Método de Lax–Wendroff

Predefinição:Revisão-sobre O método de Lax–Wendroff, em homenagem a Peter Lax e Burton Wendroff, é um método numérico para a resolução de equações hiperbólicas em derivadas parciais, baseado em diferenças finitas. É um método de segunda ordem no tempo e no espaço. Lax e Wendroff apresentaram um método de discretização de segunda ordem para a solução de equações hiperbólicas, o que substituiu o método de Lax-friedrichs.

Ilustração do método

Para determinar o método de Lax-Wendroff, podemos expandir a variável $u$ em séries de Taylor e truncar os termos até a segunda ordem:

$(1)u_i^{n+1}=u_i^n+\mathrm{\Delta }t\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2}\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\right)$

Relacionando as derivadas do tempo e do espaço:

$\frac{\partial u}{\partial t}=-c\frac{\partial u}{\partial x}$

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=-c\frac{\partial }{\partial x}(-c\frac{\partial u}{\partial x})=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

Podemos fazer substituições na equação (1), obtendo:

$(2)u_i^{n+1}=u_i^n-c\mathrm{\Delta }t\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)+c^2\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2}\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\right)$

Usando diferenças centradas de primeira e segunda ordem em relação ao espaço:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2\mathrm{\Delta }x}$

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

E substituindo em (2), obtemos assim o método de Lax-Wendroff:

$u_i^{n+1}=u_i^n-\frac{c\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }x}(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n)+\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$

O qual também pode ser mostrado em relação ao número de Courant–Friedrichs–Lewy(CFL):

$u_i^{n+1}=u_i^n-\frac{\sigma }{2}(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n)+\frac{{\sigma }^2}{2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$

Referências

• Predefinição:Citar periódico
• Michael J. Thompson, An Introduction to Astrophysical Fluid Dynamics, Imperial College Press, London, 2006.
• Predefinição:Citar livro