Mostrar código-fonte de Operador linear limitado

Em [[matemática]] e, em especial, em [[análise funcional]] um '''operador linear limitado''' é uma [[transformação linear]] <math>T:X \longrightarrow Y</math> entre [[espaço vectorial topológico|espaços vetoriais topológicos]] <math> X</math> e <math> Y</math> que aplica subconjuntos [[Conjunto limitado|limitados]] de <math> X</math> em subconjuntos limitados de <math> Y</math>. Em particular, se <math> X</math> e <math> Y</math> são [[espaço normado|espaços normados]], então <math> T</math> é limitado [[Se e somente se|se, e somente se]], existe <math> M>0</math>  tal que
:<math> \|Tx\|_Y\leq M \|x\|_X,\ \forall x\in X.</math>

== Em espaços vetoriais normados ==
Seja <math>T: X \to Y\,</math> uma [[transformação linear]] entre [[espaço normado|espaços normados]] <math> X</math> e <math> Y</math> . Então <math> T</math>  é um '''operador linear limitado''' se existe  <math> M>0</math>  tal que
::<math> \|Tx\|_Y\leq M \|x\|_X,\ \forall x\in X.</math>
Denotamos por <math>\mathcal{L}(X,Y)</math> o [[espaço vetorial]] de todos os operadores lineares limitados de  <math> X</math> em <math> Y</math>. Define-se a '''norma de um operador linear limitado''' por
:: <math>\|T\|_{\mathcal{L}(X,Y)} :=\sup_{\stackrel{x\in X}{x\neq 0}} \frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}.</math>
Pode-se provar que se <math>T\in \mathcal{L}(X,Y)</math>, então
:: <math>\|T\|_{\mathcal{L}(X,Y)}=\sup_{\stackrel{x\in X}{\|x\|\leq 1 0}}\|Tx\|_Y=\sup_{\stackrel{x\in X}{\|x\|= 1}}\|Tx\|_Y.</math>



{{Teorema |nome=Proposição{{sfn|Biezuner|2009|p=12}} |enunciado= Seja <math>T:X\longrightarrow Y</math> um operador linear entre espaços normados. Então as seguintes afirmações são equivalentes:
# <math>T</math> é limitada.
# <math>T</math> é  [[continuidade uniforme|uniformemente contínuo]].
# <math>T</math> é contínuo na origem.
}}

{{Math proof|
(<math>1\Rightarrow 2</math>) Dado <math>\varepsilon>0</math>, se <math>x,y\in X</math>, então
:: <math>\|Tx-Ty\|_Y=\|T(x-y)\|_Y\leq M \|x-y\|_X.</math> 
Portanto, basta tomar <math>\delta<\frac{\varepsilon}{M}</math> que temos a continuidade uniforme.

(<math>2\Rightarrow 3</math>) É óbvio.

(<math>3\Rightarrow 1</math>) Como <math>T</math> é contínuo na origem, existe <math>\delta >0</math> tal que 
:: <math>\|Tx\|_Y<1,</math> sempre que <math>\|x\|_X<\delta.</math>
Com isso, dado <math>x\neq 0</math>, tome <math>y=\frac{x}{2\|x\|_X}\delta</math>. Assim, <math>\|y\|_X<\delta / 2 </math> e consequentemente
:: <math>\|Ty\|_Y< 1\Rightarrow \left\|T\left(\frac{x}{2\|x\|_X}\delta\right)\right\|_Y< 1 
\Rightarrow \frac{\delta}{2\|x\|_X} \|Tx\|_Y< 1.</math>
Donde, <math>\|Tx\|_Y<  \frac{2}{\delta}\|x\|_X.</math> Logo, <math>T</math> satisfaz a definição de limitado com a constante <math>M=2/ \delta.</math>
}}

Por causa deste resultado, usamos a nomenclatura '''operador linear limitado''' e '''operador linear contínuo''' indistintamente.

===Propriedades===
* Se <math>X</math> é um espaço normado e <math>Y</math> é um [[espaço de Banach]], então <math>\mathcal{L}(X,Y)</math> também é um espaço de Banach.

* <math>\mathcal{L}(X,\mathbb{R})</math> é chamado de [[Espaço_dual#Espaço_dual_topológico|dual topológico]] de <math>X</math> e é denotado simplesmente por <math>X^\ast.</math>{{nota de rodapé|Alguns textos usam a notação <math>X'</math> para o dual topológico ao invés de <math>X^\ast</math>.}} 

*Dados <math>x^\ast \in X^\ast </math> e <math>x\in X</math>, constuma-se usar a notação <math>\lang x^\ast ,x \rang_{X^\ast,X} </math>, ou simplesmente <math>\lang x^\ast,x \rang</math>, ao invés de  <math>x^\ast(x)</math>.

*Se <math>X\,</math> é um espaço de dimensão finita, então todo operador linear é limitado

*Se <math>X\,</math> é um espaço de dimensão infinita, então o [[axioma da escolha]] garante a existência de operadores lineares não limitados definidos em todo o espaço.

*Todo operador linear limitado é [[operador linear fechado|fechado]].



{{mínimo sobre|matemática}}


{{notas}}

{{references}}

==Bibliografia==

* {{Cite book
|last=Biezuner
|first=Rodney Josué
|title= Notas de Aula Análise Funcional
|year=2009
|url = http://150.164.25.15/~rodney/notas_de_aula/analise_funcional.pdf
}}

* {{Cite book
|last=Brézis
|first=Haïm
|title=Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
|publisher= [[Springer Science+Business Media|Springer]]
|year=2010
|isbn=978-0-387-70914-7
|author-link=Haïm_Brézis
|doi=10.1007/978-0-387-70914-7
}}

* {{Cite book
|last=Kesavan
|first=Srinivasan
|title=Topics in Functional Analysis and Applications
|publisher= New Age International Publishers 
|year=2015
|edition=second
|isbn=978-81-224-3797-3
}}
* {{Citar livro
|título=Introductory functional analysis with applications
|ultimo=Kreyszig
|primeiro=Erwin
|data=1989
|editora=Wiley
|local=New York
|isbn=978-0471504597
}}

[[Categoria:Análise funcional]]