Mostrar código-fonte de Pentação

 
[[Ficheiro:Pentation.jpg|miniaturadaimagem| Os três primeiros valores da expressão ''x'' [5]2. O valor de 3[5]2 é cerca de 7,626 × 10 <sup>12</sup> ; valores para ''x'' mais altos, como 4[5]2, que é cerca de 2,361 × 10 <sup>8,072 × 10 <sup>153,</sup></sup> são grandes demais para aparecer no gráfico.]]
Em [[matemática]], '''pentação''' (ou '''hiper-5''') é a [[hiperoperação]] seguinte à [[tetração]] e anterior à hexação. É definida como uma tetração [[Iteração|iterada]] ― repetida (assumindo associatividade à direita), assim como a tetração é uma [[exponenciação]] associativa à direita iterada.<ref>{{Citar periódico |url=https://dl.acm.org/doi/10.1145/367766.368160 |título=Algorithm 93: General order arithmetic |data=1962-06 |acessodata=2023-10-14 |periódico=Communications of the ACM |número=6 |ultimo=Perstein |primeiro=Millard H. |paginas=344 |lingua=en |doi=10.1145/367766.368160 |issn=0001-0782}}</ref> É uma [[operação binária]] definida com dois números <math>a</math> e <math>b</math>, onde <math>a</math> é tetrato consigo <math>b-1</math> vezes. Por exemplo, utilizando a notação de hiperoperação para pentação e tetração, <math>2[5]3</math> significa tetrar 2 consigo 2 vezes, ou <math>2[4](2[4]2)</math>. Que pode ser reduzido a <math>2[4](2^2) = 2[4]4 = 2^{2^{2^2}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65.536</math>.

== Etimologia ==
A palavra ''pentação'' foi cunhada por Reuben Goodstein em 1947 que deriva das raízes [[Lista de prefixos matemáticos|penta]]- (cinco) e [[iteração]]. É parte de um esquema genérico de nomeação para hiperoperações.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0022481200075411/type/journal_article |título=Transfinite ordinals in recursive number theory |data=1947-12 |acessodata=2023-10-14 |periódico=Journal of Symbolic Logic |número=4 |ultimo=Goodstein |primeiro=R. L. |paginas=123–129 |lingua=en |doi=10.2307/2266486 |issn=0022-4812}}</ref>

== Notação ==
Há pouco consenso sobre a notação para pentação, por isso, há diferentes maneiras de escrever a operação. Contudo, algumas são mais utilizadas do que outras e têm vantagens claras ou desvantagens comparadas à outras.

* Pentação pode ser escrita como uma hiperoperação como <math>a[5]b</math>. Neste formado, <math>a[3]b</math> pode ser interpretado como o resultado da aplicação sucessiva da função <math>x\mapsto a[2]x</math>, para <math>b</math> repetições, começando do número 1. Analogamente, <math>a[4]b</math>, tetração, representa o valor obtido por aplicar repetidamente a função <math>x\mapsto a[3]x</math>, para <math>b</math> repetições, começando do número 1 e a pentação <math>a[5]b</math> representa o valor obtido por aplicar repetidamente a função <math>x\mapsto a[4]x</math> para <math>b</math> repetições começando do número 1.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.194.4271.1235 |título=Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness: Advances in our ability to compute are bringing us substantially closer to ultimate limitations. |data=1976-12-17 |acessodata=2023-10-14 |periódico=Science |número=4271 |ultimo=Knuth |primeiro=Donald E. |paginas=1235–1242 |lingua=en |doi=10.1126/science.194.4271.1235 |issn=0036-8075}}</ref><ref>{{Citar periódico |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0001870879900525 |título=Knuth's iterated powers |data=1979-11 |acessodata=2023-10-14 |periódico=Advances in Mathematics |número=2 |ultimo=Blakley |primeiro=G.R |ultimo2=Borosh |primeiro2=I |paginas=109–136 |lingua=en |doi=10.1016/0001-8708(79)90052-5}}</ref> Esta será a notação utilizada no restante deste artigo.
* Na [[notação de Knuth]], <math>a[5]b</math> é representado como <math>a\uparrow\uparrow\uparrow b</math> ou <math>a\uparrow^3 b</math>. Nessa notação, <math>a\uparrow b</math> representa a função exponenciação <math>a^b</math> e <math>a\uparrow\uparrow b</math> representa a tetração. A operação pode ser facilmente adaptada para hexação ao adicionar-se outra seta.
* Na [[notação de seta encadeada de Conway]], <math>a[5]b = a\rightarrow b\rightarrow 3</math>.<ref>{{Citar livro|título=The book of numbers|ultimo=Conway|primeiro=John Horton|ultimo2=Guy|primeiro2=Richard K.|data=2006|editora=Copernicus|edicao=Nachdr.|local=New York, NY}}</ref>
* Outra notação proposta é <math>_{b}a</math>, embora esta não seja extensível para hiperoperações maiores.



== Exemplos ==
Os valores da função pentação podem também ser obtidos dos valores da quarta linha da tabela de valores da variante da [[função de Ackermann]]: se <math>A(n,m)</math> é definido pela recorrência de Ackermann <math>A(m-1, A(m,n-1))</math> com as condições iniciais <math>A(1,n) = an</math> e <math>A(m,1) = a</math>, então <math>a[5]b = A(4,b)</math>.<ref>{{Citar periódico |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0893965995000844 |título=Ackermann functions and transfinite ordinals |data=1995-11 |acessodata=2023-10-14 |periódico=Applied Mathematics Letters |número=6 |ultimo=Nambiar |primeiro=K.K. |paginas=51–53 |lingua=en |doi=10.1016/0893-9659(95)00084-4}}</ref>

Assim como a tetração, sua operação base, não foi estendida às alturas não inteiras, a pentação <math>a[5]b</math> é atualmente definida somente para valores inteiros de <math>a</math> e <math>b</math> onde <math>a > 0</math> e <math>b\geq -2</math> e alguns poucos valores inteiros quais ''podem'' ser unicamente definidos. Assim como todas as hiperoperações de ordem 3 (exponenciações) e maiores, a pentação tem os seguintes casos triviais (identidades) as quais são verdadeiras para todos os valores de <math>a</math> e <math>b</math> no seu domínio:

* <math>1[5]b = 1</math>
* <math>a[5]1 = a</math>

Adicionalmente, podemos também definir:

* <math>a[5]2 = a[4]a</math>
* <math>a[5]0 = 1</math>
* <math>a[5](-1) = 0</math>
* <math>a[5](-2) = -1</math>
* <math>a[5](b+1) = a[4](a[5]b)</math>

Além dos casos triviais acima, a pentação gera número extremamente grande rapidamente tais que há apenas poucos casos não triviais que produzem números que podem ser escritos na notação convencional, como mostrado a seguir:

* <math>2[5]2 = 2[4]2 = 2^2 = 4</math>
* <math>2[5]3 = 2[4](2[5]2) = 2[4](2[4]2) = 2[4]4 = 2^{2^{2^2}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65.536</math>
* <math>2[5]4 = 2[4](2[5]3) = 2[4](2[4](2[4]2)) = 2[4](2[4]4) = 2[4]65.536 = 2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}}</math>(uma torre de potência de altura 65.536 <math>\approx \exp_{10}^{65.533}(4.29508)</math> (mostrada aqui na notação de exponencial iterada pois é muito grande para ser escrito em notação convencional. Note que <math> \exp_{10}(n) = 10^n </math>.
* <math>2[5]5 = 2[4](2[5]4) = 2[4](2[4](2[4](2[4]2))) = 2[4](2[4](2[4]4)) = 2[4](2[4]65.536) = 2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}}</math> (uma tore de potência de altura <math>2[4]65.536</math>) <math>\approx \exp_{10}^{2[4]65{.}536 - 3}(4{,}29508)  </math>
* <math>3[5]2 = 3[4]3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7.625.597.484.987</math>
* <math>3[5]3 = 3[4](3[5]2) = 3[4](3[4]3) = 3[4]7,625,597,484,987 = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} </math>(uma torre de potência de altura 7.625.597.484.987) <math>\approx\exp_{10}^{7{.}625{.}597{.}484{.}986}(1,09902)  </math>
* <math>3[5]4 = 3[4](3[5]3) = 3[4](3[4](3[4]3)) = 3[4](3[4]7,625,597,484,987) = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}</math> (uma torre de potência de altura <math>3[4]7.625{.}597{.}484{.}987</math>) <math>\approx\exp_{10}^{3[4]7.625{.}597{.}484{.}987-1}(1{,}09902)  </math>
* <math>4[5]2 = 4[4]4 =  4^{4^{4^4}} = 4^{4^{256}} \approx \exp_{10}^3(2,19)</math>  (um número com mais de <math>10^{153}</math> dígitos)
* <math>5[5]2 = 5[4]5 = 5^{5^{5^{5^5}}} = 5^{5^{5^{3125}}} \approx \exp_{10}^4(3,33928)</math> (um número com mais de <math>10^{10^{2.184}}</math> dígitos)







== Veja também ==

* [[Função de Ackermann]]
* [[Números muito grandes|Grandes números]]
* [[Número de Graham]]
* [[História dos números muito grandes|História de grandes números]]

== Referências ==
<references group="" responsive="1"></references>
[[Categoria:Números muito grandes]]