Lax-Wendroff''':
:<math>
u_i^{n+1} = u_i^n -\frac{c\Delta t}{2\Delta x}\left(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n\right) + \frac{c^2\Delta t^2}{2\Delta x^2}\left(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n\right)
</math>

O qual também pode ser mostrado em relação ao número de [[Condição de Courant–Friedrichs–Lewy|Courant–Friedrichs–Lewy(CFL)]]:

:<math>
u_i^{n+1} = u_i^n -\frac{\sigma}{2}\left(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n\right) + \frac{\sigma^2}{2}\left(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n\right)
</math>

==Referências==
{{Reflist}}
* {{citar periódico|autor = P.D Lax |coautor= B. Wendroff |ano= 1960 |título= Systems of conservation laws |periódico= Commun. Pure Appl Math. | volume = 13 |páginas= 217–237 | doi = 10.1002/cpa.3160130205 |número= 2 }}
* Michael J. Thompson, ''An Introduction to Astrophysical Fluid Dynamics'', Imperial College Press, London, 2006.
*{{citar livro|último1 =Press |primeiro1 =WH |último2 =Teukolsky |primeiro2 =SA |último3 =Vetterling |primeiro3 =WT |último4 =Flannery |primeiro4 =BP |ano=2007 |título=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edição=3rd |publicado=Cambridge University Press |local-publicação=New York | isbn=978-0-521-88068-8 |capítulo=Section 20.1. Flux Conservative Initial Value Problems |capítulourl=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=1040 |página=1040}}

{{Resolução de equações diferenciais parciais}}

{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Análise numérica]]
[[Categoria:Equações diferenciais parciais]]