Mostrar código-fonte de Modelo Olami-Feder-Christensen

Na área de [[sistemas dinâmicos]], o '''modelo Olami-Feder-Christensen''' (também conhecido como '''modelo OFC''') foi inicialmente proposto por Z. Olami, H. J. S. Feder e K. Christensen como um modelo simplificado para a propagação de [[terremoto|terremotos]] e como um exemplo da [[criticalidade auto-organizada]] (SOC).

== O modelo ==
O modelo OFC é um [[autômato celular]], normalmente definido em uma rede de células quadrada de lado <math>L\,\!</math> (embora existam generalizações em que o modelo é definido em um [[grafo]]) contínuo, ou seja, os estados das células e o tempo são definidos por valores contínuos e não por valores discretos. A evolução do modelo se dá por [[iteração|iterações]] que ocorrem em duas etapas, chamadas de acúmulo de tensão e relaxamento (ou [[avalanche]], que representa o terremoto propriamente dito).

Os estados das células são definidos por uma [[variável]] real <math>K\,\!</math>, chamada de tensão. Vamos primeiramente escolher um intervalo para essa variável. Sem perda de generalidade (isso fica mais claro depois) podemos escolher <math>K \geq 0</math>. Também precisamos escolher um valor <math>K_c > 0\,\!</math>, chamado de tensão crítica que também é arbitrário e é normalmente escolhido como 1 e um último parâmetro <math>\alpha\,\!</math> que tem relação com a dissipação.

No acúmulo de tensão, as células (também chamadas de sítios) obedecem a seguinte regra:

<math>M=\max_{(i,j)\in R}(K_{i,j})</math>

<math>K_{i,j}\leftarrow K_{i,j}-M+K_c \, \forall \, (i,j)\in R</math>

onde <math>R\,\!</math> é a rede inteira, representada por <math>\{1,\ldots ,L\}\times \{1,\ldots ,L\}</math> e <math>K_{i,j}\,\!</math> é a tensão do sítio <math>(i,j)\,\!</math>

Essa regra permite definir uma variável temporal para o modelo e que evoluiria nessa etapa como:

<math>t\leftarrow t+K_c-M</math>

Isso equivale a dizer que a tensão vai se acumulando em todos os sítios com:

<math>\frac{\mbox{d}K_{i,j}}{\mbox{d}t}=1</math> até que algum sítio atinja a tensão <math>K_c\,\!</math>

Os sítios que após o acúmulo de tensão tem tensão igual a <math>K_c\,\!</math> são chamados epicentros da iteração (ou epicentros do terremoto).

No relaxamento, os sítios obedecem a seguinte regra enquanto houver sítios com tensão maior ou igual a <math>K_c\,\!</math> (também chamados de sítos críticos):

Sejam <math>C_1,\ldots ,C_n</math> todos os sítios críticos da rede

<math>K'_{C_q}\leftarrow K_{C_q} \,\forall\, q=1,\ldots ,n</math>

<math>K_{C_q}\leftarrow 0 \,\forall\, q=1,\ldots ,n</math>

<math>K_v \leftarrow K_v+\alpha K'_{C_q} \,\forall\, v</math> vizinho de <math>C_q\,\!</math> para cada um dos <math>q=1,\ldots ,n</math>

onde vizinho tem aqui o significado usualmente usado para uma rede e os <math>K'\,\!</math> são variáveis auxiliares.

As formas de tratar os vizinhos dos sítios da borda definem diferentes versões do modelo (as formas de tratar as bordas são chamadas condições de contorno e serão abordadas adiante). Essa regra, assim como a do acúmulo da tensão tem uma interpretação simples. As tensões saem dos blocos críticos e se espalham para seus vizinhos, isso pode gerar uma reação em cadeia, pois os vizinhos de um bloco crítico que não fossem críticos podem passar a serem críticos depois de receber mais tensão.

Essa reação em cadeia é o que representa o terremoto no modelo OFC. Isso torna interessante definir duas variáveis, o tamanho de um terremoto <math>S\,\!</math> e a sua energia liberada <math>E\,\!</math>. A primeira é definida como sendo o número de sítios que se tornaram críticos durante a iteração e a outra é a soma de toda a tensão que foi "relaxada", ou seja, a soma das tensões dos sítios que se tornaram críticos (a tensão é somada a <math>E\,\!</math> toda vez que um sítio relaxa, de forma que não vale que <math>L^2K_c\,\!</math> seja um máximo de <math>E\,\!</math>)

=== Condições de contorno ===

Para o modelo definido em uma rede quadrada temos duas condições de contorno principais:
*[[Condição de contorno periódica|Condições de contorno periódicas]]
*Condições de contorno livres

Que são impostas apenas definido quais são os vizinhos de cada sítio na borda. No primeiro caso, os sítios <math>(1,i)\,\!</math> são vizinhos dos <math>(L,i)\,\!</math> e os sítios <math>(i,1)\,\!</math> são vizinhos dos <math>(i,L)\,\!</math> para <math>i=1,\ldots ,L</math>. No segundo caso, os sítios das quinas tem apenas dois vizinhos e os outros sítios de borda três vizinhos.

A interpretação das duas condições de contorno é bastante simples. A primeira é equivalente a um modelo definido em uma rede plana infinita, mas com uma regularidade de período L em ambas as direções da rede (vertical e horizontal). Como em uma rede infinita não existe o problema de ter que tratar as bordas de forma diferente, isso equivale a não usar bordas no modelo. Essa abordagem é muito comum em vários problemas de mecênica estatística e em outros autômatos celulares cujas evoluções precisam ser calculadas numericamente.

Já as condições de contorno livres são como se a tensão que saísse da borda não pudesse mais voltar para ela. Essa condição é claramente inspirada na condição de contorno do [[Modelo BTW|modelo da pilha de areia BTW]] e pode ser interpretada como a existência de um tipo diferente de sítio, cuja tensão vale sempre 0 (ou seja, ele obedece a uma regra diferente de evolução dos sítios comuns e acaba atuando como um sorvedouro de tensão). Esses sítios são convenientemente chamados de bordas e os sítios que obedecem às regras normais são chamados blocos (por causa do [[modelo de Burridge-Knopoff]]). Nesse caso teríamos uma rede quadrada de lado <math>L+2\,\!</math> em que os sítios mais externos são bordas e os outros sítios são blocos.

=== O parâmetro de conservação ===

A evolução do modelo depende de um parâmetro <math>\alpha\,\!</math>, chamado de parâmetro de conservação. Note que se um bloco crítico tem tensão <math>K_0\,\!</math>, ele transfere para os seus sítios vizinhos uma tensão <math>4\alpha K_0\,\!</math> e perde toda a tensão que ele possuía. Logo, se nenhum dos sítios vizinhos desse bloco for uma borda, a variação de tensão na rede inteira por causa desse relaxamento é <math>\Delta K=(4\alpha-1)K_0\,\!</math>, se alguma borda é vizinha do sítio essa variação é sempre menor que esse valor. Se <math>\Delta K=0\,\!</math> sempre que nenhum vizinho é borda, o modelo é dito conservativo (pois esse tipo de relaxamento conserva a tensão total). Ou seja, se <math>\alpha=0,25\,\!</math> o modelo conserva a tensão total em um relaxamento. Se <math>\alpha<0,25\,\!</math> o modelo é dito não-conservativo (pois a tensão total sempre diminui em um relaxamento).

Como o caso <math>\alpha>0,25\,\!</math> implica num acréscimo de tensão ele não tem interesse para a modelagem de terremotos, pois ele equivaleria a um aumento da energia mecânica do sistema sem nenhuma influência externa (isso pode ser visto pela analogia desse modelo com o de Burridge-Knopoff). Porém no caso de condições periódicas de contorno, como não temos sítios que são bordas, todo relaxamento aumenta a tensão total do sistema. Logo a partir do momento em que a tensão total for maior que <math>K_cL^2\,\!</math> não existem mais configurações da rede que consigam sair da etapa de relaxamento, o que implica que as tensões dos sítios, o tamanho e a energia do terremoto divergem para <math>\infty\,\!</math>. Além disso, a tensão excede esse limite em um máximo de <math>\frac{L^2}{4\alpha-1}\,\!</math> relaxamentos.

O modelo com condições periódicas possui outra propriedade, se <math>\alpha\leq 0,25\,\!</math> o modelo entra em um regime periódico. Em especial, a partir de um certo ponto, se <math>\alpha=0,25\,\!</math>, <math>S\,\!</math> e <math>E\,\!</math> divergem, mesmo com a tensão se mantendo constante e os sítios são relaxados periodicamente com período <math>L^2\,\!</math>.

Por essa razão, o modelo com condições de contorno livres é o mais estudado e as principais questões são quais são as diferenças de comportamento entre o modelo conservativo e o não-conservativo e se o modelo exibe realmente SOC.

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