Mostrar código-fonte de Número p-ádico

Em matemática, o '''sistema dos números ''p-ádicos''''' foi pela primeira vez descrito por [[Kurt Hensel]] em 1897.

Dado um [[número primo]] ''p'', um número p-ádico é representado como uma soma infinita:<ref name="wuthrich">[[Christian Wuthrich]], ''Teaching'', ''Further Number Theory'', ''6 p-adic numbers'', ''6.3 The p-adic numbers'' [https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/cw/download/fnt_chap6.pdf]{{Wayback|url=https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/cw/download/fnt_chap6.pdf|date=20131016101216}}<span> </span>[em linha]</ref>
: <math>a = a_{-r} \frac{1}{p^r} + a_{-r+1} \frac{1}{p^{r-1}} + \ldots + a_{-1} \frac{1}{p} + a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots\,</math>

O principal uso destes números é na [[teoria de números]].

== Construção intuitiva ==
Assim como <math>\mathbb{R}\,</math> pode ser gerado a partir de <math>\mathbb{Q}\,</math> a partir da definição usual de [[valor absoluto (álgebra)|valor absoluto]], ou seja, <math>\mathbb{R}\,</math> é <math>\mathbb{Q}\,</math> acrescido do valor limite das [[sucessões de Cauchy]],<ref group="Nota">Para testar a convergência de uma sucessão, é preciso testar em relação a algum valor limite, ou seja, dada uma distância pequena, todos os valores da sucessão, exceto um número finito, estão mais próximos do limite do que esta distância. Uma sucessão de Cauchy é uma sucessão em que propriedade de convergência é testada entre valores da própria sucessão, ou seja, quando podemos dizer que, para alguma distância pequena que se quer testar, todos os valores da sucessão, exceto um número finito deles, estão mais próximos que esta distância.</ref> o conjunto dos números p-ádicos também é <math>\mathbb{Q}\,</math> ao qual são agregados os valores limites das sucessões de Cauchy, só que, em vez de usar o valor absoluto usual, usa-se um valor absoluto diferente.<ref name="silvio.levy.23">[[Silvio Levy]], ''23. Absolute value on fields'' [http://www.msri.org/people/staff/levy/files/Lorenz/23.pdf]{{Wayback|url=http://www.msri.org/people/staff/levy/files/Lorenz/23.pdf|date=20081015194852}}<span> </span>[em linha]</ref>

Este valor absoluto diferente, o [[valor absoluto p-ádico]], representado por |.|<sub>p</sub>, é tal que multiplicar um número por ''p'', que no valor absoluto usual faz o resultado ser multiplicada por ''p'', faz, neste caso, ser dividido por ''p''. Por exemplo:<ref name="silvio.levy.23" />
: <math>\|p^n\|_p = \left(\frac {1}{p}\right)^n\,</math>

Como consequência, a sucessão das potências de ''p'', x<sub>n</sub> = p<sup>n</sup>, que, no valor absoluto usual é uma sucessão divergente (seu limite é [[infinito]]), no valor absoluto p-ádico é uma sucessão convergente, e seu [[limite (matemática)|limite]] é [[zero]].<ref name="silvio.levy.23" />

Define-se <math>\mathbb{Q}_p\,</math> como sendo a [[completude|completação]] de <math>\mathbb{Q}\,</math> usando-se o valor absoluto p-ádico.<ref name="silvio.levy.23" /> É simples verificar que <math>\mathbb{Q}_p\,</math> também é um [[corpo (álgebra)|corpo]].<ref group="Nota">Esta prova é idêntica à prova de que <math>\mathbb{R}\,</math> é um corpo, pela construção como o conjunto das sucessões de Cauchy equivalentes segundo o valor absoluto usual.</ref>

Um resultado do valor absoluto p-ádico é que o critério para convergência de uma série é mais simples que o critério para o valor absoluto usual: para uma série infinita <math>\sum_{n = 1}^\infty a_n\,</math> ser convergente, é necessário e suficiente que ''a<sub>n</sub>'' seja uma sequência que converge para zero.<ref name="silvio.levy.23" /><ref group="Nota">No caso da norma usual, o [[Contraexemplo|contra-exemplo]] padrão é a [[Série harmónica (matemática)|série harmônica]] 1 + 1/2 + 1/3 + ....</ref>

Ou seja, para índices ''a<sub>n</sub>'' [[Número natural|números naturais]] entre 0 e ''p-1'', uma expressão do tipo:
: <math>a_{-k} p^{-k} + \ldots + a_{-1} p^{-1} + a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots\,</math>
converge para algum número p-ádico. O resultado mais importante, porém, é que é possível demonstrar que todo número p-ádico pode ser escrito de forma única como uma série desta forma, ou seja, uma [[série de potências]] em ''p'' que está limitada para as potências negativas de ''p'', mas não precisa estar limitada para as potências positivas.<ref name="silvio.levy.23" />

== Valor absoluto p-ádico ==
{{AP|Valor absoluto p-ádico}}
Para um número p-ádico ''a &ne; 0'' expresso como:
: <math>a = a_{-r} \frac{1}{p^r} + a_{-r+1} \frac{1}{p^{r-1}} + \ldots + a_{-1} \frac{1}{p} + a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots\,</math>
com ''a<sub>-r</sub> &ne; 0'', o valor absoluto p-ádico vale:
: <math>\| a \|_p = p^r\,</math>
Por exemplo, ''|p|<sub>p</sub> = 1/p'' e ''|p<sup>2</sup>|<sub>p</sub> = 1/p<sup>2</sup>''.<ref name="wuthrich.6.4">[[Christian Wuthrich]], ''Teaching'', ''Further Number Theory'', ''6 p-adic numbers'', ''6.4 The absolute value''</ref>

Toda [[sequência de Cauchy]] em <math>\mathbb{Q}_p\,</math> converge.<ref name="wuthrich.6.4" />

{{notas e referências}}

==Ver também==
*[[Inteiro p-ádico]]

==Ligações externas==
*{{Link||2=http://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html |3=p-adicNumber}}
*{{Link||2=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3118 |3=inteiros p--adicos |4=em [[planetmath]]}}
*{{Link||2=http://eom.springer.de/P/p071020.htm |3=''p''-adic number |4=at [[Encyclopaedia of Mathematics|Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics]]}}
*{{Link||2=http://www.math.lsa.umich.edu/~bdconrad/676Page/handouts/algclosurecomp.pdf |3=Completion of Algebraic Closure |4=- on-line lecture notes}}

==Bibliografia==
*{{citar livro|primeiro = Fernando Q.|último = Gouvêa|ano= 2000|título= p-adic Numbers : An Introduction|edição= 2nd edition|publicado= Springer|isbn= 3-540-62911-4}}
*{{citar livro|primeiro = Alain M.|último = Robert|ano= 2000|título= A Course in p-adic Analysis|publicado= Springer|isbn= 0-387-98669-3}}
*{{citar livro|primeiro = Lynn Arthur|último = Steen|ano= 1978|título= Counterexamples in Topology|publicado= Dover|isbn= 0-486-68735-X}}
*Jones, Gareth A., Jones, Josephine Mary. Elementary Number Theory. Springer, 1998. 301 p. ISBN 3540761977
*[[Heinz-Dieter Ebbinghaus]], John H. Ewing. ''Numbers''. 1990. Springer. ISBN 0387974970
*Jean Pierre Serre. A Course in Arithmetic. 1973. Springer. ISBN 0387900403


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