Mostrar código-fonte de Matriz jacobiana

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{{Cálculo}}

A '''Matriz Jacobiana''' (denominado do matemático [[Alemanha|alemão]] [[Carl Gustav Jakob Jacobi]]) é a [[matriz (matemática)|matriz]] formada pelas [[derivadas parciais]] de primeira ordem de uma [[função vetorial]]. Se uma função é [[Derivada|diferenciável]] num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.

== Definição formal ==
Seja <math>F : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m</math>, ou seja, uma [[função (matemática)|função]] que denominaremos "F", com [[domínio]] e [[imagem]] no [[espaço euclidiano]] n e m dimensional, respectivamente. Tal [[função (matemática)|função]] é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função <math>F_i : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}</math> . As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é denominada Matriz Jacobiana.
Assim, a Jacobiana é definida como:

{| class="wikitable"
|-
! Em [[linguagem]] [[matemática]] !! Em [[língua portuguesa|Português]]
|-
| <math>\begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}</math>  || [[Matriz]] de m linhas e n colunas. A primeira linha representa as [[derivada]]s parciais da [[função (matemática)|função]] <math>F_1</math> em relação a todos os x (de x1 a xn). A segunda linha representa as derivadas parciais de <math>F_2</math> (também em relação a todos os x), e assim por diante, até a linha de número m, que representa as derivadas parciais de <math>F_m</math> em relação a todos os xs.
|}

== Notação ==
A Jacobiana é representada por <math>J_F(x_1,\ldots ,x_n)</math> ou <math>\frac{\partial (F_1,\ldots ,F_n)}{\partial (x_1,\ldots ,x_n)}</math>

A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do [[gradiente]] de <math>F_k</math>

== Determinante Jacobiano ==
O '''Jacobiano''' é definido como sendo o [[determinante]] da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em [[Integral Múltipla|integrais múltiplas]] e no [[Teorema da função inversa|Teorema da Função Inversa]].

== Exemplos ==
* '''Exemplo 1''': Seja <math>F(x,y)=(x^2+y^2,xy)</math> . Aqui, <math>F_1=x^2+y^2</math> e <math>F_2=xy</math>. A matriz jacobiana de F é:
:<math>J_F(x,y)=\begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial y}\\ & \\ \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2x & 2y\\ y & x \end{bmatrix}</math><ref>{{Citar web|url = http://omonitor.io/?q=jacobiana|titulo = Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata = 2016-03-23|obra = omonitor.io}}</ref>

O [[determinante]] Jacobiano é <math>2(x^2-y^2)</math> .

* '''Exemplo 2''': Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:
:<math>\left\{ \begin{matrix} x=r\cos\theta\\
y=r\operatorname{sen}\theta \end{matrix} \right .</math>

A Jacobiana é dada então por:
:<math>\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -r\operatorname{sen}\theta\\
\operatorname{sen}\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}</math>
O Jacobiano é <math>r</math>.
portanto poderá ser feito de acordo com alguns métodos matemáticos

* '''Exemplo 3''' (mudança de variáveis em [[Estatística]], relacionado à [[distribuição]] de [[Erlang]]):<ref>Faculdade de ciências - universidade de Lisboa. '''Mais sobre variáveis aleatórias'''. capítulo 3. Páginas 18 e 19. Disponível em: <http://www.deio.fc.ul.pt/disciplinas/ficheiros_apoio/mest_est/probab/TAlpuim_Cap3Novo.pdf{{Ligação inativa|1={{subst:DATA}} }}>. Acesso em: 10 de março de 2011.</ref> Seja '''(X,Y)''' um par aleatório absolutamente contínuo com densidade de [[probabilidade]] conjunta <math>f_{x,y} \left ( x,y \right )</math>. Seja também '''G''' uma [[função (matemática)|função]]  <math>G: \mathbb{R}^2\ \rightarrow  \mathbb{R}^2 </math> [[Função injectiva|injectiva]] (portanto com [[função inversa|inversa]]) com dois componentes G(x,y) = (u,v). Cada um destes componentes é [[função (matemática)|função]] de duas variáveis reais, tal que
:<math>\left \{ \begin{matrix} u= & g_{1}(x,y) \\ v= & g_{2}(x,y) \end{matrix}\right. </math>,    sendo que g1 e g2 possuem [[derivada]]s parciais em relação a x e a y

Portanto, podemos definir o par aleatório (U,V)=G(X,Y). Como determinar a densidade de [[probabilidade]] conjunta do par (U,V) a partir da densidade conjunta de (X,Y)?

Como G tem [[função inversa|inversa]], podemos escrever:
:<math>\left \{ \begin{matrix} x= & h_{1}(u,v) \\ y= & h_{2}(u,v) \end{matrix}\right. </math>
A densidade conjunta de (U,V) será:
<math>f_{U,V} (u,v) = \left | J \right |  f_{X,Y} h_{1}(u,v)h_{2}(u,v) </math>, em que <math>\left | J \right |</math> representa o módulo do determinante jacobiano, isto é, o [[módulo]] de <math>\begin{vmatrix} \frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial  u} & \frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial v} \\ \frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial u} & \frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial v} \end{vmatrix}</math>.

Assim, digamos que (U,V) = (X+Y,X-Y). Teremos então
:<math>\left \{ \begin{matrix} u= & x+y \\ v= & x-y \end{matrix}\right. \longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x= & {\color{Blue}u-y} \\ y= & {\color{Red}x-v} \end{matrix}\right. \longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x= & u-({\color{Red}x-v}) \\ y= & ({\color{Blue}u-y})-v \end{matrix}\right. \longrightarrow</math> <math> \left \{ \begin{matrix} x= & h_{1}(u,v)= & \frac{u+v}{2} \\ y= & h_{2}(u,v)= & \frac{u-v}{2} \end{matrix}\right. </math>
O [[determinante]] jacobiano neste caso (chamado de jacobiano da transformação<ref>CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da segunda edição norte-americana. São Paulo: Centage Learning, 2010. ISBN 978-85-221-0894-7. Página 142 e 192.</ref>) será
<math>\begin{vmatrix} \frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial  u} & \frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial v} \\ \frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial u} & \frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial v} \end{vmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \left|- \frac{1}{2} \right| </math>. O [[módulo]] deste determinante é <math> \frac{1}{2} </math>. A [[Função densidade|função densidade de probabilidade]] conjunta é, portanto:
:<math>f_{U,V} (u,v) = \left | J \right |  f_{X,Y} h_{1}(u,v)h_{2}(u,v) = \frac{1}{2}  f_{X,Y} \left ( \frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2} \right ) </math>

==Aproximação linear==
A Jacobiana representa a melhor [[aproximação linear]] de uma função diferenciável nas [[vizinhança]]s de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto <math>\mathbf{x_0}</math> pode ser aproximada por:
:<math>F(\mathbf{x})\approx F(\mathbf{x_0})+J_F(\mathbf{x_0})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})^T</math>
sendo <math>\mathbf{x}</math> um ponto próximo de <math>\mathbf{x_0}</math>.
Essa aproximação é de grande importância no [[cálculo numérico]], onde a Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo [[método de Newton]] (ou [[Método do gradiente|método do Gradiente Iterativo]]).

==Ver também==
*[[Hessiano|Matriz Hessiana]]

{{Referências}}


{{Classes de matriz}}

{{DEFAULTSORT:Matriz Jacobiana}}
[[Categoria:Cálculo]]
[[Categoria:Matrizes|Jacobiana]]
[[Categoria:Determinantes]]