Função característica (probabilidade)

Predefinição:Mais notas Em probabilidade, a função característica de uma variável aleatória X é a função

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)$

quando esta esperança existe, em que t é o argumento (real ou imaginário) da função característica e i é uma raiz quadrada de menos um.

Toda variável aleatória contínua ou discreta possui função característica, que é calculada, respectivamente, por:

$\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}{f}_X(x)dx.$

$\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)=\sum _x{e}^{itx}{p}_X(x).$

Através da Fórmula de Euler, podemos escrever:

$e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\mathrm{sen}\left(x\right),$

E, assim, o cálculo da esperança, para os casos contínuo e discreto, fica:

$\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}cos(tx)f_X(x)dx+i\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}sen(tx)f_X(x)dx.$

$\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)=\sum _{x}cos(tx)p_X(x)dx+i\sum _{x}sen(tx)p_X(x)dx.$

A função característica ${\phi }_X(t)$ existe para todo $t\in ℝ.$ A função característica ${\phi }_X(t)$ é também chamada de Transformada de Fourier de f .

Definição formal

Se X é uma variável aleatória simples, então

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)t\in ℝ$ arbitrário.

Propriedades

Cada uma das funções $x\to \mathrm{E}\left(e^{itX}\right)$ é contínua e limitada.

Exemplos de usos

• (Teorema da continuidade de Lévy) Sejam $X_n$ e $X$ vetores aleatórios em ${ℝ}^k.$ Então

$X_n$ converge em distribuição para $X$ se e somente se $\mathrm{E}\left(e^{it{X}_n}\right)$ $\to \mathrm{E}\left(e^{itX}\right)\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^k$ é contínua e limitada.

Ver também

• Funções características de variáveis aleatórias (em inglês)