Mostrar código-fonte de Pêndulo de Foucault

{{Ver desambig|prefixo=Se procura|o livro de [[Umberto Eco]]|O Pêndulo de Foucault (livro)}}
{{Física geral}}
[[Imagem:Foucault pendulum in the Franklin Institute.jpg|200px|thumb|Pêndulo de Foucault em [[Filadélfia]] (Franklin Institute).]]
Um '''pêndulo de Foucault''' ({{IPA-fr|fuˈko}}), assim chamado em referência ao [[físico]] [[Franceses|francês]] [[Jean Bernard Léon Foucault]], é uma [[Experiência científica|experiência]] concebida para demonstrar a [[rotação da Terra]] em relação a seu próprio [[Eixo terrestre|eixo]]. A primeira demonstração data de [[1851]], quando um [[pêndulo]] de 30 [[quilograma|kg]] foi fixado ao teto do [[Panteão de Paris]] por um fio rígido de 67 metros de comprimento. A massa de 30 kg era constituída de uma esfera metálica parcialmente oca, cheia de areia fina, com um orifício, pelo qual durante o movimento a areia ia se escorrendo lentamente, a fim de marcar no chão a [[trajetória]] do pêndulo; o rastro deixado pela areia não se sobrepunha um ao outro, mas sim existia um espaçamento entre um e outro a cada [[período (física)|período]] do pêndulo completado.<ref>{{Citar web|url=https://web.archive.org/web/20141009110101/http://www.inape.org.br/colunas/fisica-conceito-historia/pendulo-foucault|título=Pêndulo de Foucault|acessodata=5 de outubro de 2014|autor=SANTOS, Floriano Gomes dos|data=11 de fevereiro de 2013|publicado=Instituto de Astronomia e Pesquisa Espaciais|ultimo=|primeiro=}}</ref> A originalidade do pêndulo reside no fato de ter liberdade de [[oscilação]] em qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação do plano pendular é devida à rotação da Terra. A [[Velocidade angular|velocidade]] e a direção de rotação do plano pendular permitem igualmente determinar a [[latitude]] do local da experiência sem nenhuma observação astronômica exterior.<ref>{{Citar periódico |último=Somerville |primeiro=W.B |url=http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1972QJRAS..13...40S&amp;data_type=PDF_HIGH&amp;whole_paper=YES&amp;type=PRINTER&amp |formato=PDF |titulo=The Description of Foucault’s Pendulum |jornal=Q. J. R. Astron. Soc. |volume=13 |ano=1972 |numero=40 |língua=en}}</ref><ref>{{Citar periódico |autor=Hart J.B.; Miller R. E.; [[Robert L. Mills|R.L.Mills]] |url=http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=AJPIAS000055000001000067000001&idtype=cvips&gifs=yes&ref=no |titulo=A simple geometric model for visualizing the motion of a Foucault pendulum |jornal=American Journal of Physics |volume=55 |página=67-70 |ano=1987 |língua=en}}</ref>

== Princípio ==
[[Imagem:Foucault pendulum.ogv|direita|thumb|200px|Pêndulo de Foucault (Paris, Panthéon)]]
[[Imagem:Foucault pendulum animated.gif|direita|thumb|350px|Animação do Pêndulo de Foucault exibindo o sentido de rotação no hemisfério sul]]
O pendulo de Foucault, devido à sua concepção e dimensões, é capaz de revelar a rotação da Terra, sem que seja necessário ir ao [[espaço sideral]] para verificar, o que veio a ocorrer cerca de um século depois da primeira demonstração do pêndulo. 

O plano de oscilação do pêndulo gira em torno do seu eixo devido à força de Coriolis, que é consequência do movimento de rotação da Terra. Muitos textos e áudios, explicam erroneamente que "a Terra gira em torno do pêndulo". Efetivamente a Terra gira embaixo do pêndulo, pois ele possui um sofisticado sistema de sustentação de baixíssimo atrito, mas o período de rotação do plano do pêndulo não é igual ao período de rotação da Terra, exceto nos polos. 

O período de rotação do plano pendular é inversamente proporcional ao [[seno]] da latitude do local. O tempo T para uma rotação completa do plano de oscilação, considerando uma latitude θ, é dado por T(θ) = 24/sen θ, sendo T dado em horas. Os únicos lugares em que o tempo de rotação completa do plano de oscilação do pêndulo de Foucault é igual a 24 horas são os polos norte e sul, onde temos θ = 90 graus. O movimento angular do pêndulo de Foucault ocorre no [[sentido horário]] no [[hemisfério norte]] e no [[sentido anti-horário]] no [[hemisfério sul]],<ref>{{Citar web | url = http://www.inape.org.br/colunas/fisica-conceito-historia/pendulo-foucault | título = Pêndulo de Foucault | acessodata = 5 de outubro de 2014 | autor = SANTOS, Floriano Gomes Dos | data = 11 de fevereiro de 2013 | publicado = Instituto de Astronomia e Pesquisa Espaciais | arquivodata = 9 de outubro de 2014 | arquivourl = https://web.archive.org/web/20141009110101/http://www.inape.org.br/colunas/fisica-conceito-historia/pendulo-foucault }}</ref> sendo que no equador não gira.  

Por exemplo:

* 1 [[dia sideral]] (24 horas) nos polos;
* 1,4 dias a <math>45^{o}</math> de latitude;
* 2 dias a <math>30^{o}</math> de latitude;
* infinito (ou seja o plano pendular permanece constante) com <math>0^{o}</math> de latitude, no [[Equador (Geografia)|equador]].

== Um pouco de [[matemática]] ==
Para simplificar, suporemos a [[amplitude]] das oscilações suficientemente pequena para admitir que a massa oscilante do pêndulo se desloca horizontalmente. Notemos O''xy'' este plano horizontal, com O posição da massa em repouso, O''x'' eixo horizontal dirigido para o leste (logo [[tangente]] ao paralelo), e O''y'' dirigido para o norte (logo tangente ao meridiano). O terceiro eixo O''z'' será vertical, dirigido para cima.lp

=== Caso do pêndulo simples ===
Sem se levar em conta a [[rotação da Terra]], as equações do movimento são as do pêndulo simples, ou seja:
:<math> \left \{ \begin{matrix} x'' = - \omega^2 x\\ y''= - \omega^2 y \end{matrix} \right.</math>
onde ω é a oscilação própria do pêndulo simples, ou seja:
:<math>\omega = \sqrt{g/l}</math>
onde ''g'' é a aceleração da gravidade e ''l'' o comprimento do pêndulo.
A título de exemplo, se no instante ''t'' = 0 o pêndulo passa em O com uma velocidade V<sub>0</sub>
segundo o eixo O''x'', então a solução deste sistema é:
:<math> \left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega} \sin(\omega t) \\ y = &0 \end{matrix} \right.</math>

=== Caso do pêndulo de Foucault ===
Com a rotação da Terra, deve-se levar em conta a [[força de Coriolis|aceleração de Coriolis]]:
:<math>2 \Omega (\vec{v} \times \vec{k})</math>
onde  <math>\vec{v}</math> é a velocidade do pêndulo, <math>\vec{k}</math> é o vetor unitário no eixo de rotação terrestre e Ω a velocidade de rotação angular da Terra (ou seja, uma volta em um dia sideral). Essa velocidade de rotação Ω é muito menor que a oscilação própria ω do pêndulo.<ref>{{Citar web|url=http://www.inape.org.br/colunas/fisica-conceito-historia/pendulo-foucault|data=11 de Fevereiro de 2013|acessodata=6 de Outubro de 2014|publicado=Instituto de Astronomia e Pesquisa Espacial|título=Pêndulo de Foucauld|autor=SANTOS, Floriano Gomes Dos|arquivodata=9 de outubro de 2014|arquivourl=https://web.archive.org/web/20141009110101/http://www.inape.org.br/colunas/fisica-conceito-historia/pendulo-foucault}}</ref>

Se nos encontramos à latitude θ, então o [[vetor]] <math>\Omega \vec{k}</math> tem como componentes no referencial O''xyz:''
:<math>\begin{pmatrix} 0\\ \Omega \cos{\theta} \\ \Omega \sin{\theta} \end{pmatrix}</math>
<math>\vec{v}</math> tem como componentes:
:<math>\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 0 \end{pmatrix}</math>,
de modo que a aceleração de Coriolis terá os componentes:
:<math>\begin{pmatrix} 2y' \Omega \sin{\theta}\\ - 2x' \Omega \sin{\theta} \\ 2x' \Omega \cos{\theta} \end{pmatrix}</math>.

As equações de movimento no plano O''xy'' tornam-se:

:<math> \left\{\begin{matrix} x'' = - \omega^2 x + 2y' \Omega\sin{\theta}\\ y'' = - \omega^2 y - 2x' \Omega \sin{\theta}\end{matrix}\right.</math>
Se se supõe ainda que no instante ''t'' = 0 o pêndulo passe em O com a velocidade V<sub>0</sub> no eixo O''x'', então pode-se verificar que as soluções ''x'' e ''y'' do sistema diferencial são tais que:
:<math> \left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ y = &- {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{matrix} \right.</math>

com
:<math>\omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \Omega^2 \sin^2(\theta)}</math>

Pode-se escrever que:
:<math>\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}</math>

=== Interpretação e comparação ===
A quantidade <math>{V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t)</math> exprime o fato que o pêndulo de Foucault oscila com uma pulsação própria ω<sub>0</sub> ligeiramente diferente daquela do pêndulo simples, mas como Ω é muito pequeno em comparação com ω, a diferença entre ω e ω<sub>0</sub> é muito pequena.

Mais notável, a oscilação se dá segundo a direção:
:<math>\begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}</math>
que roda lentamente segundo a pulsação:
:<math>\Omega \sin(\theta)</math>

== Ver também ==
* O pêndulo de Foucault foi uma das [[inspiração|inspirações]] para o romance homônimo "[[O Pêndulo de Foucault (livro)|O Pêndulo de Foucault]]" de [[Umberto Eco]].
* [[Jean Bernard Léon Foucault]]
{{commonscat|Pêndulo de Foucault}}

{{Referências}}

== Ligações externas ==
*{{Link||2=http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Foucault0.html |3=Demonstração animada do pêndulo de Foucault}}
*{{Link||2=http://www.betrisey.ch/leon.htm |3=Como construir seu próprio pêndulo (francês)}}

{{Portal3|Física}}

{{DEFAULTSORT:Pendulo Foucault}}
[[Categoria:Léon Foucault]]
[[Categoria:Experiências científicas]]
[[Categoria:Experimentos de física]]
[[Categoria:Pêndulos]]