Número p-ádico

Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897.

Dado um número primo p, um número p-ádico é representado como uma soma infinita:

$a=a_{-r}\frac{1}{p^r}+a_{-r+1}\frac{1}{p^{r-1}}+\dots +a_{-1}\frac{1}{p}+a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\dots$

O principal uso destes números é na teoria de números.

Construção intuitiva

Assim como $ℝ$ pode ser gerado a partir de $\mathbb{Q}$ a partir da definição usual de valor absoluto, ou seja, $ℝ$ é $\mathbb{Q}$ acrescido do valor limite das sucessões de Cauchy, o conjunto dos números p-ádicos também é $\mathbb{Q}$ ao qual são agregados os valores limites das sucessões de Cauchy, só que, em vez de usar o valor absoluto usual, usa-se um valor absoluto diferente.

Este valor absoluto diferente, o valor absoluto p-ádico, representado por |.|_p, é tal que multiplicar um número por p, que no valor absoluto usual faz o resultado ser multiplicada por p, faz, neste caso, ser dividido por p. Por exemplo:

$\Vert p^n{\Vert }_p={\left(\frac{1}{p}\right)}^n$

Como consequência, a sucessão das potências de p, x_n = pⁿ, que, no valor absoluto usual é uma sucessão divergente (seu limite é infinito), no valor absoluto p-ádico é uma sucessão convergente, e seu limite é zero.

Define-se ${\mathbb{Q}}_p$ como sendo a completação de $\mathbb{Q}$ usando-se o valor absoluto p-ádico. É simples verificar que ${\mathbb{Q}}_p$ também é um corpo.

Um resultado do valor absoluto p-ádico é que o critério para convergência de uma série é mais simples que o critério para o valor absoluto usual: para uma série infinita $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ ser convergente, é necessário e suficiente que a_n seja uma sequência que converge para zero.

Ou seja, para índices a_n números naturais entre 0 e p-1, uma expressão do tipo:

$a_{-k}{p}^{-k}+\dots +a_{-1}{p}^{-1}+a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\dots$

converge para algum número p-ádico. O resultado mais importante, porém, é que é possível demonstrar que todo número p-ádico pode ser escrito de forma única como uma série desta forma, ou seja, uma série de potências em p que está limitada para as potências negativas de p, mas não precisa estar limitada para as potências positivas.

Valor absoluto p-ádico

Predefinição:AP Para um número p-ádico a ≠ 0 expresso como:

$a=a_{-r}\frac{1}{p^r}+a_{-r+1}\frac{1}{p^{r-1}}+\dots +a_{-1}\frac{1}{p}+a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\dots$

com a_-r ≠ 0, o valor absoluto p-ádico vale:

$\Vert a{\Vert }_p=p^r$

Por exemplo, |p|_p = 1/p e |p²|_p = 1/p².

Toda sequência de Cauchy em ${\mathbb{Q}}_p$ converge.

Ver também

• Inteiro p-ádico

Ligações externas

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Bibliografia

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• Jones, Gareth A., Jones, Josephine Mary. Elementary Number Theory. Springer, 1998. 301 p. ISBN 3540761977
• Heinz-Dieter Ebbinghaus, John H. Ewing. Numbers. 1990. Springer. ISBN 0387974970
• Jean Pierre Serre. A Course in Arithmetic. 1973. Springer. ISBN 0387900403

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