Pêndulo de Foucault

Pêndulo de Foucault em Filadélfia (Franklin Institute).

Um pêndulo de Foucault (Predefinição:IPA-fr), assim chamado em referência ao físico francês Jean Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida para demonstrar a rotação da Terra em relação a seu próprio eixo. A primeira demonstração data de 1851, quando um pêndulo de 30 kg foi fixado ao teto do Panteão de Paris por um fio rígido de 67 metros de comprimento. A massa de 30 kg era constituída de uma esfera metálica parcialmente oca, cheia de areia fina, com um orifício, pelo qual durante o movimento a areia ia se escorrendo lentamente, a fim de marcar no chão a trajetória do pêndulo; o rastro deixado pela areia não se sobrepunha um ao outro, mas sim existia um espaçamento entre um e outro a cada período do pêndulo completado. A originalidade do pêndulo reside no fato de ter liberdade de oscilação em qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação do plano pendular é devida à rotação da Terra. A velocidade e a direção de rotação do plano pendular permitem igualmente determinar a latitude do local da experiência sem nenhuma observação astronômica exterior.

Princípio

Ficheiro:Foucault pendulum.ogv

Animação do Pêndulo de Foucault exibindo o sentido de rotação no hemisfério sul

O pendulo de Foucault, devido à sua concepção e dimensões, é capaz de revelar a rotação da Terra, sem que seja necessário ir ao espaço sideral para verificar, o que veio a ocorrer cerca de um século depois da primeira demonstração do pêndulo.

O plano de oscilação do pêndulo gira em torno do seu eixo devido à força de Coriolis, que é consequência do movimento de rotação da Terra. Muitos textos e áudios, explicam erroneamente que "a Terra gira em torno do pêndulo". Efetivamente a Terra gira embaixo do pêndulo, pois ele possui um sofisticado sistema de sustentação de baixíssimo atrito, mas o período de rotação do plano do pêndulo não é igual ao período de rotação da Terra, exceto nos polos.

O período de rotação do plano pendular é inversamente proporcional ao seno da latitude do local. O tempo T para uma rotação completa do plano de oscilação, considerando uma latitude θ, é dado por T(θ) = 24/sen θ, sendo T dado em horas. Os únicos lugares em que o tempo de rotação completa do plano de oscilação do pêndulo de Foucault é igual a 24 horas são os polos norte e sul, onde temos θ = 90 graus. O movimento angular do pêndulo de Foucault ocorre no sentido horário no hemisfério norte e no sentido anti-horário no hemisfério sul, sendo que no equador não gira.

Por exemplo:

• 1 dia sideral (24 horas) nos polos;
• 1,4 dias a $45^o$ de latitude;
• 2 dias a $30^o$ de latitude;
• infinito (ou seja o plano pendular permanece constante) com $0^o$ de latitude, no equador.

Um pouco de matemática

Para simplificar, suporemos a amplitude das oscilações suficientemente pequena para admitir que a massa oscilante do pêndulo se desloca horizontalmente. Notemos Oxy este plano horizontal, com O posição da massa em repouso, Ox eixo horizontal dirigido para o leste (logo tangente ao paralelo), e Oy dirigido para o norte (logo tangente ao meridiano). O terceiro eixo Oz será vertical, dirigido para cima.lp

Caso do pêndulo simples

Sem se levar em conta a rotação da Terra, as equações do movimento são as do pêndulo simples, ou seja:

$\{\begin{array}{c}{x}^{″}=-{\omega }^{2}x\\ y^{″}=-{\omega }^{2}y\end{array}$

onde ω é a oscilação própria do pêndulo simples, ou seja:

$\omega =\sqrt{g/l}$

onde g é a aceleração da gravidade e l o comprimento do pêndulo. A título de exemplo, se no instante t = 0 o pêndulo passa em O com uma velocidade V₀ segundo o eixo Ox, então a solução deste sistema é:

$\{\begin{array}{cc}x=& \frac{V_0}{\omega }\sin (\omega t)\\ y=& 0\end{array}$

Caso do pêndulo de Foucault

Com a rotação da Terra, deve-se levar em conta a aceleração de Coriolis:

$2\mathrm{\Omega }(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{k})$

onde $\overrightarrow{v}$ é a velocidade do pêndulo, $\overrightarrow{k}$ é o vetor unitário no eixo de rotação terrestre e Ω a velocidade de rotação angular da Terra (ou seja, uma volta em um dia sideral). Essa velocidade de rotação Ω é muito menor que a oscilação própria ω do pêndulo.

Se nos encontramos à latitude θ, então o vetor $\mathrm{\Omega }\overrightarrow{k}$ tem como componentes no referencial Oxyz:

$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\Omega }\cos \theta \\ \mathrm{\Omega }\sin \theta \end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}$ tem como componentes:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 0\end{array}\right)$,

de modo que a aceleração de Coriolis terá os componentes:

$\left(\begin{array}{c}2y^{\prime }\mathrm{\Omega }\sin \theta \\ -2x^{\prime }\mathrm{\Omega }\sin \theta \\ 2x^{\prime }\mathrm{\Omega }\cos \theta \end{array}\right)$.

As equações de movimento no plano Oxy tornam-se:

$\{\begin{array}{c}{x}^{″}=-{\omega }^{2}x+2y^{\prime }\mathrm{\Omega }\sin \theta \\ y^{″}=-{\omega }^{2}y-2x^{\prime }\mathrm{\Omega }\sin \theta \end{array}$

Se se supõe ainda que no instante t = 0 o pêndulo passe em O com a velocidade V₀ no eixo Ox, então pode-se verificar que as soluções x e y do sistema diferencial são tais que:

$\{\begin{array}{cc}x=& \frac{V_0}{{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)\cos (\mathrm{\Omega }\sin (\theta )t)\\ y=& -\frac{V_0}{{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)\sin (\mathrm{\Omega }\sin (\theta )t)\end{array}$

com

${\omega }_0=\sqrt{{\omega }^2+{\mathrm{\Omega }}^2{\sin }^2(\theta )}$

Pode-se escrever que:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\frac{V_0}{{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)\left(\begin{array}{c}\cos (\mathrm{\Omega }\sin (\theta )t)\\ -\sin (\mathrm{\Omega }\sin (\theta )t)\end{array}\right)$

Interpretação e comparação

A quantidade $\frac{V_0}{{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)$ exprime o fato que o pêndulo de Foucault oscila com uma pulsação própria ω₀ ligeiramente diferente daquela do pêndulo simples, mas como Ω é muito pequeno em comparação com ω, a diferença entre ω e ω₀ é muito pequena.

Mais notável, a oscilação se dá segundo a direção:

$\left(\begin{array}{c}\cos (\mathrm{\Omega }\sin (\theta )t)\\ -\sin (\mathrm{\Omega }\sin (\theta )t)\end{array}\right)$

que roda lentamente segundo a pulsação:

$\mathrm{\Omega }\sin (\theta )$

Ver também

• O pêndulo de Foucault foi uma das inspirações para o romance homônimo "O Pêndulo de Foucault" de Umberto Eco.
• Jean Bernard Léon Foucault

Ligações externas

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