Modelo Olami-Feder-Christensen

Na área de sistemas dinâmicos, o modelo Olami-Feder-Christensen (também conhecido como modelo OFC) foi inicialmente proposto por Z. Olami, H. J. S. Feder e K. Christensen como um modelo simplificado para a propagação de terremotos e como um exemplo da criticalidade auto-organizada (SOC).

O modelo

O modelo OFC é um autômato celular, normalmente definido em uma rede de células quadrada de lado $L$ (embora existam generalizações em que o modelo é definido em um grafo) contínuo, ou seja, os estados das células e o tempo são definidos por valores contínuos e não por valores discretos. A evolução do modelo se dá por iterações que ocorrem em duas etapas, chamadas de acúmulo de tensão e relaxamento (ou avalanche, que representa o terremoto propriamente dito).

Os estados das células são definidos por uma variável real $K$, chamada de tensão. Vamos primeiramente escolher um intervalo para essa variável. Sem perda de generalidade (isso fica mais claro depois) podemos escolher $K\ge 0$. Também precisamos escolher um valor $K_c>0$, chamado de tensão crítica que também é arbitrário e é normalmente escolhido como 1 e um último parâmetro $\alpha$ que tem relação com a dissipação.

No acúmulo de tensão, as células (também chamadas de sítios) obedecem a seguinte regra:

$M=\underset{(i,j)\in R}{\max }(K_{i,j})$

$K_{i,j}\leftarrow K_{i,j}-M+K_c\mathrm{\forall }(i,j)\in R$

onde $R$ é a rede inteira, representada por $\{1,\dots ,L\}\times \{1,\dots ,L\}$ e $K_{i,j}$ é a tensão do sítio $(i,j)$

Essa regra permite definir uma variável temporal para o modelo e que evoluiria nessa etapa como:

$t\leftarrow t+K_c-M$

Isso equivale a dizer que a tensão vai se acumulando em todos os sítios com:

$\frac{\text{d}{K}_{i,j}}{\text{d}t}=1$ até que algum sítio atinja a tensão $K_c$

Os sítios que após o acúmulo de tensão tem tensão igual a $K_c$ são chamados epicentros da iteração (ou epicentros do terremoto).

No relaxamento, os sítios obedecem a seguinte regra enquanto houver sítios com tensão maior ou igual a $K_c$ (também chamados de sítos críticos):

Sejam $C_1,\dots ,C_n$ todos os sítios críticos da rede

$K{\text{'}}_{C_q}\leftarrow K_{C_q}\mathrm{\forall }q=1,\dots ,n$

$K_{C_q}\leftarrow 0\mathrm{\forall }q=1,\dots ,n$

$K_v\leftarrow K_v+\alpha K{\text{'}}_{C_q}\mathrm{\forall }v$ vizinho de $C_q$ para cada um dos $q=1,\dots ,n$

onde vizinho tem aqui o significado usualmente usado para uma rede e os $K^{\prime }$ são variáveis auxiliares.

As formas de tratar os vizinhos dos sítios da borda definem diferentes versões do modelo (as formas de tratar as bordas são chamadas condições de contorno e serão abordadas adiante). Essa regra, assim como a do acúmulo da tensão tem uma interpretação simples. As tensões saem dos blocos críticos e se espalham para seus vizinhos, isso pode gerar uma reação em cadeia, pois os vizinhos de um bloco crítico que não fossem críticos podem passar a serem críticos depois de receber mais tensão.

Essa reação em cadeia é o que representa o terremoto no modelo OFC. Isso torna interessante definir duas variáveis, o tamanho de um terremoto $S$ e a sua energia liberada $E$. A primeira é definida como sendo o número de sítios que se tornaram críticos durante a iteração e a outra é a soma de toda a tensão que foi "relaxada", ou seja, a soma das tensões dos sítios que se tornaram críticos (a tensão é somada a $E$ toda vez que um sítio relaxa, de forma que não vale que $L^2{K}_c$ seja um máximo de $E$)

Condições de contorno

Para o modelo definido em uma rede quadrada temos duas condições de contorno principais:

• Condições de contorno periódicas
• Condições de contorno livres

Que são impostas apenas definido quais são os vizinhos de cada sítio na borda. No primeiro caso, os sítios $(1,i)$ são vizinhos dos $(L,i)$ e os sítios $(i,1)$ são vizinhos dos $(i,L)$ para $i=1,\dots ,L$. No segundo caso, os sítios das quinas tem apenas dois vizinhos e os outros sítios de borda três vizinhos.

A interpretação das duas condições de contorno é bastante simples. A primeira é equivalente a um modelo definido em uma rede plana infinita, mas com uma regularidade de período L em ambas as direções da rede (vertical e horizontal). Como em uma rede infinita não existe o problema de ter que tratar as bordas de forma diferente, isso equivale a não usar bordas no modelo. Essa abordagem é muito comum em vários problemas de mecênica estatística e em outros autômatos celulares cujas evoluções precisam ser calculadas numericamente.

Já as condições de contorno livres são como se a tensão que saísse da borda não pudesse mais voltar para ela. Essa condição é claramente inspirada na condição de contorno do modelo da pilha de areia BTW e pode ser interpretada como a existência de um tipo diferente de sítio, cuja tensão vale sempre 0 (ou seja, ele obedece a uma regra diferente de evolução dos sítios comuns e acaba atuando como um sorvedouro de tensão). Esses sítios são convenientemente chamados de bordas e os sítios que obedecem às regras normais são chamados blocos (por causa do modelo de Burridge-Knopoff). Nesse caso teríamos uma rede quadrada de lado $L+2$ em que os sítios mais externos são bordas e os outros sítios são blocos.

O parâmetro de conservação

A evolução do modelo depende de um parâmetro $\alpha$, chamado de parâmetro de conservação. Note que se um bloco crítico tem tensão $K_0$, ele transfere para os seus sítios vizinhos uma tensão $4\alpha K_0$ e perde toda a tensão que ele possuía. Logo, se nenhum dos sítios vizinhos desse bloco for uma borda, a variação de tensão na rede inteira por causa desse relaxamento é $\mathrm{\Delta }K=(4\alpha -1)K_0$, se alguma borda é vizinha do sítio essa variação é sempre menor que esse valor. Se $\mathrm{\Delta }K=0$ sempre que nenhum vizinho é borda, o modelo é dito conservativo (pois esse tipo de relaxamento conserva a tensão total). Ou seja, se $\alpha =0,25$ o modelo conserva a tensão total em um relaxamento. Se $\alpha <0,25$ o modelo é dito não-conservativo (pois a tensão total sempre diminui em um relaxamento).

Como o caso $\alpha >0,25$ implica num acréscimo de tensão ele não tem interesse para a modelagem de terremotos, pois ele equivaleria a um aumento da energia mecânica do sistema sem nenhuma influência externa (isso pode ser visto pela analogia desse modelo com o de Burridge-Knopoff). Porém no caso de condições periódicas de contorno, como não temos sítios que são bordas, todo relaxamento aumenta a tensão total do sistema. Logo a partir do momento em que a tensão total for maior que $K_c{L}^2$ não existem mais configurações da rede que consigam sair da etapa de relaxamento, o que implica que as tensões dos sítios, o tamanho e a energia do terremoto divergem para $\mathrm{\infty }$. Além disso, a tensão excede esse limite em um máximo de $\frac{L^2}{4\alpha -1}$ relaxamentos.

O modelo com condições periódicas possui outra propriedade, se $\alpha \le 0,25$ o modelo entra em um regime periódico. Em especial, a partir de um certo ponto, se $\alpha =0,25$, $S$ e $E$ divergem, mesmo com a tensão se mantendo constante e os sítios são relaxados periodicamente com período $L^2$.

Por essa razão, o modelo com condições de contorno livres é o mais estudado e as principais questões são quais são as diferenças de comportamento entre o modelo conservativo e o não-conservativo e se o modelo exibe realmente SOC.