Mostrar código-fonte de Números de Euler

{{não confundir com|Número de Euler}}Em [[matemática]], os '''números de Euler''' são uma [[sequência]] ''E <sub>n</sub>'' de [[Número inteiro|inteiros]] {{OEIS|A122045}} definida pela expansão da [[série de Taylor]]

: <math>\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!} \cdot t^n</math> ,

onde <math>\cosh (t)</math> é a [[Função hiperbólica|função cosseno hiperbólico]] . Os números de Euler estão relacionados a um valor especial dos [[Polinômio de Euler|polinômios de Euler]], a saber:

: <math>E_n=2^nE_n(\tfrac 12).</math>

Os números de Euler aparecem nas expansões da [[série de Taylor]] das funções [[Função trigonométrica|secante]] e [[Função hiperbólica|secante hiperbólica]]. Esta última é a função na definição. Elas também ocorrem em [[combinatória]], especificamente ao contar o número de [[Permutação alternada|permutações alternadas]] de um conjunto com um número par de elementos.

== Exemplos ==
Os números de Euler de índices ímpares são todos [[0 (número)|zero]]. Os pares {{OEIS|id=A028296}} têm sinais alternados. Alguns valores são:
{|
|''E''<sub>0</sub>
|=
| align="right" |1
|-
|''E''<sub>2</sub>
|=
| align="right" |−1
|-
|''E''<sub>4</sub>
|=
| align="right" |5
|-
|''E''<sub>6</sub>
|=
| align="right" |−61
|-
|''E''<sub>8</sub>
|=
| align="right" |{{val|1385|fmt=gaps}}
|-
|''E''<sub>10</sub>
|=
| align="right" |{{val|−50521}}
|-
|''E''<sub>12</sub>
|=
| align="right" |{{val|2,702,765}}
|-
|''E''<sub>14</sub>
|=
| align="right" |{{val|−199,360,981}}
|-
|''E''<sub>16</sub>
|=
| align="right" |{{val|19,391,512,145}}
|-
|''E''<sub>18</sub>
|=
| align="right" |{{val|−2,404,879,675,441}}
|}
Alguns autores reindexam a sequência para omitir os números de Euler ímpares com valor zero, ou alteram todos os sinais para positivos {{OEIS|A000364}}. Este artigo adere à convenção adotada acima.

== Fórmulas explícitas ==

=== Em termos de números de Stirling do segundo tipo ===
As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler em termos de [[números de Stirling do segundo tipo]]<ref>{{Citar periódico |url=https://projecteuclid.org/euclid.moscow/1572314455 |título=A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number |periódico=Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory |número=4 |ultimo=Jha |primeiro=Sumit Kumar |ano=2019 |paginas=385–387 |doi=10.2140/moscow.2019.8.389 |volume=8}}</ref><ref>{{Citar web|ultimo=Jha|primeiro=Sumit Kumar|url=https://osf.io/smw7h/|titulo=A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind|data=15 de novembro de 2019}}</ref>

: <math> E_{n}=2^{2n-1}\sum_{\ell=1}^{n}\frac{(-1)^{\ell}S(n,\ell)}{\ell+1}\left(3\left(\frac{1}{4}\right)^{(\ell)}-\left(\frac{3}{4}\right)^{(\ell)}\right), </math>
: <math> E_{2n}=-4^{2n}\sum_{\ell=1}^{2n}(-1)^{\ell}\cdot \frac{S(2n,\ell)}{\ell+1}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{(\ell)},</math>

onde <math> S(n,\ell) </math> dentota os [[números de Stirling do segundo tipo]], e <math> x^{(\ell)}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell-1) </math> denota o [[fatorial descendente]].

=== Como uma soma dupla ===
As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler como somas duplas<ref>{{Citar periódico |título=Several closed expressions for the Euler numbers |periódico=Journal of Inequalities and Applications |número=2015 |ultimo=Wei |primeiro=Chun-Fu |ultimo2=Qi |primeiro2=Feng |ano=2015 |doi=10.1186/s13660-015-0738-9 |volume=219 |doi-access=free}}
</ref>

: <math>E_{2n}=(2 n+1)\sum_{\ell=1}^{2n} (-1)^{\ell}\frac{1}{2^{\ell}(\ell +1)}\binom{2 n}{\ell}\sum _{q=0}^{\ell}\binom{\ell}{q}(2q-\ell)^{2n}, </math>
: <math>E_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k} \frac{1}{2^{k}}\sum_{\ell=0}^{2k}(-1)^{\ell } \binom{2k}{\ell}(k-\ell)^{2n}. </math>

=== Como uma soma iterada ===
Uma fórmula explícita para os números de Euler é: <ref>{{Citar web|ultimo=Tang|primeiro=Ross|url=https://oeis.org/A000111/a000111.pdf|titulo=An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series|data=2012-05-11|arquivourl=https://web.archive.org/web/20140409060145/http://oeis.org/A000111/a000111.pdf|arquivodata=2014-04-09|urlmorta=live}}
</ref>

: <math>E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{\ell=0}^k \binom{k}{\ell}\frac{(-1)^\ell(k-2\ell)^{2n+1}}{2^k i^k k},</math>

onde {{Mvar|i}} denota a [[unidade imaginária]] com {{Math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}} .

=== Como uma soma sobre partições ===
O número de Euler {{Math|''E''<sub>2''n''</sub>}} pode ser expresso como uma soma sobre as [[Função de partição (matemática)|partições]] pares de {{Math|2''n''}},<ref>{{Citar periódico |url=http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html |título=Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers |periódico=Integers |número=1 |ultimo=Vella |primeiro=David C. |ano=2008 |paginas=A1 |volume=8}}</ref>

: <math> E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n} \binom K {k_1, \ldots, k_n}
	\delta_{n,\sum mk_m} \left( -\frac{1}{2!} \right)^{k_1} \left( -\frac{1}{4!} \right)^{k_2}
	\cdots \left( -\frac{1}{(2n)!} \right)^{k_n} ,</math>

bem como uma soma sobre as partições ímpares de {{Math|2''n'' − 1}},<ref>{{Citar arXiv|arxiv=1103.1585|classe=math.NT|nome=J.|sobrenome=Malenfant|titulo=Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers}}</ref>

: <math> 	 E_{2n} = (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
  \binom K {k_1, \ldots, k_n}
  \delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }  \left( -\frac{1}{1!} \right)^{k_1} \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
  \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n} , </math>

onde em ambos os casos {{Math|''K'' {{=}} ''k''<sub>1</sub> + ··· + ''k<sub>n</sub>''}} e

: <math> \binom K {k_1, \ldots, k_n}
     \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}</math>

é um [[Teorema multinomial|coeficiente multinomial]] . Os [[Delta de Kronecker|deltas de Kronecker]] nas fórmulas acima restringem as somas sobre os {{Mvar|k}}s a {{Math|2''k''<sub>1</sub> + 4''k''<sub>2</sub> + ··· + 2''nk<sub>n</sub>'' {{=}} 2''n''}} e a {{Math|''k''<sub>1</sub> + 3''k''<sub>2</sub> + ··· + (2''n'' − 1)''k<sub>n</sub>'' {{=}} 2''n'' − 1}}, respectivamente.

Como no exemplo:

: <math>
\begin{align}
E_{10} & = 10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!\,8!} + \frac{2}{4!\,6!}
	- \frac{3}{2!^2\, 6!}- \frac{3}{2!\,4!^2} +\frac{4}{2!^3\, 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\[6pt]
& = 9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^2\,7!} + \frac{6}{1!\,3!\,5!}
	+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^4\,5!} -\frac{10}{1!^3\,3!^2} + \frac{7}{1!^6\, 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\[6pt]
& = -50\,521.
\end{align}
</math>

=== Como um determinante ===
{{Math|''E''<sub>2''n''</sub>}} é dado pelo [[Determinante]]

: <math>
\begin{align}
E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix}  \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
                               \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                 \vdots & ~ & \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} & 1\\
                                \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}
 </math>

=== Como uma integral ===
{{Math|''E''<sub>2''n''</sub>}} também é dado pelas integrais:

: <math>
\begin{align}
(-1)^n E_{2n} & = \int_0^\infty \frac{t^{2n}}{\cosh\frac{\pi t}2}\; dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1} \int_0^\infty \frac{x^{2n}}{\cosh x}\; dx\\[8pt]
&=\left(\frac2\pi\right)^{2n} \int_0^1\log^{2n}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi t}{4} \right)\,dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1}\int_0^{\pi/2} \log^{2n}\left(\operatorname{tg} \frac{x}{2} \right)\,dx\\[8pt]
&= \frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}} \int_0^{\pi/2} x \log^{2n} (\operatorname{tg} x)\,dx = \left(\frac2\pi\right)^{2n+2} \int_0^\pi \frac{x}{2} \log^{2n} \left(\operatorname{tg} \frac{x}{2} \right)\,dx.\end{align}
 </math>

== Congruências ==
W. Zhang<ref>{{Citar periódico |url=https://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/36-2/zhang.pdf |título=Some identities involving the Euler and the central factorial numbers |periódico=Fibonacci Quarterly |número=4 |ultimo=Zhang |primeiro=W.P. |ano=1998 |paginas=154–157 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20191123004402/https://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/36-2/zhang.pdf |arquivodata=2019-11-23 |volume=36}}</ref> obteve as seguintes identidades combinatórias relativas aos números de Euler. Para qualquer primo <math> p </math>, nós temos

: <math>(-1)^{\frac{p-1}{2}} E_{p-1} \equiv \textstyle\begin{cases} 0 \mod p &\text{, se }p\equiv 1\bmod 4; \\ -2 \mod p & \text{, se }p\equiv 3\bmod 4. \end{cases}</math>

onde <math>a\bmod b</math> denota o [[resto da divisão inteira]] de a por b.

W. Zhang e Z. Xu<ref>{{Citar periódico |título=On a conjecture of the Euler numbers |periódico=Journal of Number Theory |número=2 |ultimo=Zhang |primeiro=W.P. |ultimo2=Xu |primeiro2=Z.F. |ano=2007 |paginas=283–291 |doi=10.1016/j.jnt.2007.04.004 |volume=127 |doi-access=free}}
</ref> provaram que, para qualquer primo <math> p \equiv 1 \pmod{4} </math> e inteiro <math> \alpha\geq 1 </math>, nós temos

: <math> E_{\phi(p^{\alpha})/2}\not \equiv 0 \pmod{p^{\alpha}} </math>

onde <math>\phi(n)</math> é a [[função totiente de Euler]] .

== Aproximação assintótica ==
Os números de Euler crescem muito rapidamente para índices grandes, pois têm o seguinte limite inferior

: <math> |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}. </math>

== Números em ziguezague de Euler ==
A [[série de Taylor]] de <math>\sec x + \operatorname{tg} x = \operatorname{tg}\left(\frac\pi4 + \frac x2\right)</math> é

: <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A_n}{n!}x^n,</math>

onde {{Mvar|A<sub>n</sub>}} são os [[Permutação alternada|números em ziguezague de Euler]], começando com

: 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... {{OEIS|id=A000111}}

Para todos os {{Mvar|n}} pares,

: <math>A_n = (-1)^\frac{n}{2} E_n,</math>

onde {{Mvar|''E<sub>n</sub>''}} é o número de Euler; e para todo {{Mvar|n}} ímpar,

: <math>A_n = (-1)^\frac{n-1}{2}\frac{2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1},</math>

onde {{Mvar|''B<sub>n</sub>''}} é o [[Números de Bernoulli|número de Bernoulli]] .

: <math>\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}\operatorname{sen}{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}+\sum_{m=0}^{n-1}\frac{A_m}{m!(n-m-1)!}\operatorname{sen}{\left(\frac{m\pi}{2}\right)}=\frac{1}{(n-1)!}.</math> {{carece de fontes|mat|data=setembro de 2024}}

== Ver também ==
* [[Números de Bernoulli|Número de Bernoulli]]
* [[Constante de Euler-Mascheroni]]

{{Referências}}

== Ligações externas ==

* {{SpringerEOM|title=Euler numbers}}
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|id=EulerNumber|titulo=Euler number}}
{{Classes de números naturais}}
[[Categoria:Leonhard Euler]]
[[Categoria:Sequências de números inteiros]]