Mostrar código-fonte de Multiplicadores de Lagrange

{{Formatar referências|data=junho de 2022}}
{{mais notas|data=abril de 2017}}
[[Imagem:LagrangeMultipliers3D.png|direita|thumb|300px|Figura 1: Encontrar <math>x</math> e <math>y</math> que maximizem <math>f(x,y)</math> sujeito a uma condição (a vermelho) <math>g(x,y)=c.</math>]]
[[Imagem:LagrangeMultipliers2D.svg|thumb|300px|Figura 2: Curva de nível da Figura 1. A linha a vermelho indica a restrição <math>g(x,y)=c.</math> As linhas azuis são os contornos de <math>f(x,y).</math> A solução ocorre no ponto em que as linhas vermelha e azul se tocam tangencialmente.<ref name="Não_nomeado-y81l-1">{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=Lagrangemultiplicador|titulo=Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-24|obra=omonitor.io}}</ref>]]

Em [[matemática]], em problemas de [[otimização]], o [[método]] dos multiplicadores de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma [[função (matemática)|função]] de uma ou mais [[variável|variáveis]] suscetíveis a uma ou mais restrições.<ref name="dan.klein">[http://www.cs.berkeley.edu/~klein/papers/lagrange-multipliers.pdf Lagrange Multipliers without Permanent Scarring], por Dan Klein, tutorial hospedado no ''site'' da Computer Science Division da [[Universidade da Califórnia em Berkeley]]</ref>

Por exemplo (veja a figura 1 à direita), considere o problema de otimização
: maximize <math>f(x, y),</math> ou seja, deseja-se encontrar o ponto máximo desta função
: sujeito a <math>g(x, y) = c.</math>

O método consiste em introduzir uma variável nova (<math>\lambda,</math> normalmente), chamada de multiplicador de Lagrange. A partir disso, estuda-se a [[função (matemática)|função]] de Lagrange, assim definida:

: <math> \Lambda(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda \cdot \Big(g(x,y)-c\Big),</math>

Nesta [[função (matemática)|função]], o termo <math>\lambda</math> pode ser adicionado ou subtraído. Se <math>f(x, y)</math> é um ponto de máximo para o problema original, então existe um <math>\lambda</math> tal que <math>(x,y,\lambda)</math> é um [[ponto estacionário]] para a função lagrangiana, ou seja, existe um ponto para o qual as derivadas parciais de <math>\Lambda</math> são iguais a [[zero]].

No entanto, nem todos os pontos estacionários permitem uma solução para o problema original. Portanto, o método dos multiplicadores de Lagrange garante uma condição necessária para a otimização em problemas de otimização com restrição.<ref>{{citar livro
  |último = Bertsekas
  |primeiro = Dimitri P.
  |autorlink = Dimitri P. Bertsekas
  |título= Nonlinear Programming
  |edição= Second
  |publicado= Athena Scientific
  |ano= 1999
  |local= Cambridge, MA.
  | isbn = 1-886529-00-0
}}</ref><ref>{{springer | id=L/l057190 | title=Lagrange multipliers| first=I.B. | last=Vapnyarskii }}.</ref><ref>
* {{citar livro|último =Lasdon|primeiro =Leon&nbsp;S.|título=Optimization theory for large systems|publicado=The Macmillan Company|series=Macmillan series in operations research|local=New York|ano=1970|páginas=xi+523|id=|mr=337317}}
* {{citar livro|último =Lasdon|primeiro =Leon&nbsp;S.|título=Optimization theory for large systems|publicado=Dover Publications, Inc.|local=Mineola, New York|ano=2002|edição=reprint of the 1970 Macmillan|páginas=xiii+523|mr=1888251}}</ref><ref>
{{citar livro|último1 =Hiriart-Urruty|primeiro1 =Jean-Baptiste|último2 =Lemaréchal|primeiro2 =Claude|capítulo=XII&nbsp;Abstract duality for practitioners|título=Convex analysis and minimization algorithms, Volume&nbsp;II: Advanced theory and bundle methods|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]|volume=306|publicado=Springer-Verlag|local=Berlin|ano=1993|páginas=136–193 (and Bibliographical comments on pp.&nbsp;334–335)|isbn=3-540-56852-2|{{MR|1295240}}|authorlink2=Claude Lemaréchal|}}</ref><ref>{{citar livro|último =Lemaréchal|primeiro =Claude
|capítulo=Lagrangian relaxation|páginas=112–156|doi=10.1007/3-540-45586-8_4|título=Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May&nbsp;15–19,&nbsp;2000|editor=Michael Jünger and Denis Naddef|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=2241|publicado=Springer-Verlag|local=Berlin|ano=2001|isbn=3-540-42877-1|id={{MR|1900016}}.{{doi|10.1007/3-540-45586-8_4}}|autorlink =Claude Lemaréchal|}}</ref>

O nome "multiplicador de Lagrange" é uma homenagem a [[Joseph Louis Lagrange]].

== Definição ==
Considere uma função de <math>n</math> variáveis '''<math>f(x_1,x_2,...,x_n)\quad</math>'''e <math>m</math> funções de restrição '''<math>g_1(x_1,x_2,...,x_n) \quad ... \quad g_m(x_1,x_2,...,x_n)</math>'''. Sejam estas funções deriváveis em primeira ordem com derivadas contínuas e que para qualquer ponto do domínio existe algum <math>i</math> para o qual '''<math>\nabla g_i(x) \ne 0 </math>''', se '''<math>f</math>''' tiver um extremo relativo dentro de suas restrições, este ponto ocorre em um ponto <math>P(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n),</math> tal que <math>P</math> pertença a uma superfície de restrição de <math>f</math> na qual a seguinte condição seja satisfeita:

: <math> \nabla f(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n) = \sum_{i = 1}^m \lambda_i \nabla g_i(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n) </math><ref name="Não_nomeado-y81l-1"/>

<math>\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \ldots\, \lambda_m)</math> são os multiplicadores de Lagrange.

A solução recai em resolver um sistema com ''<math>n + m</math>'' equações (as <math>n</math> equações obtidas pela diferenciação, e as <math>m</math> restrições <math>g_i</math>) e <math>n + m</math> incógnitas (a coordenada de <math>P</math> no espaço de <math>n</math> dimensões e os <math>m</math> multiplicadores de Lagrange).

== Utilização ==
O método de lagrange é empregado na resolução de problemas de Programação, é uma ferramenta importante em restrições de igualdade.

== Exemplo ==
A função potencial gravitacional em relação a um [[corpo celeste]]: <math>P(x,y,z) = \frac{-GM}{r}</math> , onde <math>r = [(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2]^\frac{1}{2}</math> e <math>(x_i,y_i,z_i)</math> são as coordenadas do centro do corpo celeste.

O problema é: a uma dada distância da Terra e da Lua, ou seja, fixando-se os potenciais gravitacionais relativos a esses 2 corpos, deseja-se saber qual o ponto em que a [[energia potencial]] gravitacional gerada pela massa do [[Sol]] é máxima (ou mínima). 

A figura abaixo mostra a situação, onde os centros dos 3 corpos estão no plano da tela, As superfícies esféricas equipotenciais da Terra e da Lua aparecem como círculos no plano da tela. Sua intercessão é um círculo num plano normal à tela, que a cruza nos pontos <math>A</math> e <math>B</math>. Esses pontos são a solução do problema, pois um é o mais próximo e o outro é o mais distante do Sol, entre todo o conjunto de pontos desse círculo de intercessão das superfícies.

[[Imagem:MultiplicadoresLagrange.jpg|thumb|300px|esquerda|]]

Qual a relação com os multiplicadores de Lagrange? Basta lembrar que a [[aceleração da gravidade]] é o gradiente do potencial gravitacional, e ela aponta para os centros dos corpos. Em geral, ao longo do círculo normal à tela, de intercessão entre as superfícies potenciais da Terra e Lua, esses vetores dirigidos respectivamente para o centro do Sol, da Terra e da Lua são linearmente independentes. Mas nos pontos <math>A</math> e <math>B</math> eles estão no mesmo plano, e um deles pode ser escrito como uma [[combinação linear]] dos outros.

Portanto pode-se escrever: <math>a_s = \lambda_1a_t + \lambda_2a_l</math> ou
                      <math> \nabla P_s(x,y,z) = \sum_{i = 1}^2 \lambda_i \nabla g_i(x, y, z) </math>
onde: <math>g_1 = P_t(x,y,z) - C_1</math> e <math>g_2 = P_l(x,y,z) - C_2</math>

<math>P_s (x,y,z)</math> é o potencial gravitacional do Sol, <math>P_t(x,y,z)</math> é o da Terra e <math>P_l(z,y,z)</math> é o da Lua. Como a restrição são as superfícies equipotenciais, as funções <math>g_i</math> são zero para os pontos em que os potenciais são <math>C_1</math> e <math>C_2
</math> respectivamente.<ref>[http://www.saspinski.com/matematica/MultiplicadoresLagrange.pdf www.saspinski.com/matematica/LagrangeExemplo.pdf]</ref>



== Ver também ==
* [[Gradiente]]

{{referências}}

== Ligações externas ==
* {{Link||2=http://fma.if.usp.br/~fleming/lagrange/node4.html |3=}}
* [https://drive.google.com/uc?id=1j7_TdZpQWxe9O0WJm2LnmvX7RYbyFNSf&export=download Texto sobre multiplicadores de lagrange com exemplos como encontrar <math>\lambda:</math>]

{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Otimização]]
[[Categoria:Cálculo]]
[[Categoria:Joseph-Louis Lagrange]]