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'''Números complexos p-ádicos''', em [[álgebra]], são os conjuntos construídos a partir dos [[números p-ádicos]] por processos análogos à construção dos [[números complexos]] a partir dos [[números racionais]].

Os números complexos, historicamente, podem ser vistos como tendo sido construídos a partir dos [[números naturais]] através de dois processos: resolver [[equações polinomiais]] e completar os conjuntos obtidos para que eles não tenham "buracos". Em uma primeira etapa, <math>\mathbb{Z}\,</math> é construído a partir de <math>\mathbb{N}\,</math> ao se exigir que toda equação da forma ''a + x = b'', com ''a'' e ''b'' naturais, tenha solução. Na etapa seguinte, <math>\mathbb{Q}\,</math> é construído a partir de <math>\mathbb{Z}\,</math> ao incluir as soluções das equações ''a x = b'' com ''a'' e ''b'' inteiros.<ref group="Nota">No texto de Koblitz, faltou dizer que ''a'' não pode ser zero.</ref> Pode-se agora definir uma noção de distância entre números, e a partir daí define-se o que é uma [[sequência de Cauchy]]. Duas sequências de Cauchy são equivalentes quando a diferença entre seus termos converge para zero (esta é, obviamente, uma [[relação de equivalência]]). Os [[números reais]] são construídos a partir dos números racionais como as [[classes de equivalência]] das sequências de Cauchy de números racionais, e não é complicado definir adição, subtração, multiplicação e divisão destas classes de equivalência, de forma que <math>\mathbb{R}\,</math> seja um [[corpo (álgebra)|corpo]].<ref name="koblitz.3">[[Neal Koblitz]], ''p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions'', ''3. Review of building up the complex'', p.8-10 [http://www.plouffe.fr/simon/math/p-adic%20numbers,%20p-adic%20analysis,%20and%20zeta-functions%202nd%20ed.%20-%20N.%20Koblitz.pdf {{Wayback|url=http://www.plouffe.fr/simon/math/p-adic%20numbers,%20p-adic%20analysis,%20and%20zeta-functions%202nd%20ed.%20-%20N.%20Koblitz.pdf |date=20130615135819 }} <nowiki>[ligação inativa]</nowiki>]</ref>

A partir de <math>\mathbb{R}\,</math>, os matemáticos decidiram que seria interessante que equações como ''x<sup>2</sup> + 1 = 0'' também tivessem solução, e isto levou à construção do [[corpo dos números complexos]] como os números da forma ''a + b i'', com ''a'' e ''b'' reais. Um fato surpreendente, denominado como [[Teorema Fundamental da Álgebra]], é que este conjunto dos números complexos tem a propriedade notável de que qualquer equação polinomial com coeficientes complexos tem uma solução complexa. Além disso, a noção de distância nos reais pode ser estendida a uma noção de distância nos complexos, e <math>\mathbb{C}\,</math> é completo em relação a esta distância. Ou seja, o processo de resolver equações e completar o conjunto para não deixar buracos termina em <math>\mathbb{C}\,</math>.<ref name="koblitz.3" />

Já no caso de se usar como distância a [[métrica p-ádica]] ''|.|<sub>p</sub>'', o processo não é tão simples. A partir de <math>\mathbb{Q}\,</math>, obtém-se <math>\mathbb{Q}_p\,</math>, o conjunto dos [[números p-ádicos]], como a completação de <math>\mathbb{Q}\,</math>. Este corpo não é [[algebricamente fechado]], ou seja, existem equações polinomiais que não tem raiz, porém para obter seu [[fecho algébrico]] <math>\bar{\mathbb{Q}}\,</math> não basta, como no caso real, incluir uma única raiz, é preciso incluir infinitas raízes de polinômios de grau cada vez maior. Pior: este corpo <math>\bar{\mathbb{Q}}\,</math> não é completo, ou seja, existem sequências de Cauchy que não convergem.<ref name="koblitz.3" />

Aparentemente, o esquema de construção de corpos "obter fecho algébrico" -> "completar as sequências de Cauchy" -> "obter fecho algébrico" -> "completar as sequências de Cauchy" -> ... poderia ter vários passos, ou mesmo um número infinito de passos.<ref name="anashin.khrennikov.1.8.3">[[Vladimir Anashin]] e [[Andrei Yurevich Khrennikov]], ''Applied Algebraic Dynamics'', 1.8.3 ''Complex p-adic numbers'', p.33 [http://books.google.com.br/books?id=XH_8DXbHLeUC&pg=PA33&lpg=PA33&f=false <nowiki>[google books]</nowiki>]</ref> Se construirmos este corpo gigantesco <math>\bar{\mathbb{Q}}\,</math> e fecharmos seus buracos obtendo um corpo ainda maior, <math>\Omega\,</math>, será que precisamos aumentar <math>\Omega\,</math> ainda mais, para poder resolver equações polinomiais em <math>\Omega\,</math>? E depois disso, será preciso continuar o processo, com abstrações cada vez mais distantes da realidade?<ref name="koblitz.3" />

Felizmente,<ref name="koblitz.3" /> por causa do [[teorema de Krasner]],<ref name="anashin.khrennikov.1.8.3" /> este processo termina aqui: o corpo obtido pela completação do fecho algébrico dos números p-ádicos é [[algebricamente fechado]]: este é o comjunto dos números complexos p-ádicos <math>\mathbb{C}_p\,</math>.<ref name="koblitz.3" /><ref name="anashin.khrennikov.1.8.3" />

{{notas e referências}}

[[Categoria:Álgebra]]