Pentação

 

Os três primeiros valores da expressão x [5]2. O valor de 3[5]2 é cerca de 7,626 × 10 ¹² ; valores para x mais altos, como 4[5]2, que é cerca de 2,361 × 10 ^{8,072 × 10 153,} são grandes demais para aparecer no gráfico.

Em matemática, pentação (ou hiper-5) é a hiperoperação seguinte à tetração e anterior à hexação. É definida como uma tetração iterada ― repetida (assumindo associatividade à direita), assim como a tetração é uma exponenciação associativa à direita iterada. É uma operação binária definida com dois números $a$ e $b$, onde $a$ é tetrato consigo $b-1$ vezes. Por exemplo, utilizando a notação de hiperoperação para pentação e tetração, $2[5]3$ significa tetrar 2 consigo 2 vezes, ou $2[4](2[4]2)$. Que pode ser reduzido a $2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65.536$.

Etimologia

A palavra pentação foi cunhada por Reuben Goodstein em 1947 que deriva das raízes penta- (cinco) e iteração. É parte de um esquema genérico de nomeação para hiperoperações.

Notação

Há pouco consenso sobre a notação para pentação, por isso, há diferentes maneiras de escrever a operação. Contudo, algumas são mais utilizadas do que outras e têm vantagens claras ou desvantagens comparadas à outras.

• Pentação pode ser escrita como uma hiperoperação como $a[5]b$. Neste formado, $a[3]b$ pode ser interpretado como o resultado da aplicação sucessiva da função $x\mapsto a[2]x$, para $b$ repetições, começando do número 1. Analogamente, $a[4]b$, tetração, representa o valor obtido por aplicar repetidamente a função $x\mapsto a[3]x$, para $b$ repetições, começando do número 1 e a pentação $a[5]b$ representa o valor obtido por aplicar repetidamente a função $x\mapsto a[4]x$ para $b$ repetições começando do número 1. Esta será a notação utilizada no restante deste artigo.
• Na notação de Knuth, $a[5]b$ é representado como $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ ou $a{\uparrow }^{3}b$. Nessa notação, $a\uparrow b$ representa a função exponenciação $a^b$ e $a\uparrow \uparrow b$ representa a tetração. A operação pode ser facilmente adaptada para hexação ao adicionar-se outra seta.
• Na notação de seta encadeada de Conway, $a[5]b=a\to b\to 3$.
• Outra notação proposta é ${}_{b}a$, embora esta não seja extensível para hiperoperações maiores.

Exemplos

Os valores da função pentação podem também ser obtidos dos valores da quarta linha da tabela de valores da variante da função de Ackermann: se $A(n,m)$ é definido pela recorrência de Ackermann $A(m-1,A(m,n-1))$ com as condições iniciais $A(1,n)=an$ e $A(m,1)=a$, então $a[5]b=A(4,b)$.

Assim como a tetração, sua operação base, não foi estendida às alturas não inteiras, a pentação $a[5]b$ é atualmente definida somente para valores inteiros de $a$ e $b$ onde $a>0$ e $b\ge -2$ e alguns poucos valores inteiros quais podem ser unicamente definidos. Assim como todas as hiperoperações de ordem 3 (exponenciações) e maiores, a pentação tem os seguintes casos triviais (identidades) as quais são verdadeiras para todos os valores de $a$ e $b$ no seu domínio:

• $1[5]b=1$
• $a[5]1=a$

Adicionalmente, podemos também definir:

• $a[5]2=a[4]a$
• $a[5]0=1$
• $a[5](-1)=0$
• $a[5](-2)=-1$
• $a[5](b+1)=a[4](a[5]b)$

Além dos casos triviais acima, a pentação gera número extremamente grande rapidamente tais que há apenas poucos casos não triviais que produzem números que podem ser escritos na notação convencional, como mostrado a seguir:

• $2[5]2=2[4]2=2^2=4$
• $2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65.536$
• $2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65.536=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}$(uma torre de potência de altura 65.536 $\approx {\exp }_{10}^{65.533}(4.29508)$ (mostrada aqui na notação de exponencial iterada pois é muito grande para ser escrito em notação convencional. Note que ${\exp }_{10}(n)=10^n$.
• $2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65.536)=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}$ (uma tore de potência de altura $2[4]65.536$) $\approx {\exp }_{10}^{2[4]65.536-3}(4,29508)$
• $3[5]2=3[4]3=3^{3^3}=3^{27}=7.625.597.484.987$
• $3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}$(uma torre de potência de altura 7.625.597.484.987) $\approx {\exp }_{10}^{7.625.597.484.986}(1,09902)$
• $3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}$ (uma torre de potência de altura $3[4]7.625.597.484.987$) $\approx {\exp }_{10}^{3[4]7.625.597.484.987-1}(1,09902)$
• $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^4}}=4^{4^{256}}\approx {\exp }_{10}^3(2,19)$ (um número com mais de $10^{153}$ dígitos)
• $5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^5}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx {\exp }_{10}^4(3,33928)$ (um número com mais de $10^{10^{2.184}}$ dígitos)

Veja também

• Função de Ackermann
• Grandes números
• Número de Graham
• História de grandes números