Números complexos p-ádicos

Números complexos p-ádicos, em álgebra, são os conjuntos construídos a partir dos números p-ádicos por processos análogos à construção dos números complexos a partir dos números racionais.

Os números complexos, historicamente, podem ser vistos como tendo sido construídos a partir dos números naturais através de dois processos: resolver equações polinomiais e completar os conjuntos obtidos para que eles não tenham "buracos". Em uma primeira etapa, $\mathbb{Z}$ é construído a partir de $\mathbb{N}$ ao se exigir que toda equação da forma a + x = b, com a e b naturais, tenha solução. Na etapa seguinte, $\mathbb{Q}$ é construído a partir de $\mathbb{Z}$ ao incluir as soluções das equações a x = b com a e b inteiros. Pode-se agora definir uma noção de distância entre números, e a partir daí define-se o que é uma sequência de Cauchy. Duas sequências de Cauchy são equivalentes quando a diferença entre seus termos converge para zero (esta é, obviamente, uma relação de equivalência). Os números reais são construídos a partir dos números racionais como as classes de equivalência das sequências de Cauchy de números racionais, e não é complicado definir adição, subtração, multiplicação e divisão destas classes de equivalência, de forma que $ℝ$ seja um corpo.

A partir de $ℝ$, os matemáticos decidiram que seria interessante que equações como x² + 1 = 0 também tivessem solução, e isto levou à construção do corpo dos números complexos como os números da forma a + b i, com a e b reais. Um fato surpreendente, denominado como Teorema Fundamental da Álgebra, é que este conjunto dos números complexos tem a propriedade notável de que qualquer equação polinomial com coeficientes complexos tem uma solução complexa. Além disso, a noção de distância nos reais pode ser estendida a uma noção de distância nos complexos, e $ℂ$ é completo em relação a esta distância. Ou seja, o processo de resolver equações e completar o conjunto para não deixar buracos termina em $ℂ$.

Já no caso de se usar como distância a métrica p-ádica |.|_p, o processo não é tão simples. A partir de $\mathbb{Q}$, obtém-se ${\mathbb{Q}}_p$, o conjunto dos números p-ádicos, como a completação de $\mathbb{Q}$. Este corpo não é algebricamente fechado, ou seja, existem equações polinomiais que não tem raiz, porém para obter seu fecho algébrico $\overline{\mathbb{Q}}$ não basta, como no caso real, incluir uma única raiz, é preciso incluir infinitas raízes de polinômios de grau cada vez maior. Pior: este corpo $\overline{\mathbb{Q}}$ não é completo, ou seja, existem sequências de Cauchy que não convergem.

Aparentemente, o esquema de construção de corpos "obter fecho algébrico" -> "completar as sequências de Cauchy" -> "obter fecho algébrico" -> "completar as sequências de Cauchy" -> ... poderia ter vários passos, ou mesmo um número infinito de passos. Se construirmos este corpo gigantesco $\overline{\mathbb{Q}}$ e fecharmos seus buracos obtendo um corpo ainda maior, $\mathrm{\Omega }$, será que precisamos aumentar $\mathrm{\Omega }$ ainda mais, para poder resolver equações polinomiais em $\mathrm{\Omega }$? E depois disso, será preciso continuar o processo, com abstrações cada vez mais distantes da realidade?

Felizmente, por causa do teorema de Krasner, este processo termina aqui: o corpo obtido pela completação do fecho algébrico dos números p-ádicos é algebricamente fechado: este é o comjunto dos números complexos p-ádicos ${ℂ}_p$.