Mostrar código-fonte de Passeio aleatório de tempo contínuo

Na matemática, um '''passeio aleatório de tempo contínuo''' (PATC) é uma generalização de um [[passeio aleatório]] em que a partícula errante espera por um tempo aleatório entre os saltos.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Hilfer|primeiro=R.|ano=1995|titulo=Fractional master equations and fractal time random walks|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.51.R848|jornal=Physical Review E|volume=51|numero=2|paginas=R848–R851|doi=10.1103/physreve.51.r848|acessodata=28/02/2018}}</ref> É um processo de salto [[estocástico]] com distribuições arbitrárias de comprimentos de salto e tempos de parada.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=N1xD7ay06Z4C&redir_esc=y|título=Anomalous Transport: Foundations and Applications|ultimo=Klages|primeiro=Rainer|ultimo2=Radons|primeiro2=Günter|ultimo3=Sokolov|primeiro3=Igor M.|editora=John Wiley & Sons|ano=2008|local=Hoboken, New Jersey|lingua=en|isbn=9783527622986|acessodata=28/02/2018}}</ref> De forma mais generalizada, pode ser visto como um caso especial de um processo de renovação de Markov.

== Motivação ==
O PATC foi introduzido pelos matemáticos norte-americanos Elliott Waters Montroll e George Herbert Weiss em 1965 como uma generalização do processo de difusão física para descrever efetivamente a [[difusão anômala]], isto é, os casos superdifusivo e subdifusivo.<ref>{{citar periódico|ultimo=Montroll|primeiro=Elliott|ultimo2=Weiss|primeiro2=George|ano=1965|titulo=Random Walks on Lattices. II|url=http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1704269|jornal=Journal of Mathematical Physics|acessodata=28/02/2018}}</ref> Uma formulação equivalente do PATC é dada por equações mestre generalizadas.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Kenkre|primeiro=V. M.|ultimo2=Montroll|primeiro2=E. W.|ultimo3=Shlesinger|primeiro3=M. F.|ano=1973|titulo=Generalized master equations for continuous-time random walks|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01016796|jornal=Journal of Statistical Physics|lingua=en|volume=9|numero=1|paginas=45–50|doi=10.1007/bf01016796|issn=0022-4715|acessodata=28/02/2018}}</ref> Uma conexão entre PATCs e equações de difusão com derivadas de tempo fracionárias foi estabelecida. De forma semelhante, equações de difusão fracionárias de tempo-espaço podem ser consideradas PATCs com saltos continuamente distribuídos ou aproximações em continuidade de PATCs em reticulados.

== Formulação ==
Uma formulação simples de um PATC consiste em considerar o processo estocástico <math>X(t)</math> definido por:<blockquote><math>
X(t)=X_0+\sum_{i=1}^{N(t)}\Delta X_i,
</math></blockquote>cujos incrementos <math>\Delta X_i</math> são [[variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas]] que assumem valores em um domínio <math>\Omega</math>, sendo <math>N(t)</math> o número de saltos no intervalo <math> (0,t)</math>. A probabilidade de que o processo assuma o valor <math> X</math> no tempo <math> t</math> é dada por:<blockquote><math>
P(X,t)=\sum_{n=0}^\infty P(n,t)P_n(X).
</math></blockquote>Aqui, <math>P_n(X)</math> é a probabilidade que o processo assuma o valor <math>X</math> depois de <math>n</math> saltos e <math>P(n,t)</math> é a probabilidade de ter <math>n</math> saltos depois do tempo <math>t</math>.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Gorenflo|primeiro=Rudolf|ultimo2=Mainardi|primeiro2=Francesco|ultimo3=Vivoli|primeiro3=Alessandro|ano=2005|titulo=Continuous-time random walk and parametric subordination in fractional diffusion|url=http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0960077907000926|jornal=Chaos, Solitons & Fractals|volume=34|numero=1|paginas=87–103|doi=10.1016/j.chaos.2007.01.052|acessodata=28/02/2018}}</ref>

== Fórmula de Montroll–Weiss ==
Denotamos por <math>\tau</math> o tempo de espera entre dois saltos de <math>N(t)</math> e por <math>\psi(\tau)</math> sua distribuição. A [[transformada de Laplace]] de <math>\psi(\tau)</math> é definida por:<blockquote><math>
\tilde{\psi}(s)=\int_0^{\infty}d\tau e^{-\tau s}\psi(\tau).
</math></blockquote>De forma semelhante, a [[Função característica (probabilidade)|função característica]] da distribuição de saltos <math> f(\Delta X) </math> é dada por sua [[transformada de Fourier]]:<blockquote><math>
\hat{f}(k)=\int_\Omega d(\Delta X)e^{ik\Delta X}f(\Delta X).
</math></blockquote>Pode-se mostrar que a transformada de Laplace–Fourier da probabilidade <math>P(X,t)</math> é dada por:<blockquote><math>
\hat{\tilde{P}}(k,s)=\frac{1-\tilde{\psi}(s)}{s}\frac{1}{1-\tilde{\psi}(s)\hat{f}(k)}.
</math></blockquote>Esta é a chamada fórmula de Montroll–Weiss.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/862122496|título=Essentials of econophysics modelling|ultimo=František|primeiro=Slanina|editora=Oxford University Press|ano=2013|edicao=1|local=Oxford|isbn=9780191009075|oclc=862122496|acessodata=28/02/2018}}</ref>

== Exemplos ==
O [[processo de Wiener]] é o exemplo padrão de um passeio aleatório de tempo contínuo no qual os tempos de espera são [[Distribuição exponencial|exponenciais]] e os saltos são contínuos e [[Distribuição normal|normalmente distribuídos]].<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/853106886|título=Stochastic processes: from physics to finance|ultimo=Paul|primeiro=Wolfgang|editora=Springer|ano=2013|edicao=2|local=Berlin|isbn=9783319003276|oclc=853106886|acessodata=28/02/2018}}</ref>

{{Referências}}

{{Processos estocásticos}}

[[Categoria:Processos estocásticos]]