Passeio aleatório de tempo contínuo

Na matemática, um passeio aleatório de tempo contínuo (PATC) é uma generalização de um passeio aleatório em que a partícula errante espera por um tempo aleatório entre os saltos. É um processo de salto estocástico com distribuições arbitrárias de comprimentos de salto e tempos de parada. De forma mais generalizada, pode ser visto como um caso especial de um processo de renovação de Markov.

Motivação

O PATC foi introduzido pelos matemáticos norte-americanos Elliott Waters Montroll e George Herbert Weiss em 1965 como uma generalização do processo de difusão física para descrever efetivamente a difusão anômala, isto é, os casos superdifusivo e subdifusivo. Uma formulação equivalente do PATC é dada por equações mestre generalizadas. Uma conexão entre PATCs e equações de difusão com derivadas de tempo fracionárias foi estabelecida. De forma semelhante, equações de difusão fracionárias de tempo-espaço podem ser consideradas PATCs com saltos continuamente distribuídos ou aproximações em continuidade de PATCs em reticulados.

Formulação

Uma formulação simples de um PATC consiste em considerar o processo estocástico

$X(t)$

definido por:

$X(t)=X_0+\sum _{i=1}^{N(t)}\mathrm{\Delta }{X}_i,$

cujos incrementos

$\mathrm{\Delta }{X}_i$

são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas que assumem valores em um domínio

$\mathrm{\Omega }$

, sendo

$N(t)$

o número de saltos no intervalo

$(0,t)$

. A probabilidade de que o processo assuma o valor

$X$

no tempo

$t$

é dada por:

$P(X,t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}P(n,t)P_n(X).$

Aqui,

$P_n(X)$

é a probabilidade que o processo assuma o valor

$X$

depois de

$n$

saltos e

$P(n,t)$

é a probabilidade de ter

$n$

saltos depois do tempo

$t$

.

Fórmula de Montroll–Weiss

Denotamos por

$\tau$

o tempo de espera entre dois saltos de

$N(t)$

e por

$\psi (\tau )$

sua distribuição. A transformada de Laplace de

$\psi (\tau )$

é definida por:

$\tilde{\psi }(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\tau e^{-\tau s}\psi (\tau ).$

De forma semelhante, a função característica da distribuição de saltos

$f(\mathrm{\Delta }X)$

é dada por sua transformada de Fourier:

$\hat{f}(k)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }d(\mathrm{\Delta }X)e^{ik\mathrm{\Delta }X}f(\mathrm{\Delta }X).$

Pode-se mostrar que a transformada de Laplace–Fourier da probabilidade

$P(X,t)$

é dada por:

$\hat{\tilde{P}}(k,s)=\frac{1-\tilde{\psi }(s)}{s}\frac{1}{1-\tilde{\psi }(s)\hat{f}(k)}.$

Esta é a chamada fórmula de Montroll–Weiss.

Exemplos

O processo de Wiener é o exemplo padrão de um passeio aleatório de tempo contínuo no qual os tempos de espera são exponenciais e os saltos são contínuos e normalmente distribuídos.