Mostrar código-fonte de Pi

{{Ver desambig|este=a constante matemática|letra grega|Π|o estado brasileiro|Piauí|ou=PI}}
{{Caixa Pi}}
O número '''{{pi}}''' ({{AFI-pt|pi|pron}}) é uma [[constante matemática]] que é [[Razão (matemática)|razão]] entre o [[Comprimento da circunferência|comprimento]] de uma [[circunferência]] e seu [[diâmetro]], aproximadamente igual a 3,14159. Ele aparece em diversas fórmulas [[matemática]]s e [[física]]s. É um [[número irracional]], que significa que não pode ser expresso como a razão de dois inteiros, embora frações como {{math|{{sfrac|22|7}}}} são comumente utilizadas para [[Aproximações de π|aproximar o seu valor]]. Consequentemente, sua [[representação decimal]] nunca acaba, nem entra num [[Dízima periódica|padrão que se repete infinitamente]]. Também é um [[número transcendente]], ou seja, não é a solução de uma [[equação algébrica]] que envolva apenas uma quantidade finita de somas, produtos, potências e coeficientes inteiros. Este último fato implica que resolver o antigo problema da [[quadratura do círculo]] com [[Desenho geométrico|régua e compasso]] é impossível. Os dígitos decimais de {{pi}} são aparentemente distribuídos aleatoriamente,{{TagNota|Em particular, {{pi}} é conjeturado um [[número normal]], o que implica um tipo específico de aleatoriedade estatística em seus dígitos em todas as bases.}} mas nenhuma prova para essa [[conjectura]] foi encontrada.

Por milhares de anos, matemáticos tentaram expandir seus conhecimentos sobre {{pi}}, às vezes computando o seu valor a um alto nível de precisão. Civilizações antigas, incluindo os [[Matemática egípcia antiga|egípcios]] e os [[Matemática babilônica|babilônicos]], exigiam aproximações bastante precisas de {{pi}} para cálculos práticos. Em aproximadamente 250&nbsp;a.C., o [[Matemática da Grécia Antiga|matemático grego]] [[Arquimedes]] criou um algoritmo para aproximar {{pi}} com precisão arbitrária. No século V&nbsp;d.C., [[Matemática chinesa|matemáticos chineses]] aproximaram {{pi}} a sete dígitos, enquanto os [[Matemática indiana|matemáticos indianos]] fizeram uma aproximação de cinco dígitos, ambos utilizando técnicas geométricas. A primeira fórmula computacional, baseado numa [[série infinita]], foi descoberta um milênio depois.{{sfn|Andrews|Askey|Roy|1999|p=59}}<ref>{{citar periódico|primeiro=R. C. |último=Gupta |título=On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series |periódico=Ganita Bharati |volume=14 |número=1–4 |ano=1992 |páginas=68–71 |lingua=en}}</ref> O primeiro uso da letra [[π]] para representar a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência foi o matemático galês [[William Jones (matemático)|William Jones]] em 1706.<ref name=jones>{{citar livro|último=Jones |primeiro=William |autorlink=William Jones (matemático) |ano=1706 |título=Synopsis Palmariorum Matheseos |local=London |publicado=J. Wale |url=https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/ |páginas=[https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n261/ 243], [https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/ 263] |lingua=en |citação=There are various other ways of finding the ''Lengths'', or ''Areas'' of particular ''Curve Lines'' or ''Planes'', which may very much facilitate the Practice; as for instance, in the ''Circle'', the Diameter is to Circumference as 1 to <br/><math>
\overline{\tfrac{16}5 - \tfrac4{239}}
- \tfrac13\overline{\tfrac{16}{5^3} - \tfrac4{239^3}}
+ \tfrac15\overline{\tfrac{16}{5^5} - \tfrac4{239^5}}
-,\, \&c. =</math><br/>{{math|1=3.14159, &''c.'' = ''π''}}. This ''Series'' (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. ''[[John Machin]]''; and by means thereof, ''[[Ludolph van Ceulen|Van Ceulen]]''{{'s}} Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.
}}
<p>Reimpresso em {{citar livro|último=Smith |primeiro=David Eugene |ano=1929 |título=A Source Book in Mathematics |publicado=McGraw–Hill |capítulo=William Jones: The First Use of {{mvar|π}} for the Circle Ratio |capítulourl=https://archive.org/details/sourcebookinmath1929smit/page/346/ |páginas=346–347 |lingua=en}}</p></ref>

A invenção do [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] logo levou à computação de centenas de dígitos de {{pi}}, o suficiente para todas as computações científicas práticas. No entanto, nos séculos XX e XXI, matemáticos e [[Ciência da computação|cientistas da computação]] buscaram novas abordagens que, combinadas com o aumento da potência computacional, estenderam a representação decimal de {{pi}} para muitos trilhões de dígitos.<ref>{{citar web|url=http://www.pi2e.ch/ |título=π<sup>e</sup> trillion digits of π |wayb=20161206063441|website=pi2e.ch |urlmorta=não |lingua=en}} <!-- – o exato número de dígitos aumenta periodicamente — não deve ser incluso neste artigo citando apenas uma [[WP:NPI#Fontes primárias e secundárias|fonte primária]]. --></ref><ref>{{citar web|último=Haruka Iwao |primeiro=Emma |autorlink=Emma Haruka Iwao |url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud |título=Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud |website=[[Google Cloud Platform]] |data=14 de março de 2019 |acessodata=12 de abril de 2019 |wayb=20191019023120|urlmorta=não |lingua=en}}</ref> Essas computações são motivados pelo desenvolvimento de algoritmos eficientes para calcular séries numéricas, bem como pela busca humana por quebrar recordes.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=17}}<ref>{{citar periódico|último1=Bailey |primeiro1=David H. |último2=Plouffe |primeiro2=Simon M. |último3=Borwein |primeiro3=Peter B. |último4=Borwein |primeiro4=Jonathan M. |título=The quest for PI |periódico=The Mathematical Intelligencer |volume=19 |número=1 |ano=1997 |páginas=50–56 |issn=0343-6993 |doi=10.1007/BF03024340 |citeseerx=10.1.1.138.7085 |s2cid=14318695 |lingua=en}}</ref> Os extensos cálculos envolvidos também foram usados para testar [[supercomputador]]es, bem como para testar o hardware de computadores de consumidores.

Por estar relacionado à circunferência, {{pi}} é encontrado em muitas fórmulas de [[trigonometria]] e [[geometria]], especialmente aquelas relacionadas a circunferências, elipses e esferas. A constante pode ser encontrada também em fórmulas de outros tópicos da ciência, como [[cosmologia]], [[fractais]], [[termodinâmica]], [[mecânica]] e [[eletromagnetismo]]. Também aparece em áreas pouco relacionadas à geometria, como [[teoria dos números]] e [[estatística]] e, na [[análise matemática]] moderna, pode ser definido sem qualquer referência à geometria. A ubiquidade de {{pi}} faz com que seja uma das constantes matemáticas mais amplamente conhecidas dentro e fora da ciência. Vários livros dedicados a {{pi}} foram publicados, e cálculos de recorde dos dígitos de {{pi}} frequentemente resultam em manchetes de notícias.

== Fundamentos ==
=== Nome ===
O símbolo utilizado pelos matemáticos para representar a razão entre o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro é a [[Π|letra grega {{pi}}]] minúscula, às vezes escrito como ''pi''.<ref name=firstPi/> Em português, {{pi}} é pronunciado como {{AFI-pt|pi|}}.{{Ref infopedia dic|pi|acessodata=2024-02-21}} Em usos matemáticos, a letra {{pi}} minúscula é diferenciada de sua forma maiúscula {{math|Π}}, utilizado para denotar o [[produtório]], análogo a como {{math|Σ}} é utilizado para denotar o [[somatório]].<ref>{{MathWorld|autor=Renze, John|autor2=[[Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W]]|titulo=Product|id=Product|acessodata=2024-08-12}}</ref><ref>{{citar web|título=Summation and Product Notation|url=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|acessodata=2020-08-16|publicado=Illinois State University Mathematics Department|wayb=20230829132018|urlmorta=sim|lingua=en}}</ref>

A escolha do símbolo {{pi}} é discutida na seção [[#Adoção do símbolo π|§&nbsp;Adoção do símbolo {{pi}}]].

=== Definição ===
[[Imagem:Pi eq C over d pt.svg|class=skin-invert-image|alt=Um diagrama de uma circunferência, com a largura nomeada como diâmetro, e o perímetro nomeado como comprimento da circunferência|thumb|right|O comprimento de uma circunferência é um pouco mais que três vezes o tamanho de seu diâmetro. A razão exata é chamada de {{pi}}]]
{{pi}} é comumente definido como a razão do [[comprimento da circunferência|comprimento]] {{mvar|C}} de uma [[circunferência]] pelo seu [[diâmetro]] {{mvar|d}}:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=8}}
<math display="block"> \pi = \frac{C}{d}</math>

A razão <math display="inline">\frac{C}{d}</math> é constante, independente do tamanho da circunferência. Por exemplo, se uma circunferência possui o dobro do diâmetro de outra circunferência, o seu comprimento também será o dobro, preservando a razão mencionada. Esta definição de {{pi}} implica o uso de [[Geometria euclidiana|geometria (euclidiana) plana]]; por mais que a noção de circunferência pode ser estendida para qualquer [[Geometria não euclidiana|geometria (não euclidiana) curva]], esses não satisfazem a fórmula <math display="inline">\pi=\frac{C}{d}</math>.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=8}}

Aqui, o comprimento de uma circunferência é o [[comprimento do arco]] ao redor do [[perímetro]] da circunferência. Esta quantidade pode ser formalmente definida independentemente da geometria utilizando [[limite]]s — um conceito do [[cálculo]].<ref>{{citar livro|primeiro=Tom |último=Apostol |autorlink=Tom M. Apostol |título=Calculus |volume=1 |local=Nova Iorque, NY, EUA |publicado=Wiley |edição=2.ª |ano=1967 |página=102 |lingua=en |citação=From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length}}</ref> Por exemplo, pode-se calcular diretamente o comprimento do arco da metade superior da circunferência unitária, dado em coordenadas cartesianas pela equação {{math|1=x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1}}, como a integral:{{sfn|Remmert|2012|p=129}}
<math display=block>\pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.</math>

Uma expressão como essa foi adotada como a definição para {{pi}} por [[Karl Weierstrass]], que a definiu diretamente de uma integral em 1841.{{TagNota|A integral precisa que Weierstrass utilizou era <math>\pi=\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2}.</math>{{sfn|Remmert|2012|p=148}}}}

Integração não é usualmente utilizada para a primeira definição analítica, porque, conforme Remmert explica, [[cálculo diferencial]] precede tipicamente o cálculo integral nos currículos das universidades, então é desejado uma definição para {{pi}} que não necessite utilizar integrais.{{sfn|Remmert|2012|p=129}} Uma dessas definições, de Richard Baltzer<ref>{{citar livro|primeiro=Richard |último=Baltzer |título=Die Elemente der Mathematik |língua=de |títulotrad=Os Elementos da Matemática |ano=1870 |página=195 |url=https://archive.org/details/dieelementederm02baltgoog |publicado=Hirzel |urlmorta=não |wayb=20160914204826}}</ref> e popularizado por [[Edmund Landau]],<ref>{{citar livro|primeiro=Edmund |último=Landau |autorlink=Edmund Landau |título=Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung |língua=de |publicado=Noordoff |ano=1934 |página=193}}</ref> é a seguinte: {{pi}} é o dobro do menor número positivo no qual seu [[cosseno]] é igual a 0.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=8}}{{sfn|Remmert|2012|p=129}}<ref name="Rudin 1976">{{citar livro|último=Rudin |primeiro=Walter |título=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|acessourl=registo |publicado=McGraw-Hill |ano=1976 |isbn=978-0-07-054235-8 |página=183 |lingua=en}}</ref> {{pi}} também é o menor número positivo no qual o [[seno]] é igual a zero, bem como a diferença entre duas [[Raiz (matemática)|raízes]] consecutivas das funções seno e cosseno. O cosseno e o seno podem ser definidos independentemente da geometria, como uma [[série de potências]]<ref>{{citar livro|último=Rudin |primeiro=Walter |título=Real and complex analysis |publicado=McGraw-Hill |ano=1986 |página=2 |lingua=en}}</ref> ou a solução de uma [[equação diferencial]].<ref name="Rudin 1976" />

Semelhantemente, {{pi}} pode ser definido utilizando as propriedades da [[função exponencial]] complexa {{math|exp ''z''}}, de uma variável [[Número complexo|complexa]] {{mvar|z}}. Como o cosseno, a função exponencial complexa pode ser definida de diversas maneiras diferentes. O conjunto de números complexos no qual {{math|exp ''z''}} é igual a um é então uma [[progressão aritmética]] (imaginária) da forma:
<math display=block>\{\dots,-2\pi i, 0, 2\pi i, 4\pi i,\dots\} = \{2\pi ki\mid k\in\mathbb Z\}</math>
e há um único número real positivo {{pi}} com essa propriedade.{{sfn|Remmert|2012|p=131}}<ref>{{citar livro|primeiro=Lars |último=Ahlfors |autorlink=Lars Ahlfors |título=Complex analysis |publicado=McGraw-Hill |ano=1966 |página=46 |lingua=en}}</ref>

Uma variação da mesma ideia, utilizando conceitos matemáticos sofisticados de [[Topologia (matemática)|topologia]] e [[álgebra]], é o seguinte teorema:<ref>{{citar livro|último=Bourbaki |primeiro=Nicolas |autorlink=Nicolas Bourbaki |título=Topologie generale |língua=fr |publicado=Springer |ano=1981|em=§VIII.2}}</ref> há um único [[isomorfismo]] [[Função contínua|contínuo]] ([[Salvo (matemática)|salvo]] por [[automorfismo]]) do [[Grupo (matemática)|grupo]] {{math|'''R'''/'''Z'''}} de números reais sob a adição [[Grupo quociente|módulo]] inteiro (o [[grupo circular]]), no grupo multiplicativo de números complexos de [[Função modular|módulo]] um. O número {{pi}} é definido como metade da magnitude da derivada deste homomorfismo.<ref name="Nicolas Bourbaki">{{citar livro|último=Bourbaki |primeiro=Nicolas |autorlink=Nicolas Bourbaki |título=Fonctions d'une variable réelle |língua=fr |publicado=Springer |ano=1979|em=§II.3}}</ref>

=== Irracionalidade e normalidade ===
{{pi}} é um [[número irracional]], o que significa que não pode ser escrito como uma [[Número racional|razão de dois números inteiros]]. Frações como {{math|{{sfrac|22|7}}}} e {{math|{{sfrac|355|113}}}} são usualmente utilizadas para aproximar {{pi}}, mas nenhuma fração comum (razão entre dois números inteiros) pode expressar seu exato valor.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=5}} Visto que {{pi}} é irracional, ele possui um número infinito de dígitos em sua [[representação decimal]], e não é uma [[dízima periódica]]. Há diversas [[Prova da irracionalidade de π|provas da irracionalidade de {{pi}}]]; elas geralmente requerem cálculo e utilizam a técnica de [[redução ao absurdo]]. O grau no qual {{pi}} pode ser aproximado por números racionais (chamado de medida de irracionalidade) não é precisamente conhecido; é estimado que seja maior que a medida de {{mvar|e}} ou {{math|ln 2}}, mas menor que a medida dos [[números de Liouville]].<ref>{{citar periódico|último1=Salikhov |primeiro1=V. |ano=2008 |título=On the Irrationality Measure of pi |periódico=Russian Mathematical Surveys |volume=53 |número=3 |páginas=570–572 |doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543 |bibcode=2008RuMaS..63..570S |s2cid=250798202 |issn=0036-0279 |língua=en}}</ref>

Os dígitos de {{pi}} não aparentam possuir nenhum tipo de padrão, passando em testes de aleatoriedade estatística, incluindo o teste de [[Número normal|normalidade]]; um número de comprimento infinito é dito normal quando em todas as sequências de dígitos (de comprimento qualquer) aparecem com a mesma frequência. A conjectura de que {{pi}} seja normal não foi provada nem refutada.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}

Desde a chegada dos computadores, inúmeros dígitos estiveram disponíveis para realizar análise estatística. [[Yasumasa Kanada]] realizou uma análise estatística detalhada nos dígitos decimais de {{pi}}, encontrando consistência na normalidade; por exemplo, a frequência dos dígitos de 0 a 9 foram submetidos a [[Testes de hipóteses#Teste de significância estatística|testes de significância estatística]], e nenhum padrão foi encontrado.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}} Qualquer sequência aleatória de dígitos contém subsequências de comprimento arbitrário que parecem não aleatórios, pelo [[teorema do macaco infinito]]. Portanto, porque a sequência de dígitos de {{pi}} passa em testes estatísticos de aleatoriedade, ele contém algumas sequências de dígitos que aparentam não ser aleatórias, como a [[seis noves em pi|sequência de seis noves consecutivos]] que começa na 762.ª casa decimal da representação decimal de {{pi}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=3}} Isto também é conhecido como o "ponto de Feynman" no "folclore matemático", em homenagem a [[Richard Feynman]], porém não há nenhuma ligação conhecida com Feynman.<ref>{{citar web |url=https://granitegeek.concordmonitor.com/2021/01/15/wikipedia-turns-15-on-friday-citation-needed/ |titulo=Wikipedia turns 20 (citation needed) |acessodata=2024-08-13 |website=Granite Geek |data=2021-01-15 |wayb=20231001052853 |lingua=en}}</ref>

=== Transcendência ===
{{VT|Teorema de Lindemann–Weierstrass}}
[[Imagem:Squaring the Circle J.svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Um diagrama de um quadrado e um círculo, ambos com área idêntica; o comprimento do lado do quadrado é a raiz quadrada de pi|Porque {{pi}} é um [[número transcendente]], a [[quadratura do círculo]] não é possível em um finito número de passos utilizando [[Construções com régua e compasso|régua e compasso]].]]
Em adição de ser irracional, {{pi}} também é um [[número transcendente]], o que significa que não é a [[Resolução de equações|solução]] de nenhuma [[equação polinomial]] não constante com coeficientes [[número racional|racionais]], como <math display="inline">\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x=0</math>.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=6}}{{TagNota|O polinômio exibido é os primeiros termos da expansão em [[série de Taylor]] da função [[seno]].}}

A transcendência de {{pi}} tem duas importantes consequências: a primeira é que {{pi}} não pode ser expresso utilizando uma combinação finita de raízes quadradas ou [[Radiciação|raízes {{mvar|n}}-ésimas]] (como <math>\sqrt[3]{31}</math> ou <math>\sqrt{10}</math>). A segunda é que, como não é possível {{ill|en|Número construtível|Constructible number|construir}} números transcendentes com [[Construções com régua e compasso|régua e compasso]], a [[quadratura do círculo]] é impossível. Noutras palavras, é impossível construir, utilizando apenas régua e compasso, um quadrado cuja área é exatamente igual à área de um dado círculo.{{sfn|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}} A quadratura do círculo era um dos importantes problemas da [[Antiguidade Clássica]].{{sfn|Eymard|Lafon|2004|p=129}} Matemáticos amadores da modernidade às vezes tentam quadrar o círculo e reivindicam sucesso — mesmo sendo de fato algo matematicamente impossível.<ref>{{citar livro|último=Beckmann |primeiro=Peter |título=History of Pi |publicado=St. Martin's Press |ano=1989 |anooriginal=1974 |isbn=978-0-88029-418-8 |página=37 |língua=en}}</ref><ref>{{citar livro |ultimo=Andrews |primeiro=Peter J. |capítulo=A New Realm of Numbers |editor-sobrenome1=Schlager |editor-nome1=Neil |editor-sobrenome2=Lauer |editor-nome2=Josh |título=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery |local=Farmington Hills, Mi, EUA|editora=Gale Group |ano=2001 |isbn=978-0-7876-3933-4|acessourl=registro |url=https://archive.org/details/scienceitstimesu0000unse|acessodata=19 de dezembro de 2019|wayb=20191213112426|urlmorta=não|página=223 |língua=en}}</ref>

=== Frações contínuas ===
Como é irracional, {{pi}} não pode ser representado como uma fração comum. Mas todo número, incluindo {{pi}}, pode ser representado como uma série infinita de frações uma dentro da outra, chamada de [[fração contínua]]:
<math display=block>
\pi = 3+\textstyle \cfrac{1}{7+\textstyle \cfrac{1}{15+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{292+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}
</math>

Truncando a fração contínua em qualquer ponto produz uma aproximação racional para {{pi}}; as quatro primeiro são {{math|3}}, {{math|{{sfrac|22|7}}}}, {{math|{{sfrac|333|106}}}}, e {{math|{{sfrac|355|113}}}}. Estes números estão entre as aproximações históricas mais conhecidas e mais amplamente utilizadas da constante. Cada aproximação gerada desta forma se aproxima cada vez mais de {{pi}}; ou seja, cada fração é mais próxima de {{pi}} que uma de denominador igual ou menor.{{sfn|Eymard|Lafon|2004|p=78}} Visto que {{pi}} é transcendente, por definição não é [[Número algébrico|algébrico]] e não pode ser um [[irracional quadrático]]. Portanto, não há uma fração contínua periódica para {{pi}}. Por mais que frações contínuas simples (com apenas 1 nos numeradores, mostrada acima) não demonstram nenhum padrão óbvio,{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=33}}<ref name=mollin>{{citar periódico|último=Mollin|primeiro=R. A.|número=3|periódico=Nieuw Archief voor Wiskunde|mr=1743850|páginas=383–405|título=Continued fraction gems|volume=17|ano=1999|língua=en}}</ref> diversas frações contínuas generalizadas apresentam, como, por exemplo:<ref>{{citar periódico|título=An Elegant Continued Fraction for {{pi}}|primeiro=L.J.|último=Lange|periódico=The American Mathematical Monthly|volume=106|número=5|data=maio de 1999 |páginas=456–458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152|língua=en}}</ref>
<math display=block>
\begin{align}
\pi &= 3+ \cfrac
  {1^2}{6+ \cfrac
    {3^2}{6+ \cfrac
      {5^2}{6+ \cfrac
        {7^2}{6+ \ddots}}}}
= \cfrac
  {4}{1+ \cfrac
    {1^2}{2+ \cfrac
      {3^2}{2+ \cfrac
        {5^2}{2+ \ddots}}}}
= \cfrac
  {4}{1+ \cfrac
    {1^2}{3+ \cfrac
      {2^2}{5+ \cfrac
        {3^2}{7+ \ddots}}}}
\end{align}
</math>

A fração do meio dessas se deve ao matemático de meados do século XVII [[William Brouncker]], veja {{Slink|William Brouncker|Fórmula de Brouncker|sempágina=sim}}.

=== Valores aproximados e dígitos ===
Algumas [[Aproximações de π|aproximações de {{Pi}}]] incluem:
*'''Inteiros''': 3
*'''Frações''': Frações aproximadas incluem (em ordem crescente de acurácia) {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|355|113}}, {{sfrac|52163|16604}}, {{sfrac|103993|33102}}, {{sfrac|104348|33215}}, e {{sfrac|245850922|78256779}}.{{sfn|Eymard|Lafon|2004|p=78}} (Lista são termos selecionados de {{OEIS2C|id=A063674}} e {{OEIS2C|id=A063673}}.)
*'''Dígitos''': Os primeiros 50 dígitos decimais são {{gaps|3,14159|26535|89793|23846|26433|83279|50288|41971|69399|37510...}}{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=240}} (ver {{OEIS2C|id=A000796}})

'''Dígitos noutras bases'''
*Os primeiros 48 dígitos [[Sistema de numeração binário|binários]] ([[Base (aritmética)|base]] 2, chamado de [[bit]]s) são {{gaps|11,0010|0100|0011|1111|0110|1010|1000|1000|1000|0101|1010|0011...}} (ver {{OEIS2C|id=A004601}})
* Os primeiros 36 dígitos em [[Sistema de numeração ternário|ternário]] (base 3) são {{gaps|10,010|211|012|222|010|211|002|111|110|221|222|220...}} (ver {{OEIS2C|id=A004602}})
* Os primeiros 20 dígitos em [[hexadecimal]] (base 16) são {{gaps|3,243F|6A88|85A3|08D3|1319...}}{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=242}} (ver {{OEIS2C|id=A062964}})
* Os primeiros 5 dígitos em [[sexagesimal]] (base 60) são 3;8,29,44,0,47<ref>{{citar periódico|título=Abu-r-Raihan al-Biruni, 973–1048 |último=Kennedy |primeiro=E.S. |periódico=Journal for the History of Astronomy |volume=9 |página=65 |bibcode=1978JHA.....9...65K |doi=10.1177/002182867800900106 |ano=1978|s2cid=126383231 |língua=en}} [[Ptolemeu]] utilizava uma aproximação de três dígitos sexagesimais, e [[Alcaxi]] expandiu isso para nove dígitos; ver {{citar livro|último=Aaboe |primeiro=Asger |autorlink=Asger Aaboe |ano=1964 |título=Episodes from the Early History of Mathematics |series=New Mathematical Library |volume=13 |publicado=Random House |local=Nova Iorque |página=125 |url=https://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA125 |urlmorta=não|wayb=20161129205051|isbn=978-0-88385-613-0 |língua=en}}</ref> (ver {{OEIS2C|id=A060707}})

=== Números complexos e identidade de Euler ===
[[Imagem:Euler's formula.svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Um diagrama de um círculo unitário centrado na origem no plano complexo, incluindo um raio do centro do círculo até sua borda, com catetos do triângulo rotulados com as funções seno e cosseno.|A associação entre números imaginários e potências do número {{mvar|e}} e  [[Ponto (matemática)|pontos]] no [[círculo unitário]] centrado na [[Origem de coordenadas|origem]] no [[plano complexo]] dado pela [[fórmula de Euler]].]]
Qualquer [[número complexo]] {{mvar|z}} pode ser expresso utilizando um par de [[números reais]]. No [[Coordenadas polares#Números complexos|sistema de coordenadas polares]], um número ([[Raio (geometria)|raio]] ou {{mvar|r}}) é utilizado para representar a distância de {{mvar|z}} da [[Origem de coordenadas|origem]] do [[plano complexo]], e o outro (ângulo ou {{mvar|φ}}) é a [[Movimento de rotação|rotação]] do eixo dos positivos reais:{{sfn|Abramson|2014|loc=[https://openstax.org/books/precalculus/pages/8-5-polar-form-of-complex-numbers Section 8.5: Polar form of complex numbers]}}
<math display=block>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sen\varphi),</math>
onde {{mvar|i}} é a [[unidade imaginária]] que satisfaz {{math|1=''i''<sup>2</sup> = &minus;1}}. A frequente aparição de {{pi}} na [[análise complexa]] pode ser relacionada ao comportamento da [[função exponencial]] de uma variável complexa, descrita pela [[fórmula de Euler]]
<math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi,</math>
onde [[e (constante matemática)|{{mvar|e}}]] é a base do [[logaritmo natural]]. Esta fórmula estabelece uma correspondência entre as potências imaginárias de {{mvar|e}} e pontos no [[círculo unitário]] centrado na origem do plano complexo. Quando {{math|1=''φ'' = ''&pi;''}}, o resultado é a [[identidade de Euler]], considerado uma [[beleza da matemática]] por mostrar uma profunda conexão entre cinco importantes constantes matemáticas:{{sfn|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=592}}<ref>{{citar livro|último=Maor|primeiro=Eli|título=E: The Story of a Number|local=Princeton, NJ, EUA|publicado=Princeton University Press|ano=2009|página=160|isbn=978-0-691-14134-3|língua=en}}</ref>
<math display=block>e^{i \pi} + 1 = 0.</math>

Para cada natural {{mvar|n}}, existem {{mvar|n}} diferentes números complexos {{mvar|z}} que satisfaçam {{math|1=''z<sup>n</sup>'' = 1}}, sendo chamadas de [[Raiz da unidade|raízes {{mvar|n}}-ésimas da unidade]],{{sfn|Andrews|Askey|Roy|1999|p=14}} dadas pela fórmula:<math display=block>e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).</math>

== História ==
{{AP|Aproximações de π{{!}}Aproximações de {{pi}}}}
{{VT|Cronologia do cálculo de pi|l1=Cronologia do cálculo de {{pi}}}}
=== Antiguidade ===
As aproximações mais conhecidas de {{pi}} datadas do [[primeiro milênio a.C.]] tinha uma precisão de duas casas decimais; isto foi aperfeiçoado pelos [[Matemática chinesa|matemáticos chineses]], em particular na metade do primeiro milênio, a com precisão de sete casas decimais. Após isso, nenhum progresso adicional foi feito até o final do período medieval.

As primeiras aproximações de {{pi}} foram encontradas na [[Babilônia]] e Egito, ambas com um porcento de diferença do valor verdadeiro. Na Babilônia, uma [[Tábua de argila]] datada de 1900–1600&nbsp;a.C. tem uma afirmação geométrica que, por implicação, trata {{pi}} como {{math|1={{sfrac|25|8}} = 3,125}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=167}} No Egito, o [[Papiro de Rhind]], datado de aproximadamente 1650&nbsp;a.C., mas copiada de um documento datado de 1850&nbsp;a.C., tinha uma fórmula para a área do círculo que considerava {{pi}} como <math display="inline">\left(\frac{16}{9}\right)^2\approx3{,}16</math>.<ref name=mollin/>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=167}} Alguns [[Piramidologia|piramidologistas]] teorizaram que a [[Grande Pirâmide de Gizé]] possui proporções relacionadas com {{pi}}, mas essa teoria não é amplamente aceita pelos estudiosos.<ref>{{citar livro|páginas=67–77, 165–166 |título=The Shape of the Great Pyramid |primeiro=Roger |último=Herz-Fischler |local=Waterloo, ON, Canadá|publicado=Wilfrid Laurier University Press |ano=2000 |isbn=978-0-88920-324-2 |url=https://books.google.com/books?id=066T3YLuhA0C&pg=67 |acessodata=5 de junho de 2013 |urlmorta=não|wayb=20161129205154|língua=en}}</ref> Nos [[Shulba Sutras]] dos [[matemática indiana|matemáticos indianos]], datando uma tradição oral do primeiro ou segundo milênio a.C., são fornecidas aproximações interpretadas de várias maneiras como aproximadamente 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 ou 3,125.<ref>{{citar livro|página=[https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA27 27]|título=Mathematics in India|primeiro=Kim|último=Plofker|data=2009|local=Princeton, NJ, EUA|publicado=Princeton University Press|isbn=978-0-691-12067-6|língua=en}}</ref>

=== Era da aproximação por polígonos ===
[[Imagem:Archimedes pi.svg|upright=1.59|thumb|alt=diagrama com três circunferências, a primeira com dois pentagonos, a segunda com hexagonos, e a última com octógonos, sendo que um dos polígonos é circunscrito e outro inscrito.|{{pi}} pode ser estimado computado o perímetro de polígonos circunscrito e inscrito.|left]]
[[Imagem:Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|upright=1.1|alt=uma pintura de um homem estudando|left|thumb|[[Arquimedes]] desenvolveu a abordagem poligonal para aproximar {{pi}}.]]
O primeiro registro de um algoritmo para calcular rigorosamente o valor de {{pi}} foi uma abordagem geométrica usando polígonos, desenvolvido por volta de 250&nbsp;a.C. pelo matemático grego [[Arquimedes]], implementando o [[método da exaustão]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=170}} Este algoritmo poligonal dominou por mais de mil anos, e, como resultado, {{pi}} às vezes é referido como a constante de Arquimedes.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=175, 205}} Arquimedes computou as cotas superior e inferior de {{pi}} ao desenhar um hexágono dentro e fora de uma circunferência, e dobrando sucessivamente o número de lados até alcançar um polígono regular de 96 lados. Ao calcular os perímetros desses polígonos, ele provou que {{math|{{sfrac|223|71}} < ''&pi;'' < {{sfrac|22|7}}}} (isto é, {{math|3,1408 < ''&pi;'' < 3,1429}}).<ref name=life-of-pi>{{citar livro|último=Borwein|primeiro=Jonathan M.|autorlink=Jonathan Borwein|editor-sobrenome1=Sidoli|editor-nome1=Nathan|editor-sobrenome2=Van Brummelen|editor-nome2=Glen|publicação=The life of {{pi}}: from Archimedes to ENIAC and beyond|doi=10.1007/978-3-642-36736-6_24|local=Heidelberg|mr=3203895|páginas=531–561|publicado=Springer|título=From Alexandria, through Baghdad: Surveys and studies in the ancient Greek and medieval Islamic mathematical sciences in honor of J. L. Berggren|ano=2014|isbn=978-3-642-36735-9 |lingua=en}}</ref> A cota superior de Arquimedes de {{math|{{sfrac|22|7}}}} pode ter causado a crença popular generalizada de que {{pi}} é igual a {{math|{{sfrac|22|7}}}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=171}} Por volta de 150&nbsp;d.C., o cientista greco-romano [[Ptolomeu]], em ''[[Almagesto]]'', deu o valor de 3,1416 a {{pi}}, que ele pode ter obtido de Arquimedes ou de [[Apolônio de Perga]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=176}}{{sfn|Boyer|Merzbach|1991|p=168}} Matemáticos alcançaram 39 dígitos de {{pi}} usando algoritmos poligonais em 1630, um recorde foi batido em 1699, quando foi utilizado uma série infinita para alcançar 71 dígitos de {{pi}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=15–16, 175, 184–186, 205}}

Na [[China antiga]], valores para {{pi}} incluíam 3,1547 (em torno de 1&nbsp;d.C.), <math>\sqrt{10}</math> (100&nbsp;d.C., aproximadamente 3,1623), e {{math|{{sfrac|142|45}}}} (século III, aproximadamente 3,1556).{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}} Por volta de 265&nbsp;d.C., o matemático [[Liu Hui]] do [[Cao Wei|Reino de Wei]] criou um [[Algoritmo de Liu Hui para π|algoritmo iterativo baseado em polígono]] e usou-o com um polígono de 3&nbsp;072 lados para obter o valor de 3,1416 para {{pi}}.{{sfn|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=177}} Posteriormente Liu inventou um método mais rápido para calcular {{pi}} e obteve um valor de 3,14 com um polígono de 96 lados, aproveitando que as diferenças de área de polígonos sucessivos formam uma série geométrica com fator 4.{{sfn|Boyer|Merzbach|1991|p=202}} O matemático chinês [[Zu Chongzhi]], por volta de 480&nbsp;d.C, calculou que <math>3{,}1415926<\pi<3{,}1415927</math> e sugeriu as aproximações <math display="inline">\pi \approx \frac{355}{113} = 3{,}14159292035...</math> e <math display="inline">\pi \approx \frac{22}{7} = 3{,}142857142857...</math>, os quais ele denominou ''[[Milü]]'' ("razão próxima") e ''Yuelü'' ("razão aproximada"), respectivamente, usando o algoritmo de Liu Hui aplicando num polígono de 12&nbsp;288 lados. Com um valor correto para seus sete primeiros dígitos decimais, esse valor permaneceu como a aproximação mais precisa de {{pi}} disponível pelos próximos 800 anos.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=178}}

O astrônomo indiano [[Ariabata]] usou um valor de 3,1416 em ''[[Aryabhatiya]]'' (499&nbsp;d.C.).{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=179}} [[Fibonacci]] em {{Circa|1220}} computou 3,1418 usando um método poligonal, de forma independente de Arquimedes.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=180}} O autor italiano [[Dante]] empregou aparentemente o valor de <math display="inline">3+\frac{\sqrt{2}}{10} \approx 3{,}14142</math>.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=180}}

O astrônomo persa [[Alcaxi]] produziu nove dígitos [[Sistema de numeração sexagesimal|sexagesimais]], aproximadamente o equivalente a 16 dígitos decimais, em 1424, usando um polígono com {{nowrap|3 &times; 2<sup>28</sup>}} lados,<ref>{{citar periódico|primeiro1=Mohammad K. |último1=Azarian |título=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary |periódico=Missouri Journal of Mathematical Sciences |volume=22 |número=2 |ano=2010 |páginas=64–85 |doi=10.35834/mjms/1312233136|doi-access=free |lingua=en}}</ref><ref>{{citar web|último1=O'Connor |primeiro1=John J. |último2=Robertson |primeiro2=Edmund F. |ano=1999 |título=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi |obra=[[MacTutor History of Mathematics archive]] |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html |acessodata=11 de agosto de 2012 |wayb=20110412192025|urlmorta=sim |lingua=en}}</ref> que permaneceu como o recorde mundial por cerca de 180 anos.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=182}} O matemático francês [[François Viète]] em 1579 chegou a 9 dígitos com um polígono de {{nowrap|3 &times; 2<sup>17</sup>}} lados.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=182}} O matemático flandres [[Adriaan van Roomen]] chegou a 15 casas decimais em 1593.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=182}} Em 1596, o matemático holandês [[Ludolph van Ceulen]] atingiu 20 dígitos, um recorde que mais tarde aumentou para 35 dígitos (como resultado, {{pi}} foi chamado de "número de Ludolph" na Alemanha até o início do século XX).{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}} O cientista holandês [[Willebrord Snellius]] atingiu 34 dígitos em 1621,{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=183}} e o astrônomo [[Christoph Grienberger]] chegou a 38 dígitos usando 10<sup>40</sup> lados.<ref>{{citar livro|primeiro=Christophorus |último=Grienbergerus |autorlink=Christoph Grienberger |língua=la |ano=1630 |título=Elementa Trigonometrica |url=http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf |wayb=20140201234124|urlmorta=sim}} A avaliação dele foi que 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < {{pi}} < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> [[Christiaan Huygens]] conseguiu chegar a 10 casas decimais em 1654 usando um método ligeiramente diferente equivalente à {{ill|en|extrapolação de Richardson|Richardson extrapolation}}.<ref>{{citar livro|último=Brezinski|primeiro=Claude|publicação=Some pioneers of extrapolation methods|data=2009|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789812836267_0001|título=The Birth of Numerical Analysis|páginas=1–22|local=Singapura|publicado=World Scientific|doi=10.1142/9789812836267_0001|isbn=978-981-283-625-0|editor-nome1=Adhemar|editor-sobrenome1=Bultheel|editor-nome2=Ronald|editor-sobrenome2=Cools|lingua=en}}</ref><ref>{{citar periódico|último=Yoder|primeiro=Joella G.|data=1996|título=Following in the footsteps of geometry: The mathematical world of Christiaan Huygens|periódico=De Zeventiende Eeuw|volume=12|páginas=83–93|url=https://www.dbnl.org/tekst/_zev001199601_01/_zev001199601_01_0009.php|via=Digitale Bibliotheek voor de Nederlandse Letteren|lingua=en}}</ref>

=== Séries infinitas ===
[[Imagem:comparison_pi_infinite_series.svg|thumb|upright=1.4|class=skin-invert-image|alt=Quatro diagramas compatando a convergência das séries infinitas de Viète, Wallis, Madhava-Gregory-Leibniz, Madhava, Newton e Nilakanta.|Comparação da convergência de diversas séries infinitas de {{pi}} históricas. {{mvar|S<sub>n</sub>}} é a aproximação após {{mvar|n}} termos. Cada subgráfico subsequente amplia a área horizontalmente em 10 vezes]]
O cálculo de {{pi}} foi revolucionado com o desenvolvimento de técnicas de [[séries infinitas]] nos séculos XVI e XVII. Uma série infinita é a soma dos termos de uma [[sequência]] infinita. Séries infinitas possibilitou que matemáticos computassem {{pi}} com muito mais precisão do que [[Arquimedes]] e outros que utilizaram técnicas geométricas.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}} Apesar de séries infinitas terem sido mais exploradas para {{pi}} por matemáticos europeus, como [[James Gregory]] e [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], a abordagem também apareceu na [[Escola de Querala de Astronomia e Matemática|escola de Querala]] em algum momento do século XIV ou XV.<ref name="Roypp"/>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}} Em torno de 1500&nbsp;d.C., uma descrição escrita de uma série infinita que poderia ser utilizada para computar {{pi}} foi deixada em verso [[sânscrito]] em ''Tantrasamgraha'' por [[Nilakantha Somayaji]].<ref name="Roypp">{{citar periódico |último=Roy |primeiro=Ranjan |ano=1990 |título=The Discovery of the Series Formula for {{mvar|π}} by Leibniz, Gregory and Nilakantha |periódico=Mathematics Magazine |volume=63 |número=5 |páginas=291–306 |url=https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf |doi=10.1080/0025570X.1990.11977541 |lingua=en |wayb=20240526091213 |urlmorta=sim}}</ref> As séries foram apresentadas sem provas, mas elas foram apresentadas numa obra posterior, ''Yuktibhāṣā'', em torno de 1530&nbsp;d.C. Diversas séries infinitas são descritas, incluindo séries para seno (que Nilakantha atribui a [[Madhava de Sangamagrama]]), cosseno e arco tangente. Madhava usou uma série infinita para estimar 11 dígitos de {{pi}} por volta de 1400.<ref>{{citar livro|último=Joseph |primeiro=George Gheverghese |título=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |local=Princeton, NJ, EUA |publicado=Princeton University Press |ano=1991 |isbn=978-0-691-13526-7 |url=https://books.google.com/books?id=c-xT0KNJp0cC&pg=PA264 |página=264 |lingua=en}}<!-- Esta é a ISBN terceira edição de 2011 --></ref>

Em 1593, [[François Viète]] publicou o que é conhecido agora como a [[fórmula de Viète]], um {{ill|en|produto infinito|Infinite product}} (em vez de uma [[soma infinita]], que é mais comumente utilizada para calcular {{pi}}):{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=187}}<ref>{{citar OEIS|A060294|Decimal expansion of Buffon's constant 2/Pi}}</ref><ref>{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=7_BCAAAAcAAJ|título=Variorum de rebus mathematicis responsorum|volume=VIII|primeiro=Franciscus|último=Vieta|ano=1593|lingua=la}}</ref>
<math display=block> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math>

Em 1655, [[John Wallis]] publicou o que é conhecido agora como o [[produto de Wallis]], também um produto infinito:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=187}}
<math display=block>
\frac{\pi}{2} = \left(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\right) \cdot \left(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\right) \cdots
</math>

[[Imagem:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|thumb|upright|alt=Um retrato formal de um homem de cabelos compridos.|[[Isaac Newton]]
usou [[séries infinitas]] para computar 15 dígitos de {{pi}}, escrevendo posteriormente "tenho vergonha de lhe dizer até quantas casas decimais levei esses cálculos".<ref name="Newton" />]]
Na década de 1660, o cientista inglês [[Isaac Newton]] e o matemático [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] descobriram o [[cálculo]], que levou o desenvolvimento de diversas séries infinitas para aproximar {{pi}}. O próprio Newton usou uma série de arco seno para computar uma aproximação de 15 dígitos de {{pi}} em 1665 ou 1666, escrevendo "tenho vergonha de lhe dizer até quantas casas decimais levei esses cálculos, não tendo nada para fazer no momento."<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton citado por Arndt.</ref>

Em 1671, [[James Gregory]] e, de forma independente, Leibniz em 1673, descobriram a expansão das [[séries de Taylor]] para [[arco tangente]]:<ref name=Roypp/><ref>{{citar periódico|último=Horvath |primeiro=Miklos |título=On the Leibnizian quadrature of the circle. |periódico=Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) |volume=4 |ano=1983 |páginas=75–83 |url=http://ac.inf.elte.hu/Vol_004_1983/075.pdf |lingua=en}}</ref>{{sfn|Eymard|Lafon|2004|pp=53–54}}
<math display=block>
\operatorname{arctg} z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots
</math>

Esta série, às vezes chamada de [[Fórmula de Leibniz para π|série de Gregory–Leibniz]], igual a {{math|{{sfrac|''&pi;''|4}}}} quando avaliada com {{math|1=''z'' = 1}}.{{sfn|Eymard|Lafon|2004|pp=53–54}} No entanto, [[Fórmula de Leibniz para π#Ineficiência|ela converge de forma inconvenientemente lenta]] (isto é, se aproxima da resposta bem gradualmente), levando aproximadamente dez vezes mais termos para calcular cada dígito adicional.<ref>{{citar periódico|último=Cooker |primeiro=M.J. |ano=2011 |título=Fast formulas for slowly convergent alternating series |periódico=Mathematical Gazette |volume=95 |número=533 |páginas=218–226 |doi=10.1017/S0025557200002928 |s2cid=123392772 |url=https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/F7C083868DEB95FE049CD44163367592/S0025557200002928a.pdf/div-class-title-fast-formulas-for-slowly-convergent-alternating-series-div.pdf |acessodata=23 de fevereiro de 2023 |wayb=20190504091131|urlmorta=não |lingua=en}}</ref>

Em 1699, o matemático inglês [[Abraham Sharp]] usou a série de Gregory–Leibniz para <math display="inline">z=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> para computar 71 dígitos de {{pi}}, quebrando o recorde anterior de 39 dígitos, que foi estabelecido com um algoritmo poligonal.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=189}}

Em 1706 [[John Machin]] usou a série de Gregory–Leibniz para gerar um algoritmo que converge muito mais rapidamente:<ref name=jones/><ref name=tweddle>{{citar periódico|último=Tweddle |primeiro=Ian |ano=1991 |título=John Machin and Robert Simson on Inverse-tangent Series for {{mvar|π}} |periódico= Archive for History of Exact Sciences |volume=42 |número=1 |páginas=1–14 |doi= 10.1007/BF00384331 |jstor=41133896 |s2cid=121087222 |lingua=en}}</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=192–193}}
<math display=block> \frac{\pi}{4} = 4 \operatorname{arctg} \frac{1}{5} - \operatorname{arctg} \frac{1}{239}.</math>

Machin alcançou 100 dígitos de {{pi}} com esta fórmula.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=72–74}} Outros matemáticos criaram derivações da [[fórmula de Machin]], que foram utilizadas para estabelecerem diversos recordes sucessivos para calcular dígitos de {{pi}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=72–74}}<ref>{{citar periódico |último=Lehmer |primeiro=D. H. |autorlink=Derrick Henry Lehmer |ano=1938 |título=On Arccotangent Relations for {{mvar|π}} |periódico=American Mathematical Monthly |volume=45 |número=10 |páginas=657–664 Published by: Mathematical Association of America |jstor=2302434 |doi=10.1080/00029890.1938.11990873 |url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/amm_supplements/Monthly_Reference_7.pdf |lingua=en |wayb=20240224193146 |urlmorta=sim}}</ref>

Isaac Newton alcançou a convergência da série de Gregory–Leibniz em 1684 (numa obra não publicada; outras pessoas descobriram o resultado de forma independente):<ref>{{citar livro|último=Roy |primeiro=Ranjan |ano=2021 |anooriginal=1.ª ed. 2011 |título=Series and Products in the Development of Mathematics |edição=2.ª |volume=1 |local=Cambridge, Reino Unido |publicado=Cambridge University Press |páginas=215–216, 219–220 |lingua=en}}
<p>{{citar livro|último=Newton |primeiro=Isaac |autorlink=Isaac Newton |ano=1971 |editor-sobrenome=Whiteside |editor-nome=Derek Thomas |título=The Mathematical Papers of Isaac Newton |volume=4, 1674–1684 |local=Cambridge, Reino Unido |publicado=Cambridge University Press |páginas=526–653 |lingua=en}}</p></ref>
<math display=block>
\operatorname{arctg} x
= \frac{x}{1 + x^2} + \frac23\frac{x^3}{(1 + x^2)^2}
+ \frac{2\cdot 4}{3 \cdot 5}\frac{x^5}{(1 + x^2)^3} + \cdots
</math>

[[Leonhard Euler]] popularizou esta série em seu livro de cálculo diferencial de 1755, e posteriormente usou com uma derivação da fórmula de Machin, incluindo <math display=inline>\tfrac\pi4 = 5\arctan\tfrac17 + 2\arctan\tfrac{3}{79}</math>, o que lhe permitiu calcular 20 dígitos de {{pi}} em uma hora.<ref>{{citar web|último=Sandifer |primeiro=Ed |ano=2009 |título=Estimating π |website=How Euler Did It |url=http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2009-02.pdf |pontofinal=. |língua=en}} Reimpresso em {{citar livro|último=Sandifer |primeiro=Ed |numero-autores=0 |ano=2014 |título=How Euler Did Even More |páginas=109–118 |publicado=Mathematical Association of America |língua=en}}<p>{{citar livro|último=Euler |primeiro=Leonhard |autorlink=Leonhard Euler |ano=1755 |título=[[Institutiones calculi differentialis|Institutiones Calculi Differentialis]] |capítulo=§2.2.30 |página=318 |publicado=Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae |língua=la |capítulourl=https://archive.org/details/institutiones-calculi-differentialis-cum-eius-vsu-in-analysi-finitorum-ac-doctri/page/318 |id=[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/212/ E 212]}}</p>
<p>{{citar periódico|último=Euler |primeiro=Leonhard |autorlink=Leonhard Euler |ano=1798 |anooriginal=escrito em 1779 |título=Investigatio quarundam serierum, quae ad rationem peripheriae circuli ad diametrum vero proxime definiendam maxime sunt accommodatae |periódico=Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae |volume=11 |páginas=133–149, 167–168 |url=https://archive.org/details/novaactaacademia11petr/page/133 |id=[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/705/ E 705] |língua=la}}</p>
<p>{{citar periódico|último=Chien-Lih |primeiro=Hwang |ano=2004 |título=88.38 Some Observations on the Method of Arctangents for the Calculation of {{mvar|π}} |periódico=Mathematical Gazette |volume=88 |número=512 |páginas=270–278 |doi=10.1017/S0025557200175060 |s2cid=123532808 |língua=en}}</p>
<p>{{citar periódico|último=Chien-Lih |primeiro=Hwang |ano=2005 |título=89.67 An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function |periódico=Mathematical Gazette |volume=89 |número=516 |páginas=469–470 |doi=10.1017/S0025557200178404 |s2cid=123395287 |língua=en}}</p>
</ref>

As derivações da fórmula de Machin mantiveram como o método conhecido para calcular {{pi}} até a era dos computadores, sendo utilizadas para registrar novos recordes por 250 anos, alcançando até uma aproximação de 620 dígitos em 1946 por Daniel Ferguson — a melhor aproximação atingida sem o auxílio de um dispositivo de cálculo.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=192–196, 205}}

Em 1853, o matemático britânico [[William Shanks]] calculou 607 dígitos de {{pi}}, mas cometeu um erro na 528.ª casa decimal, fazendo que todos os dígitos subsequentes fossem calculados incorretamente. Apesar disso, em 1873 ele continuou calculando mais 100 dígitos, totalizando 707 dígitos, mas devido ao erro, estes dígitos também estavam incorretos.<ref name="hayes-2014">{{citar revista|último=Hayes |primeiro=Brian |url=https://www.americanscientist.org/article/pencil-paper-and-pi |título=Pencil, Paper, and Pi |volume=102 |número=5 |página=342 |revista=[[American Scientist]] |data=setembro de 2014 |acessodata=22 de janeiro de 2022 |doi=10.1511/2014.110.342 |língua=en}}</ref>

==== Razão de convergência ====
Algumas séries infinitas para {{pi}} [[Série convergente|convergem]] mais rápido que outras. Dado à escolha entre duas séries infinitas para {{pi}}, os matemáticos geralmente escolherão aquela que converge mais rapidamente, visto que uma convergência mais rápida reduz a quantidade de cálculos necessários para calcular {{pi}} para uma dada precisão.<ref name="Aconverge">{{citar periódico|último1=Borwein |primeiro1=J.M. |último2=Borwein |primeiro2=P.B. |título=Ramanujan and Pi |ano=1988 |periódico=Scientific American |volume=256 |número=2 |páginas=112–117 |bibcode=1988SciAm.258b.112B |doi=10.1038/scientificamerican0288-112 |lingua=en}}</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}} Um exemplo de série infinita simples para calcular {{pi}} é a [[Fórmula de Leibniz para π|série de Gregory–Leibniz]]:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=69–72}}
<math display=block>
\pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots
</math>

Como os termos desta série infinita são adicionados à soma, o total vai gradualmente se aproximando a {{pi}}, e — com uma quantidade suficiente de números de termos — pode chegar tão perto de {{pi}} quanto desejado. No entanto, ela converge lentamente — após 500&nbsp;mil termos, ela produz apenas cinco dígitos decimais de {{pi}} corretos.<ref>{{citar periódico|último1=Borwein |primeiro1=J.M. |último2=Borwein |primeiro2=P.B. |último3=Dilcher |primeiro3=K. |ano=1989 |título=Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions |periódico=American Mathematical Monthly |volume=96 |número=8 |páginas=681–687 |doi=10.2307/2324715 |jstor=2324715|hdl=1959.13/1043679 |hdl-access=free |lingua=en}}</ref>

Uma série (publicada por Nilakantha no século XV) que converge mais rápido do que a série de Gregory–Leibniz é:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|loc = Formula 16.10, p. 223}}<ref>{{citar livro|último=Wells |primeiro=David |página=35 |url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/35/mode/2up |título=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers |edição=revisada |local=Londres, Inglaterra |publicado=Penguin |ano=1997 |isbn=978-0-14-026149-3 |língua=en}}</ref>
<math display=block>
\pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots
</math>

A seguinte tabela compara as taxas de convergência dessas duas séries:

{|class="wikitable" style="text-align: center; margin: auto;"
|-
! Séries infinitas para {{pi}} !! Após 1.º termo !! Após 2.º termo !! Após 3.º termo !! Após 4.º termo !! Após 5.º termo !! Converge para:
|-
| <math>\pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} + \cdots</math>
||4,0000||2,6666 ... ||3,4666 ... ||2,8952 ... ||3,3396 ... ||rowspan=2| {{pi}} = 3,1415 ...
|-
| <math>\pi = {{3}} + \frac{{4}}{2\times3\times4} - \frac{{4}}{4\times5\times6} + \frac{{4}}{6\times7\times8} - \cdots </math>
||3,0000||3,1666 ... ||3,1333 ... ||3,1452 ... ||3,1396 ...
|}

Após cinco termos, a soma da série de Gregory-Leibniz está dentro de 0,2 do valor correto de {{pi}}, enquanto a soma da série de Nilakantha está dentro de 0,002 do valor correto. A série de Nilakantha converge mais rápido e é mais útil para calcular dígitos de {{pi}}. Séries que convergem ainda mais rapidamente incluem a [[Fórmula de Machin|série de Machin]] e a [[Algoritmo de Chudnovsky|série de Chudnovsky]], sendo que a segunda produz 14 dígitos decimais por termo.<ref name="Aconverge" />{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}}

=== Irracionalidade e transcendência ===
{{VT|Prova da irracionalidade de π|l1=Prova da irracionalidade de {{pi}}|Teorema de Lindemann–Weierstrass#Transcendência de e e π|l2=Prova da transcendência de {{pi}}}}
Nem todos os avanços relacionados a {{pi}} tinham como objetivo aumentar a precisão das aproximações. Quando Euler resolveu o [[problema de Basileia]] em 1735, encontrando o valor exato da soma dos inversos dos quadrados, estabeleceu uma conexão entre {{pi}} e os números primos que posteriormente contribuiu para o desenvolvimento e estudo da [[função zeta de Riemann]]:{{sfn|Posamentier|Lehmann|2004|p=284}}
<math display=block> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>

O cientista suíço [[Johann Heinrich Lambert]] provou em 1768 que {{pi}} é [[Número irracional|irracional]], o que significa que não é igual a nenhuma razão entre dois inteiros. A [[Prova da irracionalidade de π#Prova de Lambert|prova de Lambert]] explorou uma representação em fração contínua da função tangente.<ref>Lambert, Johann, «Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques», reimpresso em {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> O matemático francês [[Adrien-Marie Legendre]] provou em 1794 que {{math|''&pi;''<sup>2</sup>}} também é irracional. Em 1882, o matemático alemão [[Ferdinand von Lindemann]] provou que {{pi}} é [[Número transcendente|transcendente]],<ref>{{citar periódico|último=Lindemann |primeiro=F. |autorlink=Ferdinand Lindemann |ano=1882 |título=Über die Ludolph'sche Zahl |periódico=Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin | volume=2 |páginas=679–682 | url=https://archive.org/details/sitzungsberichte1882deutsch/page/679 |lingua=de}}</ref> confirmando a conjectura feita por Legendre e Euler.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=196}}<ref name="Hardy&Wright">{{citar livro|ultimo1=Hardy |primeiro1=G. H. |ultimo2=Wright|primeiro2=E. M. |ano=1960 |anooriginal=1938 |titulo=An Introduction to the Theory of Numbers |edição=4.ª |local=Oxford, Reino Unido |editora=Oxford University Press |página=177 §&nbsp;11.13–14 |língua=en}}</ref> Posteriormente, Hilbert, Hurwitz e outros autores modificaram e simplificaram as provas.<ref name="Hardy&Wright"/>

=== Adoção do símbolo {{pi}} ===
{{Imagem múltipla
| imagem1       = William Jones, the Mathematician.jpg
| legenda1      = O primeiro uso conhecido da letra grega {{pi}} para representar a razão do comprimento duma circunferência e seu diâmetro foi pelo matemático galês [[William Jones (matemático)|William Jones]] em 1706.
| imagem2       = Leonhard Euler.jpg
| legenda2      = [[Leonhard Euler]] popularizou o uso da letra grega {{pi}} nas obras que publicou em 1736 e 1748.
| largura_total = 300
| alinhar       = esquerda
}}

O primeiro registro do uso do símbolo {{pi}} na geometria da circunferência é em ''Clavis Mathematicae'' (1648) de [[William Oughtred|Oughtred]],<ref>{{citar livro|url=https://archive.org/details/bub_gb_ddMxgr27tNkC |título=Clavis Mathematicæ |último=Oughtred |primeiro=William |data=1648 |publicado=Thomas Harper |local=London |página=[https://archive.org/details/bub_gb_ddMxgr27tNkC/page/n220 69] |língua=la}}<br />(Tradução em inglês: {{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=S50yAQAAMAAJ&pg=PA99 |título=Key of the Mathematics |último=Oughtred |primeiro=William |data=1694 |publicado=J. Salusbury |língua=en}})</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}} em que as [[letras gregas]] {{pi}} e {{mvar|δ}} eram combinadas na fração {{tmath|\tfrac \pi \delta}} para denotar as razões entre [[semiperímetro]] e semidiâmetro e entre perímetro e diâmetro, ou seja, o que atualmente é denotado como {{pi}}.<ref name=firstPi>{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=KTgPAAAAQAAJ&pg=PP3 |título=Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario |último=Oughtred |primeiro=William |data=1652 |publicado=Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson |língua=la |citação={{math|''δ''.''π''}} :: semidiameter. semiperipheria}}</ref><ref name="Cajori-2007">{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC&pg=PA9 |título=A History of Mathematical Notations: Vol. II |último=Cajori |primeiro=Florian |data=2007 |local=Nova Iorque, NY, EUA |publicado=Cosimo, Inc. |isbn=978-1-60206-714-1 |páginas=8–13 |língua=en |citação=the ratio of the length of a circle to its diameter was represented in the fractional form by the use of two letters [...] J.A. Segner [...] in 1767, he represented {{math|3.14159...}} by {{math|''δ'':''π''}}, as did Oughtred more than a century earlier}}</ref><ref name="Smith-1958">{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA312 |título=History of Mathematics |último=Smith |primeiro=David E. |data=1958 |local=Nova Iorque, NY, EUA |publicado=Courier Corporation |isbn=978-0-486-20430-7 |página=312 |língua=en}}</ref><ref>{{citar periódico|último=Archibald|primeiro=R.C.|data=1921|título=Historical Notes on the Relation {{math|1=''e''<sup>−(''π''/2)</sup> = ''i''<sup>''i''</sup>}}|jstor=2972388|periódico=The American Mathematical Monthly|volume=28|número=3|páginas=116–121|doi=10.2307/2972388|lingua=en|citação=It is noticeable that these letters are ''never'' used separately, that is, {{pi}} is ''not'' used for 'Semiperipheria'}}</ref> (Até então, matemáticos utilizavam às vezes letras como {{mvar|c}} ou {{mvar|p}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}}) Semelhantemente, [[Isaac Barrow|Barrow]] utilizou a mesma notação,<ref>{{citar livro|capítulourl=https://archive.org/stream/mathematicalwor00whewgoog#page/n405/mode/1up |título=The mathematical works of Isaac Barrow |último=Barrow |primeiro=Isaac |data=1860 |local=Cambridge, Reino Unido |publicado=Cambridge University press |outros=Harvard University |editor-sobrenome=Whewell|editor-nome=William |páginas=381 |língua=la |capítulo=Lecture XXIV}}</ref> enquanto [[David Gregory|Gregory]] utilizou {{nowrap|"<math display=inline>\frac \pi \rho</math>"}} para representar {{math|6,28...}}<ref name="Smith-1958" /><ref>{{citar periódico|último=Gregorius |primeiro=David |data=1695 |título=Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae |jstor=102382 |periódico=Philosophical Transactions |língua=la |volume=19 |número=231 |páginas=637–652 |doi=10.1098/rstl.1695.0114 |bibcode=1695RSPT...19..637G|doi-access=free|url=https://archive.org/download/crossref-pre-1909-scholarly-works/10.1098%252Frstl.1684.0084.zip/10.1098%252Frstl.1695.0114.pdf}}</ref>

O primeiro uso da letra grega {{pi}} sozinha para representar a razão do comprimento de uma circunferência ao seu diâmetro foi pelo matemático galês [[William Jones (matemático)|William Jones]] em sua obra de 1706 ''{{lang|la|Synopsis palmariorum matheseos}}''.<ref name=jones/>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=165|ps=: Uma cópia do texto de Jones está em {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=108–109}}.}} A letra grega aparece na frase {{nowrap|"{{space|hair}}{{sfrac|1|2}} Periphery ({{pi}})"}} na página 243, calculado para uma circunferência de raio um. No entanto, Jones escreve que suas equações para {{pi}} são "do verdadeiramente engenhoso Sr. [[John Machin]]", levando à especulação de que Machin pode ter empregado a letra grega antes de Jones.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}} A notação de Jones não foi imediatamente adotada pelos outros matemáticos, com a fração ainda sendo utilizada até 1767.<ref name="Cajori-2007" /><ref>{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=NmYVAAAAQAAJ&pg=PA282 |título=Cursus Mathematicus |último=Segner |primeiro=Joannes Andreas |data=1756 |publicado=Halae Magdeburgicae |página=282 |língua=la|acessodata=15 de outubro de 2017|wayb=20171015150340|urlmorta=não}}</ref>

[[Euler]] começou a usar uma única letra para a constante a partir do ensaio de 1727 ''{{lang|la|Tentamen explicationis phaenomenorum aeris}}'', apesar de utilizar {{math|1=''π'' = 6,28...}}, a razão do perímetro pelo raio, neste e em algumas escritas posteriores.<ref>{{citar periódico|último=Euler |primeiro=Leonhard |data=1727 |título=Tentamen explicationis phaenomenorum aeris|url=http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E007.pdf#page=5 |periódico=Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana |língua=la |volume=2 |página=351 |id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E007.html E007] |citação=Sumatur pro ratione radii ad peripheriem, {{math|I : π}} |acessodata=15 de outubro de 2017|wayb=20160401072718|urlmorta=não}} [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e007tr.pdf#page=3 English translation by Ian Bruce] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160610172054/http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e007tr.pdf#page=3 |data=10 de junho de 2016 }}: "{{mvar|π}} is taken for the ratio of the radius to the periphery [note that in this work, Euler's {{pi}} is double our {{pi}}.]"</ref><ref>{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=3C1iHFBXVEcC&pg=PA139 |título=Lettres inédites d'Euler à d'Alembert |último=Euler |primeiro=Leonhard |series=Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche |ano=1747 |editor-sobrenome=Henry|editor-nome=Charles |volume=19 |data-publicacao=1886 |página=139 |língua=fr |id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E858.html E858] |citação=Car, soit π la circonference d'un cercle, dout le rayon est {{math|{{=}} 1}}}}<br />(Tradução em inglês: {{citar periódico|último=Cajori |primeiro=Florian |data=1913 |título=History of the Exponential and Logarithmic Concepts |jstor=2973441 |periódico=The American Mathematical Monthly |volume=20 |número=3 |páginas=75–84 |doi=10.2307/2973441 |citação=Letting {{pi}} be the circumference (!) of a circle of unit radius}})</ref>   Euler usou {{math|1=''&pi;'' = 3,14...}} pela primeira vez em sua obra de 1736 ''{{lang|la|Mechanica}}'',<ref>{{citar livro|último=Euler|primeiro=Leonhard|título=Mechanica sive motus scientia analytice exposita. (cum tabulis)|data=1736|publicado=Academiae scientiarum Petropoli|volume=1|página=113|língua=la|capítulo=Ch. 3 Prop. 34 Cor. 1|id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E015.html E015]|citação=Denotet {{math|1 : ''π''}} rationem diametri ad peripheriam|capítulourl=https://books.google.com/books?id=jgdTAAAAcAAJ&pg=PA113}}<br />(Tradução em inglês: {{citar livro|capítulourl=http://www.17centurymaths.com/contents/euler/mechvol1/ch3a.pdf#page=26 |tradutor-ultimo=Bruce |tradutor-primeiro=Ian |capítulo=Ch. 3 Prop. 34 Cor. 1 |título=Mechanica |arquivourl=https://web.archive.org/web/20160610183753/http://www.17centurymaths.com/contents/euler/mechvol1/ch3a.pdf#page=26 |arquivodata=10 de junho de 2016 |citação=Let {{math|1 : ''π''}} denote the ratio of the diameter to the circumference}})</ref>, e continuou em sua obra amplamente lida de 1748 ''{{lang|la|[[Introductio in analysin infinitorum]]}}'' (ele escreveu: "por uma questão de brevidade, escreveremos esse número como {{pi}}; assim, {{pi}} é igual à metade do comprimento de uma circunferência de raio&nbsp;{{math|1}}").<ref>{{citar livro|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587/f155 |título=Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio |último=Euler |primeiro=Leonhard (1707–1783) |data=1922 |publicado=B.G. Teubneri |local=Lipsae |páginas=133–134 |língua=la |id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E101.html E101]|acessodata=15 de outubro de 2017|wayb=20171016022758|urlmorta=não}}</ref> Como Euler se correspondia fortemente com outros matemáticos na Europa, o uso da letra grega se espalhou rapidamente, e a prática foi universalmente adotada posteriormente no [[mundo ocidental]],{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}} embora a definição ainda variasse entre {{math|3,14...}} e {{math|6,28...}} até 1761.<ref>{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=P-hEAAAAcAAJ&pg=PA374 |título=Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm |último=Segner |primeiro=Johann Andreas von |data=1761 |publicado=Renger |página=374 |língua=la |citação=Si autem {{pi}} notet peripheriam circuli, cuius diameter eſt {{math|2}}}}</ref>

== Busca moderna por mais dígitos ==
=== Era da computação e algoritmos iterativos ===
{{Caixa de citação|citação=
O [[Algoritmo de Gauss-Legendre|algoritmo iterativo de Gauss–Legendre]]:<br />Inicie
<math display=block>\textstyle a_0 = 1, \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2}, \quad t_0 = \frac{1}{4}, \quad p_0 = 1.</math>
Itere
<math display=block>\textstyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}, \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},</math>
<math display=block>\textstyle t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2, \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n.</math>
Então uma estimativa para {{pi}} é dada por
<math display=block>\textstyle \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.</math>
|tamanho=90%|posição-citação=esquerda}}
O desenvolvimento de computadores na metade do século XX revolucionou novamente a busca por dígitos de {{pi}}. Os matemáticos [[John Wrench]] e Levi Smith alcançaram 1&nbsp;120 dígitos em 1949 usando uma calculadora de mesa.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=205}} Usando uma série infinita de [[arco tangente]] (arctg), uma equipe liderada por George Reitwiesner e [[John von Neumann]] atingiram 2&nbsp;037 dígitos no mesmo ano com um cálculo que levou 70 horas de tempo de computação no computador [[ENIAC]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=197}}<ref>{{citar periódico|último=Reitwiesner |primeiro=George |título=An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places |periódico=Mathematical Tables and Other Aids to Computation |ano=1950 |volume=4 |número=29 |páginas=11–15 |doi=10.2307/2002695 |jstor=2002695 |lingua=en}}</ref> O recorde, sempre baseado em uma série de arco tangente, foi quebrado repetidamente (3&nbsp;089 dígitos em 1955,<ref>{{citar periódico|primeiro1=J. C.|último1=Nicholson|primeiro2=J. |último2=Jeenel|periódico=Math. Tabl. Aids. Comp.|volume=9|número=52|ano=1955|doi=10.2307/2002052|jstor=2002052|título=Some comments on a NORC Computation of π|páginas=162–164|língua=en}}</ref> 7&nbsp;480 dígitos em 1957; 10&nbsp;mil dígitos em 1958; 100&nbsp;mil dígitos em 1961) até que um milhão de dígitos fossem atingidos em 1973.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=197}}

Dois desenvolvimentos adicionais por volta de 1980 mais uma vez aceleraram a habilidade de computar {{pi}}. A primeira foi a descoberta de novos [[método iterativo|métodos iterativos]] para computar {{pi}}, que eram muito mais rápidos que séries infinitas; a segunda é a invenção de [[Algoritmos de multiplicação|algoritmos de multiplicação rápidos]] que poderiam rapidamente calcular grandes números.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17}} Tais algoritmos são particularmente importantes nas computações modernas de {{pi}}, pois a maioria do tempo dos computadores são voltados à multiplicação.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=131}} Esses algoritmos incluem o de [[algoritmo de Karatsuba|Karatsuba]], multiplicação de Toom–Cook, e métodos baseados na [[transformada rápida de Fourier]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=132, 140}}

Os algoritmos iterativos foram publicados de forma independente em 1975–1976 pelo físico [[Eugene Salamin]] e o cientista [[Richard Peirce Brent|Richard Brent]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=87}} Isso evita a dependência de séries infinitas. Um algoritmo iterativo repete um cálculo específico, cada iteração usando as saídas das etapas anteriores como entradas, e produz um resultado em cada etapa que converge para o valor desejado. Esta abordagem foi na realidade inventada mais de 160 anos antes, por [[Carl Friedrich Gauss]], no qual agora é denominado o método da [[média aritmética-geométrica]] ou [[algoritmo de Gauss-Legendre]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=87}} Conforme foi modificado por Salamin e Brent, também é conhecido como algoritmo Brent-Salamin.

Após 1980 os algoritmos iterativos foram amplamente utilizados, porque eram mais rápidos que os algoritmos por séries infinitas: enquanto uma série infinita tipicamente aumentam o número de dígitos corretos aditivamente em termos sucessivos, os algoritmos iterativos geralmente ''multiplicam'' o número de dígitos corretos em cada etapa. Por exemplo, o algoritmo Brent–Salamin dobra o número de dígitos a cada iteração. Em 1984, os irmãos [[Jonathan Borwein|John]] e [[Peter Borwein]] produziram um algoritmo iterativo que quadruplicava o número de dígitos a cada passo; e em 1987 um que aumentava o número de dígitos cinco vezes em cada passo.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=111 (5 vezes); pp. 113–114 (4 vezes)}}. Para detalhes dos algoritmos, ver {{citar livro|último1=Borwein |primeiro1=Jonathan M. |último2=Borwein |primeiro2=Peter B. |título=Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |local=Nova Iorque, NY, EUA |publicado=Wiley |ano=1987 |isbn=978-0-471-31515-5 |língua=en}}</ref> Métodos iterativos foram utilizados pelo matemático japonês [[Yasumasa Kanada]] para registrar diversos recordes de dígitos de {{pi}} computados entre 1995 e 2002.<ref name="Background" /> A rápida convergência vem com um preço a ser pago: os algoritmos iterativos requerem significantemente mais memória que séries infinitas.<ref name="Background">{{citar web|último=Bailey |primeiro=David H. |url=http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf |título=Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation |data=16 de maio de 2003 |acessodata=12 de abril de 2012|urlmorta=não|wayb=20120415102439|lingua=en}}</ref>

=== Motivos para computar {{pi}} ===
[[Imagem:Record pi approximations.svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Diagrama mostrando a quantidade de dígitos de pi conforme o passar dos anos. Há um rápido crescimento após a década de 1950.|Conforme matemáticos descobriam novos algoritmos, e computadores se tornaram disponíveis, o número de casas decimais conhecidas de {{pi}} aumentou drasticamente. A escala vertical é [[Escala logarítmica|logarítmica]].|esquerda|upright=1.5]]
Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo {{pi}}, apenas alguns dígitos fornecem precisão suficiente. Conforme Jörg Arndt e Christoph Haenel, 39 dígitos são os suficientes para realizar a maioria dos cálculos [[cosmológico]]s, pois esta é a precisão necessária para calcular o volume do [[universo observável]] com a precisão de um átomo. Contabilizando dígitos adicionais necessários para compensar [[erro de arredondamento]] computacional, Arndt conclui que umas poucas centenas de dígitos de {{pi}} seriam suficientes para qualquer aplicação científica.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=17}} Embora o especialista da NASA Marc Rayman esclareça que, para as aplicações nos cálculos aeroespaciais da agência norte-americana, sejam usados 15 dígitos nas casas decimais, o que dá uma precisão estimada na circunferência atingida pela sonda [[Voyager I]] (48&nbsp;bilhões de quilômetros arredondados, em 2022) com margem de erro na largura de um dedo mínimo.<ref>{{citar web |url=https://www.jpl.nasa.gov/edu/news/2016/3/16/how-many-decimals-of-pi-do-we-really-need/ |título=How Many Decimals of Pi Do We Really Need? |autor=NASA/EDU |data=24/10/2022 |website=jpl.nasa.gov |publicado=Jet Propulsion Laboratory (California Institute of Tecnology) |acessodata=13/07/2024 |língua=en |wayb=20240629183652 |urlmorta=não}}</ref> Apesar disso, pessoas trabalharam vigorosamente para computar milhares e milhões de dígitos. Este esforço pode ser parcialmente atribuído à compulsão humana de quebrar recordes e tais conquistas com {{pi}} costumam ser manchetes em todo o mundo.<ref name="msnbc.msn.com">{{citar jornal|título=John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi |primeiro=Matt |último=Schudel |jornal=The Washington Post |data=25 de março de 2009 |página=B5 |lingua=en}}</ref><ref name="independent.co.uk">{{citar jornal|título=The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi? |url=https://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html |jornal=The Independent |data=8 de janeiro de 2010 |acessodata=14 de abril de 2012 |local=London |primeiro=Steve |último=Connor|urlmorta=não|wayb=20120402220803 |lingua=en}}</ref> Também há benefícios práticos, como testar [[supercomputador]]es, testar algoritmos de análise numérica (incluindo [[algoritmos de multiplicação]] de alta precisão); e na própria matemática pura, prover dados para analisar a aleatoriedade dos dígitos de {{pi}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=18}}

=== Séries de rápida convergência ===
[[Imagem:Srinivasa Ramanujan - OPC - 2 (cleaned).jpg|thumb|upright|alt=Retrato fotográfico de um homem| [[Srinivāsa Rāmānujan]], trabalhando isoladamente na Índia, produziu diversas séries inovadoras para computar {{pi}}.]]
Calculadoras modernas de {{pi}} não usam exclusivamente algoritmos iterativos. Novas séries infinitas foram descobertas nas décadas de 1980 e 1990 que eram tão rápidas quanto algoritmos iterativos, porém mais simples e utilizando menos memória.<ref name="Background" /> Os algoritmos iterativos rápidos foram antecipados em 1914, quando o matemático indiano [[Srinivāsa Rāmānujan]] publicou dezenas de novas fórmulas inovadoras para {{pi}}, notável pela sua elegância, profundidade matemática e rápida convergência.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=103–104}} Uma de suas fórmulas, baseada nas equações modulares, é
<math display=block>
\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{k!^4\left(396^{4k}\right)}.
</math>

Essa série converge muito mais rápido que a maioria das séries de arco tangente, incluindo a fórmula de Machin.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=104}} [[Bill Gosper]] foi o primeiro a usá-la para avançar no cálculo de {{pi}}, conseguindo um recorde de 17&nbsp;milhões de dígitos em 1985.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=104, 206}} A fórmula de Ramanujan antecipou os algoritmos modernos desenvolvidos pelos irmãos Borwein ([[Jonathan Borwein|Jonathan]] e [[Peter Borwein|Peter]]) e os {{ill|en|irmãos Chudnovsky|Chudnovsky brothers}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=110–111}} A [[Algoritmo de Chudnovsky|fórmula de Chudnovsky]] desenvolvida em 1987 é
<math display=block>
\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{10005}}{4270934400} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!\,k!^3 (-640320)^{3k}}.
</math>

Ela produz aproximadamente 14 dígitos de {{pi}} por termo{{sfn|Eymard|Lafon|2004|p=254}} e tem sido usada para estabelecer diversos recordes de cálculo de {{pi}}, incluindo o primeiro a bater um&nbsp;bilhão (10<sup>9</sup>) de dígitos em 1989 pelos irmãos Chudnovsky, 10&nbsp;trilhões (10<sup>13</sup>) de dígitos em 2011 por Alexander Yee e Shigeru Kondo,<ref name="NW">{{citar livro|último1=Bailey|primeiro1=David H.|autorlink1=David Harold Bailey|último2=Borwein|primeiro2=Jonathan M.|autorlink2=Jonathan Borwein|contribuição=15.2 Computational records|contribution-url=https://books.google.com/books?id=K26zDAAAQBAJ&pg=PA469|doi=10.1007/978-3-319-32377-0|página=469|local=Suiça|publicado=Springer International Publishing|título=Pi: The Next Generation, A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation|ano=2016|isbn=978-3-319-32375-6|língua=en}}</ref> e 100&nbsp;trilhões de dígitos por [[Emma Haruka Iwao]] em 2022.<ref>{{citar revista|url=https://thenewstack.io/how-googles-emma-haruka-iwao-helped-set-a-new-record-for-pi/ |título=How Google's Emma Haruka Iwao Helped Set a New Record for Pi |data=11 de junho de 2022|revista=The New Stack|primeiro=David|último=Cassel|língua=en}}</ref> Para fórmulas similares, veja [[séries de Ramanujan–Sato]].

Em 2006, o matemático [[Simon Plouffe]] usou o algoritmo PSLQ de relação de inteiros{{TagNota|PSLQ significa {{lang|en|''Partial Sum of Least Squares''}} (soma parcial dos mínimos quadrados)}} para gerar diversas novas fórmulas para {{pi}}, conforme a seguinte predefinição:
<math display=block>
\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right),
</math>

onde {{mvar|q}} é [[constante de Gelfond|{{mvar|e<sup>{{pi}}</sup>}}]] (constante de Gelfond), {{mvar|k}} é um [[número ímpar]] e {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} são certos números racionais que Plouffle computou.<ref>{{citar web|primeiro=Simon |último=Plouffe |autorlink=Simon Plouffe |título=Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2) |data=abril de 2006 |url=<!--http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf-->http://plouffe.fr/simon/inspired2.pdf |acessodata=10 de abril de 2009|urlmorta=não|wayb=20120114101641|língua=en}}</ref>

=== Métodos de Monte Carlo ===
{{Imagem múltipla
| direção  = horizontal
| imagem1  = Buffon needle.svg
| legenda1 = [[Agulha de Buffon]]. As agulhas {{mvar|a}} e {{mvar|b}} são largadas aleatoriamente.
| alt1     = Diagrama mostrando agulhas de comprimento ''ℓ'' espalhados num plano com listras de largura ''t''.
| imagem2  = Pi 30K.gif
| legenda2 = Pontos aleatórios colocados num quadrado com uma circunferência inscrita dentro.
| alt2     = Milhares de pontos cobrindo aleatoriamente um quadrado e um quarto de uma circunferência inscrita no quadrado.
| alinhar  = esquerda
| largura1 = 115
| largura2 = 110
}}
[[Método de Monte Carlo|Métodos de Monte Carlo]], que avaliam os resultados de vários ensaios aleatórios, podem ser utilizados para criar uma aproximação de {{pi}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=39}} A [[Agulha de Buffon]] é uma dessas técnicas: se uma agulha de comprimento {{mvar|ℓ}} é largada {{mvar|n}} vezes numa superfície na qual possui retas paralelas desenhadas separadas por {{mvar|t}} unidades de comprimento, e se {{mvar|x}} é a quantidade de vezes que a agulha fica sobre a retas ({{math|''x'' > 0}}), então pode-se aproximar {{pi}} com base nas contagens:<ref name="bn">{{citar periódico|último=Ramaley |primeiro=J.F. |título=Buffon's Needle Problem |jstor=2317945 |periódico=The American Mathematical Monthly |volume=76 |número=8 |data=outubro de 1969 |páginas=916–918 |doi=10.2307/2317945 |língua=en}}</ref>
<math display=block>\pi \approx \frac{2n\ell}{xt}.</math>

Outro método de Monte Carlo para calcular {{pi}} é desenhar uma circunferência inscrita num quadrado, e aleatoriamente colocar pontos no quadrado. A razão de pontos na região interna da circunferência é aproximadamente igual a {{math|π/4}}.{{sfnm|1a1=Arndt|1a2=Haenel|1y=2006|1pp=39–40|2a1=Posamentier|2a2=Lehmann|2y=2004|2p=105}}

[[Imagem:Five random walks.png|thumb|class=skin-invert-image|alt=Gráfico de cinco passeios em que cada passo ou aumenta, ou subtrai a contagem em uma unidade de forma aleatoria.|Cinco passeios aleatórios com 200 passo. A média da amostra de {{math|{{abs|''W''<sub>200</sub>}}}} é {{math|''μ'' {{=}} 56/5}}, e {{math|2(200)''μ''<sup>−2</sup> ≈ 3.19}} está com uma diferença de {{math|0.05}} de&nbsp;{{pi}}.|left]]
Utilizando probabilidade, também é possível calcular {{pi}} começando com um [[passeio aleatório]], gerado por uma sequência de cara ou coroa (justo): [[variável aleatória|variáveis aleatórias]] independente {{math|''X<sub>k</sub>''}} tais que {{math|''X<sub>k</sub>'' ∈ {{mset|−1,1}}}} com mesmas probabilidades. O passeio aleatório associado é
<math display=block>W_n = \sum_{k=1}^n X_k</math>
tal que, para cada {{mvar|n}}, {{mvar|W<sub>n</sub>}} é extraído de uma [[distribuição binomial]] deslocada e escalonada. Conforme {{mvar|n}} varia, {{mvar|W<sub>n</sub>}} define um [[processo estocástico]] (discreto). Então {{pi}} pode ser calculado por<ref>{{citar periódico|último=Grünbaum |primeiro=B. |autorlink=Branko Grünbaum |título=Projection Constants |periódico=Transactions of the American Mathematical Society |volume=95 |número=3 |páginas=451–465 |ano=1960 |doi=10.1090/s0002-9947-1960-0114110-9 |doi-access=free |língua=en}}</ref>
<math display=block>\pi = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{E[|W_n|]^2}.</math>

Este método de Monte Carlo é independente de qualquer relação com circunferências, a sendo uma consequência do [[teorema central do limite]], discutido em {{slink||Integral Gaussiana}}.

Estes métodos de Monte Carlo para aproximar {{pi}} são bastante lentos comparado aos outros métodos, e não fornecem nenhuma informação sobre o número exato de dígitos obtidos. Portanto, eles nunca são utilizados para aproximar {{pi}} quando velocidade ou precisão é desejado.{{sfnm|1a1=Arndt|1a2=Haenel|1y=2006|1pp=43|2a1=Posamentier|2a2=Lehmann|2y=2004|2pp=105–108}}

=== Algoritmos de extração de dígitos ===
Dois algoritmos foram descobertos em 1995 que abriram novos caminhos de pesquisa do {{pi}}. Eles são chamados de {{ill|en|algoritmo de extração de dígitos|Spigot algorithm|algoritmos de extração de dígitos}}, também conhecido como ''{{lang|en|spigot algorithms}}'' ({{lit|algoritmo de torneira}}), que assim como a água gotejando de uma [[torneira]], eles produzem dígitos individuais de {{pi}} que não são reutilizados após serem calculados.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=77–84}}<ref name="Gibbons">{{citar periódico|último=Gibbons|primeiro=Jeremy|doi=10.2307/27641917|número=4|periódico=The American Mathematical Monthly|jstor=27641917|mr=2211758|páginas=318–328|título=Unbounded spigot algorithms for the digits of pi|url=https://www.cs.ox.ac.uk/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf|volume=113|ano=2006|língua=en}}</ref>  Esse método é um contraste em comparação às séries infinitas ou algoritmos iterativos, que retêm e utiliza todos os dígitos intermediários até o resultado final ser produzido.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=77–84}}

Os matemáticos Stan Wagon e Stanley Rabinowitz produziram um algoritmo de extração de dígitos simples em 1995.<ref name="Gibbons" />{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=77}}<ref>{{citar periódico|primeiro1=Stanley |último1=Rabinowitz |último2=Wagon |primeiro2=Stan |data=março de 1995 |título=A spigot algorithm for the digits of Pi |periódico=American Mathematical Monthly |volume=102 |número=3 |páginas=195–203 |doi=10.2307/2975006 |jstor=2975006|língua=en}}</ref> A sua velocidade é comparável aos algoritmos de arco tangente, mas não é tão rápido quanto algoritmos iterativos.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=77}}

Outro algoritmo é a [[fórmula BBP]], descoberta em 1995 por Simon Plouffe:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=117, 126–128}}<ref name="bbpf">{{citar periódico|último1=Bailey |primeiro1=David H. |autorlink=David Harold Bailey |último2=Borwein |primeiro2=Peter B. |autorlink2=Peter Borwein |último3=Plouffe |primeiro3=Simon |autorlink3=Simon Plouffe |data=abril de 1997 |título=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants |periódico=Mathematics of Computation |volume=66 |número=218 |páginas=903–913 |url=<!--http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf-->http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf |doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9 |urlmorta=não|wayb=20120722015837|citeseerx=10.1.1.55.3762 |bibcode=1997MaCom..66..903B |s2cid=6109631 |língua=en}}</ref>
<math display=block> \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right).</math>

Esta fórmula, diferente das anteriores, consegue produzir qualquer dígito [[hexadecimal]] de {{pi}} sem ter que calcular os dígitos anteriores.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=117, 126–128}} Dígitos binários individuais podem ser extraídos de dígitos hexadecimais individuais e dígitos [[Sistema octal|octais]] podem ser extraídos de um ou dois dígitos hexadecimais. Uma aplicação importante dos algoritmos de extração de dígitos é validar novas declarações recordes de computação de {{pi}}: após um novo recorde ser reivindicado, o resultado decimal é convertido em hexadecimal e, em seguida, um algoritmo de extração de dígitos é usado para calcular vários dígitos hexadecimais selecionados aleatoriamente perto do final; se corresponderem, isso fornece uma medida de confiança de que todo o cálculo está correto.<ref name="NW" />

Entre 1998 e 2000, o projeto de [[processamento distribuído]] Pihex utilizou a [[fórmula de Bellard]] (uma modificação da fórmula BBP) para computar o quadrilionésimo (10<sup>15</sup>.º) [[bit]] de {{pi}}, que acabou sendo zero.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=20}}<br />Fórmula de Bellards em: {{citar web|url=http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html |título=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi |primeiro=Fabrice |último=Bellard |autorlink=Fabrice Bellard |acessodata=27 de outubro de 2007 |wayb=20070912084453|língua=en}}</ref> Em setembro de 2010, um empregado do [[Yahoo!]] utilizou o [[Hadoop]] da empresa em mil computadores da empresa durante um período de 23 dias para computar 256&nbsp;bits de {{pi}} no segundo quadrilionésimo (2×10<sup>15</sup>.º) bit, que também acabou sendo zero.<ref>{{citar jornal|título=Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit |último=Palmer |primeiro=Jason |jornal=BBC News |data=16 de setembro de 2010 |url=https://www.bbc.co.uk/news/technology-11313194 |acessodata=26 de março de 2011 |urlmorta=não|wayb=20110317170643|língua=en}}</ref>

Em 2022, Plouffle encontrou um algoritmo de base 10 para calcular dígitos de {{pi}}.<ref>{{citar arXiv|último=Plouffe |primeiro=Simon |ano=2022 |eprint=2201.12601 |título=A formula for the {{mvar|n}}th decimal digit or binary of {{mvar|π}} and powers of {{mvar|π}} |class=math.NT |língua=en}}</ref>

== Papel e caracterizações na matemática ==
Pelo fato de {{pi}} estar intimamente relacionado à circunferência, é encontrado em [[Lista de fórmulas envolvendo π|diversas fórmulas]] geométricas e trigonométricas, principalmente aquelas relacionadas a circunferências, esferas ou elipses. Outras áreas das ciências, como estatística, física, [[análise de Fourier]] e teoria dos números também incluem {{pi}} em algumas fórmulas importantes.

=== Geometria e trigonometria ===
[[Imagem:Circle Area.svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Um diagrama de um círculo com um quadrado cobrindo o o quadrante superior direito.|right|A área do círculo é igual a {{pi}} vezes a área sombreada. A área do [[Círculo unitário]] é {{pi}}.]]
{{pi}} aparece em fórmulas para áreas e volumes de figuras geométricas baseadas na circunferência, como  [[elipse]]s, [[esfera]]s, [[cone]]s e [[Toro (topologia)|toros]]. Abaixo estão algumas das fórmulas mais comuns que envolvem {{pi}}.{{sfn|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=200, 209}}
* O comprimento de uma circunferência de raio {{mvar|r}} é {{math|2''&pi;r''}}.
* A área de um círculo de raio {{mvar|r}} é {{math|π''r''<sup>2</sup>}}.
* A área de uma elipse como o semieixo maior {{mvar|a}} e semieixo menor {{mvar|b}} é {{math|π''ab''}}.
* O volume de uma esfera de raio {{mvar|r}} é {{math|{{sfrac|4|3}}π''r''<sup>3</sup>}}.
* A superfície de uma esfera de raio {{mvar|r}} é {{math|4π''r''<sup>2</sup>}}.

Algumas das fórmulas acima são casos especiais do volume de uma [[Bola (matemática)|bola {{mvar|n}}-dimensional]] e a área da superfície é a área de seu contorno, a [[N-esfera|esfera ({{math|''n'' &minus; 1}})-dimensional]], dado em {{slink||Função gama e fórmula de Stirling}}.

Além de circunferências, existem [[curvas de largura constante]]. Pelo [[teorema de Barbier]], toda curva de largura constante tem o perímetro de {{pi}} vezes sua largura. O [[triângulo de Reuleaux]] (formado pela intersecção de três círculos com os lados de um [[triângulo equilátero]] como seus raios) tem a menor área possível para sua largura e a circunferência a maior. Existem também curvas [[Função suave|suaves]] e até mesmo [[Curva algébrica|algébricas]] não circulares de largura constante.<ref>{{citar livro|último1=Martini|primeiro1=Horst|último2=Montejano|primeiro2=Luis|último3=Oliveros|primeiro3=Déborah|doi=10.1007/978-3-030-03868-7|isbn=978-3-030-03866-3|mr=3930585|local=[[Cham (Suíça)|Cham]], Suiça|publicado=Birkhäuser|s2cid=127264210|título=Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry with Applications|ano=2019}}{{pb}}
Ver teorema de Barbier, Corolário 5.1.1, p. 98; triângulos de Reuleaux, pp. 3, 10; curvas suaves como a uma curva analítica devido a Rabinowitz, § 5.3.3, pp. 111–112.</ref>

[[Integral|Integrais definidas]] que descrevem o comprimento, área e volume de formas geradas por circunferências tipicamente possuem valores que envolvem {{pi}}. Por exemplo, uma integral que especifica metade da área de um círculo de raio um é dada por:<ref>{{citar livro|último1=Herman|primeiro1=Edwin|último2=Strang|primeiro2=Gilbert|autorlink2=Gilbert Strang|contribuição=Section 5.5, Exercise 316|contribution-url=https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-5-substitution|página=594|publicado=OpenStax|título=Calculus|volume=1|ano=2016|língua=en}}</ref>
<math display=block>\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}.</math>

Nessa integral, a função <math>\sqrt{1-x^2}</math> representa a altura sobre o eixo {{mvar|x}} de uma [[semicírculo]] (a [[raiz quadrada]] é uma consequência do [[teorema de Pitágoras]]), e a integral computa a área abaixo do semicírculo.

=== Unidades de ângulo ===
{{VT|Ângulo#Unidades de medidas}}
[[Imagem:Sine cosine one period.svg|thumb|class=skin-invert-image|upright=1.54|alt=Diagrama mostrando gráficos de funções.|As funções [[seno]] e [[cosseno]] repetem num período de 2{{pi}}.|left]]
As [[funções trigonométricas]] dependem dos ângulos, e matemáticos geralmente utilizam radianos como unidade de medida. {{pi}} tem um papel importante nos ângulos medidos em [[radiano]]s, o qual é definido que um círculo completo abrange o ângulo de 2{{pi}}&nbsp;radianos. O ângulo de medida 180° é igual a {{pi}}, e {{nowrap|1=1° = {{pi}}/180 radianos}}.{{sfn|Abramson|2014|loc=[https://openstax.org/books/precalculus/pages/5-1-angles Section 5.1: Angles]}}

Funções trigonométricas comuns possuem períodos múltiplos de {{pi}}; por exemplo, o período das funções seno e cosseno é 2{{pi}},{{sfn|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=210–211}} então para qualquer ângulo {{mvar|θ}} e qualquer inteiro {{mvar|k}},{{sfn|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=210–211}}
<math display=block> \sen\theta = \sen\left(\theta + 2\pi k \right) \text{ e } \cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).</math>

=== Autovalores ===
[[Imagem:Harmonic partials on strings.svg|thumb|right|class=skin-invert-image|alt=Sete cordas vibrando com os extremos em 0 e 1. A primeira corda possui uma frequência de 1, a segunda de 2 e assim por diante.|Os [[Sobretom|sobretons]] de uma corda vibrando são autofunções da segunda derivada, e formam uma [[Série harmônica (música)|progressão harmônica]]. Os autovalores associados formam a [[progressão aritmética]] dos múltiplos inteiros de {{pi}}.]]
Várias das aparições de {{pi}} nas fórmulas matemáticas e das ciências é devido sua relação íntima com a geometria. No entanto, {{pi}} também aparece em situações naturais que aparentemente não possuem nenhuma relação com a geometria.

Em diversas aplicações, ele possui um papel distinto como um [[autovalor]]. Por exemplo, uma corda vibrando pode ser modelada como o gráfico de uma função {{mvar|f}} no intervalo unitário {{math|[0, 1]}}, com os [[Problema de valor sobre o contorno|extremos fixos]] {{math|1=''f''(0) = ''f''(1) = 0}}. Os modos de vibração da corda são soluções da [[equação diferencial]] <math>f''(x) + \lambda f(x) = 0</math>, ou <math>f''(t) = -\lambda f(x)</math>. Portanto, {{math|λ}} é um autovalor da segunda derivada do [[Operador diferencial|operador]] <math>f \mapsto f''</math>, e é restrito a apenas alguns certos valores pela [[teoria de Sturm-Liouville]]. Ele deve ser positivo, já que o operador é negativa definida, então é conveniente escrever que {{math|1=''λ'' = ''ν''<sup>2</sup>}}, onde {{math|''ν'' > 0}} é chamado de [[número de onda]]. Então {{math|1=''f''(''x'') = sen(''π'' ''x'')}} satisfaz as condições da fronteira e a equação diferencial com {{math|1=''ν'' = ''π''}}.<ref>{{citar livro|último1=Hilbert |primeiro1=David |autorlink1=David Hilbert |último2=Courant |primeiro2=Richard |autorlink2=Richard Courant |título=Methods of mathematical physics, volume 1 |páginas=286–290 |ano=1966 |local=EUA |publicado=Wiley |lingua=en}}</ref>

O valor {{pi}} é, de fato, o ''menor'' valor de número de onda, sendo associado com o [[modo normal|modo fundamental]] de vibração da corda. Uma maneira de demonstrar isso é estimando a [[energia]], que satisfaz a inequação de Wirtinger:{{sfn|Dym|McKean|1972|page=47}} para uma função  <math>f : [0, 1] \to \Complex</math> com {{math|1=''f''(0) = ''f''(1) = 0}} e {{math|''f''}}, {{math|''f''{{′}}}} ambas quadrado integráveis, temos:
<math display=block>\pi^2\int_0^1|f(x)|^2\,dx\le \int_0^1|f'(x)|^2\,dx,</math>
com igualdade precisamente quando {{mvar|f}} é um múltiplo de {{math|sen(''&pi; x'')}}. Aqui {{pi}} aparece como uma constante ótima na inequação de Wirtinger, e segue que é o menor valor de onda, usando o teorema minimax do autovalor. Como uma consequência, {{pi}} é o menor valor singular do operador diferencial no espaço da função em {{math|[0, 1]}} sumindo em abas as extremidades (o [[Espaços de Sobolev|espaço de Sobolev]] <math>H^1_0[0,1]</math>).{{sfn|Dym|McKean|1972|page=47}}

=== Desigualdades ===
[[Imagem:Sir William Thompson illustration of Carthage.png|thumb|alt=Ilustração de um mapa da antiga cidade de Cartago.|A antiga cidade de [[Cartago]] foi a solução para um problema isoperimétrico, conforme a linda recontada por [[Lord Kelvin]]:<ref>{{citar periódico|primeiro=William |último=Thompson |autorlink=Lord Kelvin |título=Isoperimetrical problems |ano=1894 |periódico=Nature Series: Popular Lectures and Addresses |volume=II |páginas=571–592 |lingua=en}}</ref> aquelas terras que margeiam o mar que a [[Dido|Rainha Dido]] poderiam envolver todos os outros lados num único couro de boi, cortado em tiras.|left]]
A serventia do número {{pi}} que aparece nos problemas de autovalores ocorre semelhantemente na análise de dimensões superiores. Como mencionado em {{slink||Definição}}, ele pode ser definido pelo seu papel de melhor constante na [[desigualdade isoperimétrica]]: A área {{mvar|A}} envolvida por uma [[curva de Jordan]] plana de perímetro {{mvar|P}} satisfaz a desigualdade
<math display=block>4\pi A\le P^2,</math>
e a igualdade é claramente atingida pela circunferência, visto que neste caso {{math|1=''A'' = ''πr''{{sup|2}}}} e {{math|1=''P'' = 2''πr''}}.<ref>{{citar livro|primeiro=Isaac |último=Chavel |título=Isoperimetric inequalities |local=Cambridge, Reino Unido |publicado=Cambridge University Press |ano=2001 |lingua=en}}</ref>

Em última análise, como consequência da desigualdade isoperimétrica, {{pi}} aparece como a constante ótima para a desigualdade de Sobolev crítica em {{mvar|n}} dimensões, que também caracteriza o papel de {{pi}} em diversos fenômenos físicos, como, por exemplo, aquelas da [[teoria do potencial]] clássica.<ref>{{citar periódico|último=Talenti|primeiro= Giorgio |título=Best constant in Sobolev inequality |periódico=Annali di Matematica Pura ed Applicata |volume=110 |número=1 |páginas=353–372 |issn=1618-1891 |doi=10.1007/BF02418013 |citeseerx=10.1.1.615.4193 |ano=1976|s2cid=16923822 |língua=en}}</ref><ref>{{citar arXiv|título=Best constants in Poincaré inequalities for convex domains |eprint=1110.2960 |autor1=L. Esposito |autor2=C. Nitsch |autor3=C. Trombetti |ano=2011 |class=math.AP |língua=en}}</ref><ref>{{citar periódico|título=Best constants for Gagliardo–Nirenberg inequalities and applications to nonlinear diffusions |primeiro1=M.|último1=Del Pino |primeiro2=J.|último2= Dolbeault |periódico=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |ano=2002 |volume=81 |número=9 |páginas=847–875 |doi=10.1016/s0021-7824(02)01266-7 |citeseerx=10.1.1.57.7077|s2cid=8409465 |língua=en}}</ref> Em duas dimensões, a desigualdade de Sobolev crítica é
<math display=block>2\pi\|f\|_2 \le \|\nabla f\|_1</math>
para uma função suave {{mvar|f}} com o suporte compacto em {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, <math>\nabla f</math> é o [[gradiente]] de {{mvar|f}}, e <math>\|f\|_2</math> e <math>\|\nabla f\|_1</math> referem-se respectivamente à [[Espaço Lp|norma {{math|''L''<sup>2</sup>}} e {{math|''L''<sup>1</sup>}}]]. A desigualdade de Sobolev é equivalente à desigualdade isoperimétrica (em qualquer dimensão), com as mesmas constantes ótimas.

A desigualdade de Wirtinger também generaliza a [[desigualdade de Poincaré]] para dimensões superiores que fornecem constantes ótimas para a [[energia de Dirichlet]] de uma membrana {{mvar|n}}-dimensional. Especificamente, {{pi}} é a maior constante tal que
<math display=block>
\pi \le \frac{\left (\int_G |\nabla u|^2\right)^{1/2}}{\left (\int_G|u|^2\right)^{1/2}}
</math>
para todo subconjunto [[conjunto convexo|convexo]] {{mvar|G}} de {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} de diâmetro 1, e funções quadrado integráveis {{mvar|u}} em {{mvar|G}} de média zero.<ref>{{citar periódico|último1=Payne |primeiro1=L.E. |último2=Weinberger |primeiro2=H.F. |título=An optimal Poincaré inequality for convex domains |ano=1960 |periódico=Archive for Rational Mechanics and Analysis |volume=5 |número=1 |issn=0003-9527 |páginas=286–292 |doi=10.1007/BF00252910 |bibcode=1960ArRMA...5..286P|s2cid=121881343 |língua=en}}</ref> Bem como a desigualdade de Wirtinger é a forma [[Cálculo variacional|variacional]] do problema do autovalor de Dirichlet em uma dimensão, a desigualdade de Poincaré é a forma variacional do problema do autovalor de [[Condição de contorno de Neumann|Neumann]] em qualquer dimensão.

=== Transformada de Fourier e princípio da incerteza de Heisenberg ===
[[Imagem:Animation of Heisenberg geodesic.gif|thumb|right|alt=Animação de uma espiral sendo formada, que é projetada formando um círculo.|Uma animação de uma [[geodésica]] no grupo de Heisenberg.]]
A constante {{pi}} também aparece como um parâmetro espectral crítico na transformada de Fourier. Esta é a [[transformada integral]] que pega uma função integrável de valores complexos {{mvar|f}} na reta real para a função definida como:
<math display=block>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x\xi}\,dx.</math>

Por mais que haja várias convenções para a transformada de Fourier e sua inversa, qualquer convenção deve envolver {{pi}} ''em algum lugar''. A operação em {{math|''L''{{sup|2}}}} que também é um homomorfismo de {{math|''L''{{sup|1}}}} para {{math|''L''{{sup|∞}}}}.<ref>{{citar livro|título=Harmonic analysis in phase space |primeiro=Gerald|último=Folland |local=Princeton, NJ, EUA |publicado=Princeton University Press |ano=1989 |página=5 |língua=en}}</ref>

O [[princípio da incerteza de Heisenberg]] também contém o número {{pi}}. o princípio da incerteza fornece uma cota inferior nítida sobre até que ponto é possível localizar uma função tanto no espaço quanto na frequência: com nossas convenções para a transformada de Fourier,
<math display=block>
\left(\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,dx\right)
\left(\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\right)
 \ge
\left(\frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\,dx\right)^2.
</math>

A consequência física, sobre a incerteza simultânea na observação da posição e do momento de um sistema da [[mecânica quântica]], é discutida em {{slink|#Descrever fenômenos físicos}}. A aparição de {{pi}} nas fórmulas da análise de Fourier é uma consequência do teorema de Stone–von Neumann, afirmando a unicidade da representação de Schrödinger do grupo de Heisenberg.<ref name=howe>{{citar periódico|primeiro=Roger |último=Howe |título=On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis |periódico=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=3 |páginas=821–844 |número=2 |ano=1980 |doi=10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 |mr=578375 |doi-access=free |língua=en}}</ref>

=== Integral Gaussiana ===
[[Imagem:E^(-x^2).svg|thumb|alt=Diagrama mostrando um gráfico em forma de sino.|Um gráfico da [[função de Gauss]] {{math|1=''ƒ''(''x'') = ''e''{{sup|−''x''{{sup|2}}}}}}. A região colorida entre a função e o eixo ''x'' tem área igual a {{math|{{sqrt|π}}}}.|left]]
Os campos da [[probabilidade]] e [[estatística]] frequente usam a [[distribuição normal]] como um modelo simples para fenômenos complexos; por exemplo, cientistas geralmente assumem que o erro observacional na maioria dos experimentos seguem uma distribuição normal.<ref>{{citar livro|ultimo=Feller |primeiro=William |titulo=An Introduction to Probability Theory and Its Applications |volume=1 |local=EUA |editora=Wiley |ano=1968 |páginas=174–190 |lingua=en}}</ref> A [[função de Gauss]], a qual é a [[função densidade de probabilidade]] da distribuição normal com média {{mvar|μ}} e [[desvio padrão]] {{mvar|σ}}, contém {{pi}}:{{sfn|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=106–107, 744, 748}}
<math display=block>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}.</math>

O fator de <math display="inline">\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> faz com que a área sob o gráfico de {{mvar|f}} seja igual a um, como um requisito para a [[distribuição de probabilidade]]. Isto segue de uma [[Integração por substituição|mudança de variável]] da [[integral Gaussiana]]{{sfn|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=106–107, 744, 748}}
<math display=block>\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2} \, du=\sqrt{\pi},</math>
que diz que uma [[curva em forma de sino]] básica, como na figura, é igual à raiz quadrada de {{pi}}.

O [[teorema central do limite]] explica o papel central das distribuições normais, e, portanto, de {{pi}}, na probabilidade e na estatística. O teorema está, em última análise, conectado com a [[#Transformada de Fourier e princípio da incerteza de Heisenberg|caracterização espectral]] de {{pi}} como o autovalor associado ao princípio da incerteza de Heisenberg, e com o fato de que a igualdade é válida no princípio da incerteza apenas para a função gaussiana.{{sfn|Dym|McKean|1972|loc=Section 2.7}} Equivalente, {{pi}} é a única constante que faz a distribuição normal gaussiana {{math|''e''{{sup|−π''x''{{sup|2}}}}}} igual à sua própria transformada de Fourier.<ref>{{citar livro|primeiro1=Elias|último1=Stein |primeiro2=Guido|último2=Weiss |título=Fourier analysis on Euclidean spaces |ano=1971 |publicado=Princeton University Press |página=6|autorlink1=Elias Stein}}; Teorema 1.13</ref> De fato, conforme Howe, "todo o negócio" de estabelecer os teoremas fundamentais da análise de Fourier reduz-se à integral gaussiana.<ref name=howe/>

=== Topologia ===
[[Imagem:Order-7 triangular tiling.svg|thumb|right|alt=Diagrama de um grafo de Klein.|{{ill|en|Teorema da uniformização|Uniformization theorem|Uniformização}} da [[quártica de Klein]], uma superfície do [[Género (matemática)|gênero]] três e característica de Euler −4, como um quociente do plano hiperbólico pela [[grupo de simetria]] PSL(2,7) do {{ill|en|plano de Fano|Fano plane}}. A área hiperbólica do domínio é {{math|8π}}, por Gauss–Bonnet.]]
A constante {{pi}} aparece na fórmula de Gauss–Bonnet, que relaciona a [[geometria diferencial]] de superfícies à sua [[Topologia (matemática)|topologia]]. Especificamente, se uma superfície [[Espaço compacto|compacta]] {{math|Σ}} tem [[curvatura gaussiana]] {{mvar|K}}, então
<math display=block>\int_\Sigma K\,dA = 2\pi \chi(\Sigma)</math>
onde {{math|''χ''(Σ)}} é a [[característica de Euler]], na qual é um inteiro.<ref>{{citar livro|título=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry |volume=3 |primeiro=Michael |último=Spivak |ano=1999 |local=[[Houston]], TX, EUA |publicado=Publish or Perish Press |autorlink=Michael Spivak |em=Capítulo 6 |língua=en}}</ref> Um exemplo é a área da superfície de uma esfera {{mvar|S}} de curvatura 1 (então seu [[raio de curvatura]], no qual coincide com seu raio, também é 1). A característica de Euler de uma esfera pode ser computada de seus [[grupos de homologia]] e encontra-se que é igual a dois. Portanto, temos
<math display=block>A(S) = \int_S 1\,dA = 2\pi\cdot 2 = 4\pi</math>
reproduzindo a fórmula para a área da superfície de uma esfera de raio 1.

A constante aparece em várias outras fórmulas de integral na topologia, em particular, aquelas envolvendo [[Classe característica|classes características]] pelo [[homomorfismo de Chern–Weil]].<ref>{{citar livro|último1=Kobayashi |primeiro1=Shoshichi |último2=Nomizu |primeiro2=Katsumi |título=Foundations of Differential Geometry |volume=2 |publicado=Wiley Interscience |ano=1996 |edição=New |página=293|títulolink=Foundations of Differential Geometry |língua=en}}; Capítulo XII ''Characteristic classes''</ref>

=== Fórmula integral de Cauchy ===
[[Imagem:Cauchy integral diagram.svg|thumb|left|class=skin-invert-image|alt=Diagrama ilustrando a aplicação da fórmula integral de Cauchy.|A fórmula integral de Cauchy é uma importante ferramenta da análise complexa. A fórmula mostra que a integral de contorno de uma função sobre uma curva de Jordan retificável {{mvar|C}} que envolve o ponto {{math|''z''<sub>0</sub>}} resulta em {{math|2''&pi;i''}}]]
Uma das ferramentas-chave na [[análise complexa]] é a [[integral de contorno]] de uma função sobre uma [[curva de Jordan]] retificável {{mvar|C}}. Uma forma da [[fórmula integral de Cauchy]] afirma que se um ponto {{math|''z''<sub>0</sub>}} está no interior de {{mvar|C}}, então<ref>{{citar livro|primeiro=Lars V. |último=Ahlfors |autorlink=Lars Valerian Ahlfors |título=Complex analysis |edição=3.ª |local=EUA |publicado=McGraw-Hill |ano=1979 |página=115 |isbn=0-07-000657-1 |língua=en}}</ref>
<math display=block>\oint_C \frac{dz}{z-z_0} = 2\pi i.</math>

Apesar da curva {{mvar|C}} não ser uma circunferência, e, portanto, não tem uma óbvia conexão com {{pi}}, uma prova usual deste resultado utiliza o [[teorema de Morera]], que implica que a integral é uma invariante sob [[homotopia]] da curva, então pode ser deformada numa circunferência e então ser integrada explicitamente em coordenadas polares. De forma mais geral, é verdade que se uma curva retificável fechada {{mvar|C}} não contém {{math|''z''<sub>0</sub>}}, então a integral acima é {{math|2''&pi;i''}} multiplicado pelo [[índice (matemática)|índice]] da curva.<ref>{{citar livro |ultimo=Ávila |primeiro=Geraldo |data=2008 |titulo=Variáveis Complexas |edição=3.ª |local=Rio de Janeiro |editora=LTC |pagina=101–108 |isbn=978-85-216-1217-9 |língua=pt}}</ref>

A forma geral da integral de Cauchy estabelece a relação entre os valores de uma [[função holomórfica]] {{math|''f''(''z'')}} na curva de Jordan {{mvar|C}} e o valor de {{math|''f''(''z'')}} em qualquer ponto abaixo de {{math|''z''<sub>0</sub>}} de {{mvar|C}}:<ref>{{citar livro|último=Joglekar|primeiro=S. D.|título=Mathematical Physics|local=[[Haiderabade (Telanganá)|Haiderabade]], Índia|publicado=Universities Press|ano=2005|página=166|isbn=978-81-7371-422-1|língua=en}}</ref>
<math display=block>\oint_\gamma { f(z) \over z-z_0 }\,dz = 2\pi i f (z_{0}),</math>
desde que {{math|''f''(''z'')}} seja analítico na região delimitada por {{mvar|C}} e se estenda continuamente até {{mvar|C}}.

A fórmula integral de Cauchy é um caso especial do [[teorema dos resíduos]], que se {{math|''g''(''z'')}} é uma [[função meromorfa]] da região delimitada por {{mvar|C}} e é contínua numa vizinhança de {{mvar|C}}, então
<math display=block>\oint_C g(z)\, dz =2\pi i \sum \operatorname{Res}( g, a_k ) ,</math>
onde {{math|Res(''g'', ''a<sub>k</sub>'')}} é o [[resíduo (análise complexa)|resíduo]] de {{mvar|g}} no [[polo (análise complexa)|polo]] {{mvar|a<sub>k</sub>}}{{spaces|hair}}.

=== Cálculo vetorial ===
A constante {{pi}} é onipresente no [[cálculo vetorial]] e na [[teoria do potencial]], como, por exemplo, na [[lei de Coulomb]],<ref>{{citar livro|primeiro=H. M.|último=Schey|ano=1996|título=Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus|local=[[Nova Iorque]], NY, EUA|publicado=W.W. Norton|isbn=0-393-96997-5|lingua=en}}</ref> [[lei de Gauss]], nas [[equações de Maxwell]], e até mesmo nas [[equação de campo de Einstein]].<ref>{{citar livro|último=Yeo|primeiro=Adrian|título=The pleasures of pi, e and other interesting numbers|local=[[Hackensack (Nova Jérsia)|Hackensack]], NJ, EUA|publicado=World Scientific Pub.|ano=2006|página=21|isbn=978-981-270-078-0|lingua=en}}</ref><ref>{{citar livro|último=Ehlers|primeiro=Jürgen|título=Einstein's Field Equations and Their Physical Implications|url=https://link-springer-com.wikipedialibrary.idm.oclc.org/book/10.1007/3-540-46580-4|local=[[Nova Iorque]], NY, EUA|publicado=Springer|ano=2000|página=7|isbn=3-540-67073-4|doi=10.1007/3-540-46580-4|lingua=en}}</ref> Provavelmente o exemplo mais simples é o [[potencial newtoniano]] de duas dimensões, representando o potencial de um ponto fonte na origem, cujo campo associado tem [[Fluxo (física)|fluxo]] unitário para fora através de qualquer superfície fechada lisa e orientada que envolve a fonte:
<math display="block">\Phi(\mathbf x) = \frac{1}{2\pi}\log|\mathbf x|.</math>

O fator de {{math|1/2&pi;}} é necessário para assegurar que {{math|&Phi;}} é a [[solução fundamental]] da [[equação de Poisson]] em <math>\mathbb R^2</math>:<ref name="Elliptic PDE2">{{citar livro|primeiro1=D.|último1=Gilbarg|primeiro2=Neil|último2=Trudinger|authorlink2=Neil Trudinger|título=Elliptic Partial Differential Equations of Second Order|publicado=Springer|local-publicação=[[Nova Iorque]], NY, EUA|ano=1983|isbn=3-540-41160-7|lingua=en}}</ref>
<math display="block">\Delta\Phi = \delta</math>
onde {{mvar|&delta;}} é o [[delta de Dirac]].

Em dimensões superiores, fatores de {{pi}} são presentes devido à normalização pelo volume {{mvar|n}}-dimensional da [[N-esfera|{{mvar|n}}-esfera]] unitária. Em três dimensões, por exemplo, o potencial newtoniano é:<ref name="Elliptic PDE2"/>
<math display="block">\Phi(\mathbf x) = -\frac{1}{4\pi|\mathbf x|},</math>
que possui o volume bidimensional (isto é, a área) da 2-esfera unitária no denominador.

=== Função gama e fórmula de Stirling ===
[[Imagem:Gamma plot points marked.svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Diagrama mostrando o gráfico de uma função.|Gráfico da função gama na reta real]]
A função [[fatorial]] {{math|''n''!}} é o produto de todos os inteiros positivos de 1 a {{mvar|n}}. A [[função gama]] estende esse conceito de fatorial (usualmente definido apenas para os inteiros não negativos) para todos os números complexos, exceto pelos reais inteiros negativos, com a identidade <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math>. Quando a função gama é avaliada na metade de dois inteiros, o resultado contém {{pi}}. Por exemplo, <math> \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} </math> e <math display="inline">\Gamma(5/2) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4}</math>.{{sfn|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=191–192}}

A função gama é definida pelo seu desenvolvimento do {{ill|en|teorema da fatoração de Weierstrass|Weierstrass factorization theorem|produto de Weierstrass}}:<ref>{{citar livro|título=The Gamma Function |primeiro=Emil |último=Artin |tradutor-primeiro=Michael |tradutor-ultimo=Butler |local=EUA |publicado=Holt, Rinehart and Winston |ano=1964 |series=Athena series; selected topics in mathematics |edição=1.ª |autorlink=Emil Artin |língua=en}}</ref>
<math display=block>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^\infty \frac{e^{z/n}}{1+z/n}\omega</math>
onde {{mvar|γ}} é a [[constante de Euler-Mascheroni]]. Quando avaliada em {{math|1=''z'' = 1/2}} e elevada ao quadrado, a equação {{math|1=Γ(1/2)<sup>2</sup> = ''π''}} reduz à fórmula do produto de Wallis. A função gama também está conectada à [[função zeta de Riemann]] e identidades para o determinante funcional, no qual a constante {{pi}} [[#Teoria dos números e função zeta de Riemann|desempenha um papel importante]].

A função gama é utilizada para calcular o volume {{math|''V''<sub>''n''</sub>(''r'')}} de uma [[Bola (matemática)|bola {{mvar|n}}-dimensional]] de raio {{mvar|r}} no espaço euclidiano {{mvar|n}}-dimensional, e a área da superfície {{math|''S''<sub>''n''−1</sub>(''r'')}} de seu contorno, a [[N-esfera|esfera ({{math|''n'' &minus; 1}})-dimensional]]:<ref>{{citar livro|primeiro=Lawrence |último=Evans |título=Partial Differential Equations |local=Providence, RI, EUA |publicado=AMS |ano=1997 |página=615 |língua=en}}</ref>
<math display=block>V_n(r) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}r^n,</math>
<math display=block>S_{n-1}(r) = \frac{n\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}r^{n-1}.</math>

Além disso, segue da equação funcional que
<math display=block>2\pi r = \frac{S_{n+1}(r)}{V_n(r)}.</math>

A função gama pode ser utilizada para criar uma aproximação simples para a função fatorial {{math|''n''!}} para um {{mvar|n}} grande: <math display="inline"> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>, conhecida como [[aproximação de Stirling]].{{sfn|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=190}} Equivalentemente,
<math display=block>\pi = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{2n}n!^2}{2 n^{2n+1}}.</math>

Como uma aplicação geométrica da aproximação de Stirling, utilizando {{math|Δ<sub>''n''</sub>}} para denotar o [[Simplex (topologia)|simplexo unitário]] em um espaço euclidiano {{mvar|n}}-dimensional, e {{math|(''n'' + 1)Δ<sub>''n''</sub>}} para denotar o simplexo com todos os seus lados multiplicados por {{math|''n'' + 1}}. Então,
<math display=block>\operatorname{Vol}((n+1)\Delta_n) = \frac{(n+1)^n}{n!} \sim \frac{e^{n+1}}{\sqrt{2\pi n}}.</math>

A conjectura de volume de Ehrhart é que este é a cota superior (ótima) do volume de um corpo [[Conjunto convexo|convexo]] que contém apenas um ponto de uma [[rede diagonal]].<ref>{{citar periódico|autor1=Benjamin Nill |autor2=Andreas Paffenholz |título=On the equality case in Erhart's volume conjecture |ano=2014 |arxiv=1205.1270 |periódico=Advances in Geometry |volume=14 |número=4 |páginas=579–586 |issn=1615-7168 |doi=10.1515/advgeom-2014-0001|s2cid=119125713 |língua=en}}</ref>

=== Teoria dos números e função zeta de Riemann ===
[[Imagem:Prüfer.png|thumb|right|class=skin-invert-image|Alt=Diagrama circular mostrando um grupo de Prüfer associado a números primos ao redor de uma circunferência.|Cada primo tem um [[grupo de Prüfer]] associado, os quais são localizações aritméticas da circunferência. As [[Função L|funções&nbsp;L]] da teoria analítica dos números também estão localizadas em cada primo {{mvar|p}}.]]
[[Imagem:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|thumb|right|class=skin-invert-image|alt=Diagrama de arcos azuis formando padrões simétricos sobre uma linha horizontal de números de -2 a 2, com uma área sombreada entre 0 e 1.|Solução do problema de Basileia utilizando a conjectura de Weil: o valor de {{math|''ζ''(2)}} é a área hiperbólica de um domínio fundamental do [[grupo modular]], multiplicado por {{math|{{pi}}/2}}.]]
A [[função zeta de Riemann]] {{math|''ζ''(''s'')}} é utilizada em diversas áreas da matemática. Quando avaliada em {{math|1=''s'' = 2}}, pode ser escrita como
<math display=block>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots</math>

Encontrar uma [[Forma fechada (matemática)|solução simples]] para esta série infinita era um problema famoso na matemática chamado de [[problema da Basiléia]]. [[Leonhard Euler]] a resolveu em 1735, mostrando que era igual a {{math|π<sup>2</sup>/6}}.{{sfn|Posamentier|Lehmann|2004|p=284}} O resultado de Euler levou ao resultado da [[teoria dos números]] de que a probabilidade de dois números aleatórios serem [[primos entre si]] (ou seja, não terem fatores compartilhados) é igual a {{math|6/π<sup>2</sup>}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=41–43}}<ref>Este teorema foi provado por [[Ernesto Cesàro]] em 1881. Para uma prova mais rigorosa do que a prova intuitiva e informal aqui apresentada, ver {{citar livro|último=Hardy|primeiro=G. H.|título=An Introduction to the Theory of Numbers|local=Oxford, Reino Unido |publicado=Oxford University Press|ano=2008|isbn=978-0-19-921986-5|em=Teorema 332|língua=en}}</ref> Esta possibilidade é baseada na observação de que a probabilidade de um número qualquer ser divisível por um primo {{mvar|p}} é {{math|1/''p''}} (por exemplo, um a cada sete inteiros é divisível por sete.) Visto que a probabilidade de dois números serem divisíveis por {{mvar|p}} é {{math|1/''p''<sup>2</sup>}}, e a probabilidade de pelo menos um deles não ser é {{math|1 &minus; 1/''p''<sup>2</sup>}}. Para primos distintos, esses eventos de divisibilidade são mutualmente independentes; então a probabilidade de que dois números serem relativamente primos entre si é dado pelo produto sobre todos os primos:<ref>{{citar livro|último1=Ogilvy|primeiro1=C. S.|último2=Anderson|primeiro2=J. T.|título=Excursions in Number Theory|local=[[Nova Iorque]], NY, EUA|publicado=Dover Publications Inc.|ano=1988|páginas=29–35|isbn=0-486-25778-9|língua=en}}</ref>
<math display=block>\begin{align}
\prod_p^\infty \left(1-\frac{1}{p^2}\right) &= \left( \prod_p^\infty \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1}\\[4pt]
&= \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots }\\[4pt]
&= \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%.
\end{align}</math>

Esta probabilidade pode ser utilizada em conjunto com um gerador de números aleatórios para aproximar {{pi}} usando uma abordagem de Monte Carlo.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=43}}

A solução do problema de Basileia implica que a quantidade derivada geometricamente {{pi}} está ligada profundamente à distribuição dos números primos. Este é um caso especial da conjetura de Weil sobre os {{ill|en|número de Tamagawa|Tamagawa number|números de Tamagawa}}, que afirma a igualdade de produtos infinitos semelhantes de quantidades ''aritméticas'', localizadas em cada primo {{mvar|p}}, e uma quantidade ''geométrica'': o inverso do volume de um certo espaço localmente simétrico. No caso do problema de Basileia, trata-se da 3-variedade hiperbólica {{math|[[SL2(R)|SL<sub>2</sub>('''R''')]]/[[Grupo modular|SL<sub>2</sub>('''Z''')]]}}.<ref>{{citar livro|título=Algebraic Groups and Number Theory |primeiro1=Vladimir |último1=Platonov |primeiro2=Andrei |último2=Rapinchuk |tradutor-primeiro=Rachel |tradutor-ultimo=Rowen |local=San Diego, CA, EUA |publicado=Academic Press |ano=1994 |páginas=262–265 |língua=en |isbn=0-12-558180-7}}</ref>

A função zeta também satisfaz a equação funcional de Riemann, que também envolve tanto {{pi}} quanto a função gama:
<math display=block>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sen\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).</math>

Além disso, a derivada da função zeta satisfaz
<math display=block>\exp(-\zeta'(0)) = \sqrt{2\pi}.</math>

Uma das consequências é que {{pi}} pode ser obtido do determinante funcional do [[oscilador harmônico]]. Este determinante funcional pode ser computado pela expansão do produto, sendo equivalente à fórmula do produto de Wallis.<ref>{{citar periódico|último=Sondow|primeiro= J. |título=Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series |periódico=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=120 |número=2 |páginas=421–424 |ano=1994 |doi=10.1090/s0002-9939-1994-1172954-7 |citeseerx=10.1.1.352.5774|s2cid= 122276856 |língua=en}}</ref> O cálculo pode ser reformulado na [[mecânica quântica]], especificamente a [[Cálculo variacional|abordagem variacional]] do [[Átomo de Bohr|espectro do átomo de hidrogênio]].<ref>{{citar periódico|doi=10.1063/1.4930800 |autor1=T. Friedmann |autor2=C.R. Hagen |título=Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for pi |periódico=Journal of Mathematical Physics |volume=56 |número=11 |páginas=112101 |ano=2015 |arxiv=1510.07813 |bibcode=2015JMP....56k2101F|s2cid=119315853 |língua=en}}</ref>

=== Série de Fourier ===
[[Imagem:2-adic integers with dual colorings.svg|thumb|alt=Diagrama aribuindo uma posição e cor para cada número diádico.|{{pi}} aparece nos caracteres de [[número p-ádico|números {{mvar|p}}-ádicos]] (figura), que são elementos de um [[grupo de Prüfer]].<ref>{{citar conferência|último1=Tate |primeiro1=John T. |editor-nome1=J. W. S. |editor-sobrenome1=Cassels|editor-nome2=A.|editor-sobrenome2=Fröhlich|título=Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) |publicado=Thompson, Washington, DC |isbn=978-0-9502734-2-6 |mr=0217026 |ano=1950 |publicação=Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions |páginas=305–347 |língua=en}}</ref>|left]]
A constante {{pi}} também aparece naturalmente nas [[séries de Fourier]] de [[funções periódicas]]. Funções periódicas são funções no grupo {{math|1='''T''' = '''R'''/'''Z'''}} de partes fracionárias de números reais. A decomposição de Fourier mostra que funções complexas {{mvar|f}} em {{math|'''T'''}} podem ser escritas como superposição linear infinita de [[Caráter (matemática)|caracteres unitários]] de {{math|'''T'''}}. Isto é, [[Homomorfismo de grupos|homomorfismos de grupos]] contínuos de {{math|'''T'''}} para o [[grupo circular]] unitário {{math|''U''(1)}} de números complexos de módulo unitário. É um teorema que dada caráter de {{math|'''T'''}} é um dos expoentes complexos <math>e_n(x)= e^{2\pi i n x}</math>.

Há um único caráter em {{math|'''T'''}}, salvo pelo conjugado complexo, que é um [[isomorfismo de grupo]]. Utilizando a [[medida de Haar]] no grupo circular, a constante {{pi}} é metade da magnitude da derivada de Randon–Nikodym deste caráter. Os outros caracteres têm derivadas cujas magnitudes são integrais positivas múltiplas de 2{{pi}}.<ref name="Nicolas Bourbaki" /> Como resultado, a constante {{pi}} é o único número tal que o grupo {{math|'''T'''}}, junto com sua medida de Haar, é uma [[dualidade de Pontryagin]] na [[rede diagonal|malha]] de integrais múltiplas de 2{{pi}}.{{sfn|Dym|McKean|1972|loc=Capítulo 4}} Esta é uma versão da [[fórmula do somatório de Poisson]] unidimensional.

=== Formas modulares e funções teta ===
A constante {{pi}} está intimamente conectada com as [[formas modulares]] e [[funções teta]]. Por exemplo, o [[algoritmo de Chudnovsky]] envolve de forma essencial o [[j-invariante|{{mvar|j}}-invariante]] de uma [[curva elíptica]].

Formas modulares são [[funções holomorfas]] no [[semiplano superior]] caracterizado pelas suas propriedades de transformação sob o [[grupo modular]] <math>\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)</math> (ou seus vários subgrupos), uma malha sob o grupo <math>\mathrm{SL}_2(\mathbb R)</math>. Um exemplo é a [[função teta de Jacobi]]
<math display=block>\theta(z,\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2\pi i nz \ +\  \pi i n^2\tau}</math>
que é um tipo de forma modular chamada forma de Jacobi.<ref name="Mumford 1983 1–117">{{citar livro |primeiro=David |último=Mumford |autorlink=David Mumford |título=Tata Lectures on Theta I |ano=1983 |publicado=Birkhauser |local=Boston |isbn=978-3-7643-3109-2 |páginas=1–117 |lingua=en}}</ref> Às vezes é escrita em termos do nome <math>q=e^{\pi i \tau}</math>.

A constante {{pi}} é o único valor que faz a função teta de Jacobi ser uma [[forma automórfica]], que significa que ela transforma de uma maneira específica. Certas identidades valem para todas as formas automórficas. Um exemplo é
<math display=block>\theta(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i\tau -2\pi i z}\theta(z,\tau),</math>
que implica que {{mvar|θ}} transforma como uma representação sob o grupo de Heisenberg discreto. Formas modulares gerais e outras funções teta também envolvem {{pi}}, novamente devido ao teorema de Stone–von Neumann.<ref name="Mumford 1983 1–117"/>

=== Distribuição de Cauchy e teoria do potencial ===
[[Imagem:Witch of Agnesi, construction.svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Diagrama geométrico mostrando a construção da Curva de Agnesi.|A [[Curva de Agnesi]], nomeada em homenagem a [[Maria Gaetana Agnesi|Maria Agnesi]] (1718–1799), é uma construção geométrica do gráfico da distribuição de Cauchy.]]
[[Imagem:2d random walk ag adatom ag111-pt.gif|thumb|alt=Diagrama mostrando o comportamento de um adátomo  atravessando aleatoriamente uma membrana. Conforme a partícula passapa pelo mesmo ponto, sua cor é alterada.|A distribuição de Cauchy rege a passagem de [[movimento browniano|partículas brownianas]] através de uma membrana.]]
A [[distribuição de Cauchy]]
<math display=block>g(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{x^2+1}</math>
é a [[função de densidade de probabilidade]]. A probabilidade total é igual a um, devido à integral:
<math display=block>\int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{x^2+1} \, dx = \pi.</math>

A [[Entropia da informação|entropia]] da distribuição de Cauchy é igual a {{math|ln(4''&pi;'')}}, também envolvendo {{pi}}.

A distribuição de Cauchy desempenha um papel importante na [[teoria do potencial]], visto que é a medida de Furstenberg mais simples, o núcleo de Poisson clássico associado a um [[movimento browniano]] em um semiplano.<ref>{{citar livro |primeiro1=Sidney|último1= Port |primeiro2=Charles|último2= Stone |título=Brownian motion and classical potential theory |local=Los Angeles, CA, EUA|publicado=Academic Press |ano=1978 |página=29 |língua=en}}</ref> As funções conjugadas harmônicas e também a [[transformada de Hilbert]] estão associadas à assintótica do núcleo de Poisson. A transformação de Hilbert {{mvar|H}} é a transformação integral dada pelo [[valor principal de Cauchy]] da [[integral singular]]
<math display=block>Hf(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)\,dx}{x-t}.</math>

A constante {{pi}} é o único fator de normalização (positivo) tal que {{mvar|H}} define uma estrutura linear complexa no espaço de Hilbert de funções reais quadrado integráveis na reta real.<ref>{{citar livro |último=Titchmarsh |primeiro=E. |autorlink=Edward Charles Titchmarsh |título=Introduction to the Theory of Fourier Integrals |isbn=978-0-8284-0324-5 |ano=1948 |edição=2.ª|data-publicacao=1986 |publicado=Clarendon Press |local=Universidade de Oxford |língua=en}}</ref> A transformada de Hilbert, bem como a transformada de Fourier, pode ser caracterizada puramente em termos de suas propriedades de transformação no espaço de Hilbert {{math|L<sup>2</sup>('''R''')}}: salvo por um fator de normalização, é o único [[operador linear limitado]] que comuta com dilatações positivas e anticomuta com todas as reflexões da reta real.<ref>{{citar livro |primeiro=Elias M. |último=Stein |autorlink=Elias Stein |capítulo=Singular Integrals |título=Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions |local=Princeton, NJ, EUA |publicado=Princeton University Press |ano=1970 |língua=en}}</ref> A constante {{pi}} é o único fator de normalização que faz esta transformação unitária.

=== Conjunto de Mandelbrot ===
[[Imagem:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|alt=Um diagrama complexo em preto num fundo azul.|esquerda|thumb|O [[conjunto de Mandelbrot]] pode ser utilizado para aproximar {{pi}}.]]
Uma ocorrência de {{pi}} no [[fractal]] chamado de [[conjunto de Mandelbrot]] foi descoberto por David Boll em 1991.<ref name="KA">{{citar periódico |último1=Klebanoff |primeiro1=Aaron |ano=2001 |título=Pi in the Mandelbrot set |publicação=Fractals |volume=9 |número=4 |páginas=393–402 |url=http://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf |wayb=20111027155739 |acessodata=14 de abril de 2012 |doi=10.1142/S0218348X01000828  |urlmorta=sim |língua=en}}</ref> Ele examinou o comportamento do conjunto próximo ao "pescoço" em {{math|(−0,75; 0)}}. Quando o número de iterações até a divergência para o ponto {{math|(−0,75; ''ε'')}} é multiplicado por {{mvar|ε}}, o resultado se aproxima de {{pi}} à medida que {{mvar|ε}} se aproxima de zero. O ponto {{math|(0,25 + ''ε''; 0)}} na cúspide do grande "vale" no lado direito do conjunto também se comporta de um modo similar: o número de iterações até que a divergência multiplicada pela raiz quadrada de {{mvar|ε}} tende a {{pi}}.<ref name="KA" /><ref>{{citar livro|último=Peitgen|primeiro=Heinz-Otto|título=Chaos and fractals: new frontiers of science|url=https://link.springer.com/book/10.1007/b97624|publicado=Springer|local=Nova Iorque, NY, EUA|ano=2004|edição=2.ª|páginas=801–803|isbn=978-0-387-20229-7|doi=10.1007/b97624|língua=en}}</ref>

=== Geometria projetiva ===
Seja {{mvar|V}} um conjunto de todas as funções reais duplamente diferenciáveis <math>f:\mathbb R\to\mathbb R</math> que satisfaçam a [[equação diferencial ordinária]] <math>f''(x)+f(x)=0</math>, então {{mvar|V}} é um [[espaço vetorial]] real bidimensional, com dois parâmetros correspondentes a um par de condições iniciais para a equação diferencial. Para qualquer <math>t\in\mathbb R</math>, sendo <math>e_t:V\to\mathbb R</math> o funcional de avaliação, que é associado para cada {{math|''f'' &in; ''V''}} o valor {{math|1=''e<sub>t</sub>''({{spaces|thin}}''f''{{spaces|thin}}) = ''f''{{spaces|hair}}(''t'')}} da função {{mvar|f}} no ponto real {{mvar|t}}. Então, para cada {{mvar|t}}, o [[Núcleo (álgebra linear)|núcleo]] de {{mvar|e<sub>t</sub>}} é um subespaço linear unidimensional de {{mvar|V}}. Como {{math|''t'' &mapsto; ''N''(''e<sub>t</sub>'')}} define uma função de <math>\mathbb R\to\mathbb P(V)</math> da reta real à reta projetiva real. Esta função é periódica, e a quantidade {{pi}} pode ser caracterizada como o período dessa função.<ref>{{citar livro |título=Projective Differential Geometry Old and New: From the Schwarzian Derivative to the Cohomology of Diffeomorphism Groups |series=Cambridge Tracts in Mathematics |publicado=Cambridge University Press |local=Cambridge, Reino Unido |ano=2004 |isbn=978-0-521-83186-4 |primeiro1=V.|último1=Ovsienko|primeiro2=S.|último2=Tabachnikov|contribuição=Section 1.3 |lingua=en}}</ref> Este é um notável pelo fato de a constante {{pi}} aparecer naturalmente nesse contexto, em vez de {{math|2''π''}}.

== Fora da matemática ==
=== Descrever fenômenos físicos ===
Apesar de não ser uma [[constante física]], {{pi}} aparece rotineiramente em equações descrevendo princípios fundamentais do universo, geralmente devido à relação de {{pi}} com a circunferência e ao [[sistema esférico de coordenadas]]. Uma fórmula simples do campo da [[mecânica clássica]] dá o período {{mvar|T}} aproximado de um [[pêndulo]] simples de comprimento {{mvar|L}}, balançando com uma pequena amplitude ({{mvar|g}} é a [[gravidade da Terra|aceleração gravitacional da Terra]]):<ref>{{citar livro|último1=Halliday|primeiro1=David|último2=Resnick|primeiro2=Robert|último3=Walker|primeiro3=Jearl|título=Fundamentals of Physics|edição=5.ª|local=[[Nova Jérsia]], EUA|publicado=John Wiley & Sons|ano=1997|página=381|isbn=0-471-14854-7|língua=en}}</ref>
<math display=block>T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}.</math>

Uma das fórmulas-chave da [[mecânica quântica]] é o [[princípio da incerteza de Heisenberg]], que mostra que a incerteza da posição de uma partícula ({{math|Δ''x''}}) e [[momento linear]] ({{math|Δ''p''}}) não pode ser ambas arbitrariamente pequenas ao mesmo tempo (onde {{mvar|h}} é a [[constante de Planck]]):<ref>{{citar livro|título=College Physics 2e|contribuição=29.7 Probability: The Heisenberg Uncertainty Principle|contribution-url=https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/29-7-probability-the-heisenberg-uncertainty-principle|publicado=OpenStax|primeiro1=Paul Peter|último1=Urone|primeiro2=Roger|último2=Hinrichs|ano=2022|língua=en}}</ref>
<math display=block> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}.</math>

O fato que {{pi}} é aproximadamente igual a 3 desempenha um importante papel na vida relativamente longa do [[Positrônio|ortopositrônio]]. O inverso da vida para a menor ordem da [[constante de estrutura fina]] {{mvar|α}} é<ref>{{citar livro|último1=Itzykson |primeiro1=C. |autorlink1=Claude Itzykson |último2=Zuber |primeiro2=J.-B. |título=Quantum Field Theory |data=1980 |publicado=Dover Publications |local=Mineola, NY |isbn=978-0-486-44568-7 |edição=2005 |url=https://books.google.com/books?id=4MwsAwAAQBAJ |lccn=2005053026 |oclc=61200849 |língua=en}}</ref>
<math display=block>\frac{1}{\tau} = 2\frac{\pi^2 - 9}{9\pi}m_\text{e}\alpha^{6},</math>
onde {{math|''m''<sub>e</sub>}} é a massa do elétron.

{{pi}} está presente em algumas fórmulas de engenharia estrutural, como a fórmula de [[flambagem]] derivada por Euler, que fornece a carga axial máxima {{mvar|F}} que uma coluna longa e delgada de comprimento {{mvar|L}}, [[módulo de elasticidade]] {{mvar|E}} e [[momento de inércia de área]] {{mvar|I}} pode suportar sem flambagem:<ref>{{citar livro|último=Low|primeiro=Peter|título=Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation|local=Cambridge, Reino Unido|publicado=Cambridge University Press|ano=1971|páginas=116–118|isbn=978-0-521-08089-7|língua=en}}</ref>
<math display=block>F =\frac{\pi^2EI}{L^2}.</math>

O campo da [[dinâmica dos fluidos]] contém {{pi}} na [[lei de Stokes]], que aproxima a [[Arrasto|força de fricção]] {{mvar|F}} exercido em pequenos objetos [[esfera|esféricos]] de raio {{mvar|R}}, se movendo com uma velocidade {{mvar|v}} num [[fluido]] com [[viscosidade ]]dinâmica {{mvar|η}}:<ref>{{citar livro|último=Batchelor|primeiro=G. K.|título=An Introduction to Fluid Dynamics|local=Cambridge, Inglaterra|publicado=Cambridge University Press|ano=1967|página=233|isbn=0-521-66396-2|língua=en}}</ref>
<math display=block>F =6\pi\eta  Rv.</math>

Em eletromagnetismo, a constante [[permeabilidade do vácuo]] ''μ''<sub>0</sub> aparece nas [[equações de Maxwell]], que descrevem as propriedades dos campos [[campo elétrico|elétricos]] e [[campo magnético|magnéticos]] e [[radiação eletromagnética]].<ref>{{citar periódico|título=A derivation of Maxwell's equations using the Heaviside notation |primeiro1=Damian P. |último1=Hampshire |data=29 de outubro de 2018 |doi=10.1098/rsta.2017.0447 |volume=376 |número=2134 |issn=1364-503X |periódico= Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|pmid=30373937 |pmc=6232579 |arxiv=1510.04309 |bibcode=2018RSPTA.37670447H |lingua=en}}</ref> Antes de 20 de maio de 2019, era definido exatamente como<ref>{{citar periódico|último=Davis|primeiro=Richard S.|data=2017|título=Determining the value of the fine-structure constant from a current balance: Getting acquainted with some upcoming changes to the SI|periódico=American Journal of Physics|língua=en|volume=85|número=5|páginas=364–368|doi=10.1119/1.4976701|issn=0002-9505|bibcode=2017AmJPh..85..364D|arxiv=1610.02910|s2cid=119283799}}</ref>
<math display=block>\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\text{ H/m} \approx 1{,}2566370614 \ldots \times 10 ^{-6} \text{ N/A}^2. </math>

=== Memorizar dígitos ===
{{AP|Pifilologia}}
[[Pifilologia]] é a prática de memorizar um grande número de dígitos de {{pi}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=44–45}} e recordes mundiais são mantidos pelo ''[[Guinness World Records]]''. O recorde de memorizar dígitos de {{pi}}, certificado pelo Guinness World Records, é de 70&nbsp;mil dígitos, recitado na Índia por Rajveer Meena em 9 horas e 27 minutos em 21 de março de 2015.<ref>{{citar web |url=http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised |titulo=Most Pi Places Memorized |wayb=20160214205333|publicado=Guinness World Records |urlmorta=não |língua=en}}</ref> Em 2006, [[Akira Haraguchi]], um engenheiro japonês aposentado, alegou ter recitado cem&nbsp;mil casas decimais, mas a afirmação não foi verificada pelo Guinness World Records.<ref name="japantimes">{{citar jornal|primeiro=Tomoko |último=Otake |url=<!--http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf-->https://www.japantimes.co.jp/life/2006/12/17/general/how-can-anyone-remember-100000-numbers/ |título=How can anyone remember 100,000 numbers? |obra=[[The Japan Times]] |data=17 de dezembro de 2006 |acessodata=27 de outubro de 2007|urlmorta=não|wayb=20130818004142|língua=en}}</ref>

Uma técnica comum é memorizar uma história ou poema que a quantidade de letras da palavra representa os dígitos de {{pi}}: a primeira palavra possui três letras, a segunda tem uma, a terceira tem quatro, a quarta tem uma, a quinta tem cinco, e assim por diante. Tais auxiliares de memorização são chamados de [[mnemônico]]s.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=44–45}}

=== Na cultura popular ===
[[Imagem:Pi pie2.jpg|thumb|right|alt=Uma torta de pi na Universidade de Delft|Uma torta de pi (''{{lang|en|pi pie}}''). Diversas [[torta]]s são circulares, e, no inglês "''{{lang|en|pie}}''" e {{pi}} são [[homófono]]s, fazendo tortas serem um tópico frequente de [[trocadilho]]s com pi.]]
Talvez devido à sua simplicidade de sua definição e sua onipresença em fórmulas, {{pi}} se representou na cultura popular mais do que qualquer outra construção matemática.<ref>Por exemplo, Pickover diz que o {{pi}} é "a constante matemática mais famosa de todos os tempos", e Peterson escreve, "de todas as constantes matemáticas conhecidas, no entanto, pi continua a atrair mais atenção", citando o perfume Pi de {{ill|en|Parfums Givenchy||Givenchy}}, [[Pi (filme)]], e o [[Dia do Pi]] como exmplos. Ver: {{citar livro|título=Keys to Infinity |primeiro=Clifford A. |último=Pickover |local=EUA |publicado=Wiley & Sons |ano=1995 |isbn=978-0-471-11857-2 |página=[https://archive.org/details/keystoinfinity00clif/page/59 59] |url=https://archive.org/details/keystoinfinity00clif/page/59 |língua=en}} {{citar livro|título=Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles |series=MAA spectrum |primeiro=Ivars |último=Peterson |local=Washington, D.C., EUA |publicado=Mathematical Association of America |ano=2002 |isbn=978-0-88385-537-9 |página=17 |url=https://books.google.com/books?id=4gWSAraVhtAC&pg=PA17|urlmorta=não|wayb=20161129190818|língua=en}}</ref>

No museu científico [[Palais de la découverte]], em Paris, há uma sala circular conhecida como ''sala do pi''. Em suas paredes estão escritos 707 dígitos de {{pi}}. Os dígitos são grandes caracteres de madeira preso ao teto em forma de cúpula. Os dígitos foram baseados num cálculo de 1873 pelo matemático inglês [[William Shanks]], que inclui um erro no 528.º dígito. O erro foi detectado em 1946 e corrigido em 1949.{{sfn|Posamentier|Lehmann|2004|p=118}}{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=50}}

No romance [[Contact (romance)|''Contact'']] de 1985 de [[Carl Sagan]] é sugerido que o criador do universo enterrou uma mensagem nas profundidades dos dígitos de {{pi}}. Esta parte da história foi omitida na adaptação em [[Contact|filme]] do romance.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=14}}<ref>{{citar livro|primeiro1=Burkard |último1=Polster |primeiro2=Marty |último2=Ross |título=Math Goes to the Movies |ano=2012 |isbn=978-1-421-40484-4 |local=Baltimore, MD, EUA |publicado=Johns Hopkins University Press |páginas=56–57 |língua=en}}</ref> Os dígitos de {{pi}} também foram incorporados nas letras da música "Pi" do álbum ''[[Aerial]]'' de [[Kate Bush]].<ref>{{citar periódico|título=Review of Aerial |primeiro=Andy |último=Gill |periódico=[[The Independent]] |data=4 de novembro de 2005 |url=http://gaffa.org/reaching/rev_aer_UK5.html |citação=the almost autistic satisfaction of the obsessive-compulsive mathematician fascinated by 'Pi' (which affords the opportunity to hear Bush slowly sing vast chunks of the number in question, several dozen digits long)|urlmorta=não|wayb=20061015122229|língua=en}}</ref> No episódio "Wolf in the Fold" de 1967 de [[Star Trek (série original)|''Star Trek'']], um computador fora de controle foi contido ao ser instruído para "computar o último dígito do valor de {{pi}}".<ref name=life-of-pi/>

Nos Estados Unidos, o [[Dia do Pi]] cai no dia 14 de março (escrito 3/14 no estilo norte-americano), sendo popular entre os estudantes.<ref name=life-of-pi/> {{pi}} e sua representação digital é geralmente utilizada por "''[[geek]]s'' matemáticos" autoproclamados por [[piada interna|piadas internas]] entre grupos de pessoas interessadas em matemática e tecnologia. Um grito de torcida universitário atribuído variadamente ao [[Instituto de Tecnologia de Massachusetts]] (MIT) ou ao [[Instituto Politécnico Rensselaer]] inclui "3,14159".<ref>{{citar periódico|último=Rubillo|primeiro=James M.|data=janeiro de 1989|número=1|periódico=The Mathematics Teacher|jstor=27966082|página=10|título=Disintegrate 'em|volume=82|língua=en}}</ref><ref>{{citar livro|último=Petroski|primeiro=Henry|autorlink=Henry Petroski|isbn=978-1-139-50530-7|página=47|local=Cambridge, Inglaterra|publicado=Cambridge University Press|título=Title An Engineer's Alphabet: Gleanings from the Softer Side of a Profession|url=https://books.google.com/books?id=oVXzxvS3MLUC&pg=PA47|ano=2011|língua=en}}</ref> O Dia do Pi em 2015 foi particularmente significante porque a data e hora 3/14/15&nbsp;9:26:53 refletia ainda mais dígitos de {{pi}}.<ref>{{citar jornal |ultimo=Deutsch |primeiro=Lindsay |url=https://www.usatoday.com/story/news/nation-now/2015/03/14/pi-day-kids-videos/24753169/ |título=Happy Pi Day! Watch these stunning videos of kids reciting 3.14 |jornal=USAToday |data=14 de março de 2015 |acessodata=14 de março de 2015 |urlmorta=não |wayb=20150315005038 |língua=en}}</ref><ref>{{citar periódico|url=http://probability.ca/jeff/writing/PiInstant.html |título=Pi Instant |último=Rosenthal |primeiro=Jeffrey S. |data=fevereiro de 2015 |página=22 |periódico=Math Horizons|volume=22 |número=3 |doi=10.4169/mathhorizons.22.3.22 |s2cid=218542599 |língua=en}}</ref> Nos locais nos quais as datas são geralmente escritas no formato dia/mês/ano, 22 de julho representa o "Dia da Aproximação de Pi", visto que {{math|1=22/7 = 3,142857}}.<ref>{{citar web|último1=Griffin |primeiro1=Andrew |título=Pi Day: Why some mathematicians refuse to celebrate 14 March and won't observe the dessert-filled day |url=https://www.independent.co.uk/news/science/pi-day-march-14-maths-google-doodle-pie-baking-celebrate-30-anniversary-a8254036.html |website=The Independent |acessodata=2 de fevereiro de 2019 |wayb=20190424151944|urlmorta=não|língua=en}}</ref>

{{âncora|tau}}Algumas pessoas propuseram que o {{pi}} fosse substituído por [[Tau (constante matemática)|{{math|1=''τ'' = 2''&pi;''}}]],<ref>{{citar livro|último1=Freiberger|primeiro1=Marianne|último2=Thomas|primeiro2=Rachel|contribuição=Tau – the new {{pi}}|contribution-url=https://books.google.com/books?id=IbR-BAAAQBAJ&pg=PT133|isbn=978-1-62365-411-5|página=159|local=Nova Iorque, NY, EUA|publicado=Quercus|título=Numericon: A Journey through the Hidden Lives of Numbers|ano=2015|língua=en}}</ref> argumentando que {{mvar|τ}}, definido como uma [[volta (geometria)|volta]] ou a razão do comprimento duma circunferência pelo seu raio, é mais natural que {{pi}}, além de simplifica diversas fórmulas.<ref>{{citar periódico|último=Abbott |primeiro=Stephen |título=My Conversion to Tauism |periódico=Math Horizons |data=abril de 2012 |volume=19 |número=4 |página=34 |doi=10.4169/mathhorizons.19.4.34 |s2cid=126179022 |url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Mathhorizons/apr12_aftermath.pdf|urlmorta=sim|wayb=20130928095819|língua=en}}</ref><ref>{{citar periódico|último=Palais |primeiro=Robert |título={{pi}} Is Wrong!|periódico=The Mathematical Intelligencer|ano=2001|volume=23|número=3|páginas=7–8|doi=10.1007/BF03026846|s2cid=120965049 |url=http://www.math.utah.edu/~palais/pi.pdf|urlmorta=não|wayb=20120622070009|língua=en}}</ref> Este uso de {{math|τ}} não chegou à matemática convencional,<ref>{{citar periódico|url=http://www.telegraphindia.com/1110630/jsp/nation/story_14178997.jsp |título=Life of pi in no danger – Experts cold-shoulder campaign to replace with tau |periódico=Telegraph India |data=30 de junho de 2011|urlmorta= sim|wayb=20130713084345|língua=en}}</ref> mas isso levou pessoas a comemorarem o Dia do Dois Pi ou Dia do Tau em 28 de junho desde 2010.<ref>{{citar web |ultimo=Conover |primeiro=Emily |título=Forget Pi Day. We should be celebrating Tau Day |website=Science News |url=https://www.sciencenews.org/blog/science-the-public/forget-pi-day-we-should-be-celebrating-tau-day |data=2018-03-14 |acessodata=2023-05-02 |língua=en-US |wayb=20210314105547}}</ref>

Em 1897, um matemático amador tentou persuadir a legislatura de Indiana para aprovar o [[projeto de lei de Indiana sobre Pi]], que descrevia um método para realizar a [[quadratura do círculo]] e continha um texto que implicava vários valores incorretos de {{pi}}, incluindo 3,2. O projeto de lei é notório como uma tentativa de estabelecer um valor de constante matemática por decreto legislativo. O projeto foi aprovado pela Câmara dos Representantes de Indiana, mas rejeitado pelo Senado e, portanto, não se tornou lei.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=211–212}}{{sfn|Posamentier|Lehmann|2004|pp=36–37}}<ref>{{citar periódico|último1=Hallerberg |primeiro1=Arthur |data=maio de 1977 |título=Indiana's squared circle |periódico=Mathematics Magazine |volume=50 |número=3 |páginas=136–140 |jstor=2689499 |doi=10.2307/2689499 |língua=en}}</ref>

Na [[cibercultura]] contemporânea, indivíduos e organizações fazem homenagens ao número {{pi}}. Por exemplo, o cientista computacional [[Donald Knuth]] fez que o número da versão do seu programa [[TeX]] se aproximasse de {{pi}}. As versões eram 3, 3.1, 3.14, e assim por diante.<ref>{{citar periódico |url=http://www.ntg.nl/maps/05/34.pdf |título=The Future of TeX and Metafont |primeiro=Donald |último=Knuth |autorlink=Donald Knuth |publicação=TeX Mag |volume=5 |número=1 |página=145 |data=3 de outubro de 1990 |acessodata=17 de fevereiro de 2017|urlmorta=não |arquivourl=https://web.archive.org/web/20160413230304/http://www.ntg.nl/maps/05/34.pdf |arquivodata=13 de abril de 2016 |língua=en}}</ref>

== Ver também ==
* [[Aproximações de π]]
* [[Cronologia do cálculo de pi]]

{{Notas}}
{{referências}}

== Bibliografia ==
{{InícioRef|30em|indentação=sim}}
* {{citar livro |último=Abramson |primeiro=Jay |título=Precalculus |publicado=OpenStax |ano=2014 |url=https://openstax.org/details/books/precalculus |lingua=en |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Andrews |primeiro1=George E. |último2=Askey |primeiro2=Richard |último3=Roy |primeiro3=Ranjan |título=Special Functions |url=https://books.google.com/books?id=kGshpCa3eYwC&pg=PA59 |ano=1999 |publicado=University Press |local=Cambridge |isbn=978-0-521-78988-2 |lingua=en |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Arndt |primeiro1=Jörg |último2=Haenel |primeiro2=Christoph |tradutor-ultimo1=Lischka |tradutor-primeiro1=Catriona |tradutor-ultimo2=Lischka |tradutor-primeiro2=David |título=Pi Unleashed |local=[[Nova Iorque]], NY, EUA |publicado=Springer-Verlag |ano=2006 |isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn apenas do volume 1--> |url=https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC |acessodata=5 de junho de 2013 |lingua=en |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Berggren |primeiro1=Lennart |último2=Borwein |primeiro2=Jonathan|autorlink2=Jonathan Borwein |último3=Borwein |primeiro3=Peter|autorlink3=Peter Borwein |título=Pi: a Source Book |local=[[Nova Iorque]], NY, EUA |publicado=Springer-Verlag |ano=1997 |isbn=978-0-387-20571-7 |lingua=en |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Boyer |primeiro1=Carl B. |último2=Merzbach |primeiro2=Uta C.|autorlink2= Uta Merzbach |ano=1991 |título=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|acessourl=registo |edição=2.ª |local=[[Nova Jérsia]], EUA |publicado=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-0-471-54397-8 |lingua=en |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Bronshteĭn |primeiro1=Ilia |último2=Semendiaev |primeiro2=K.A. |título=A Guide Book to Mathematics |local=[[Frankfurt am Main]], Alemanha |publicado=Verlag Harri Deutsch |ano=1971 |isbn=978-3-87144-095-3 |lingua=en |ref=harv}}
* {{citar livro|primeiro1=H. |último1=Dym |primeiro2=H. P. |último2=McKean |título=Fourier series and integrals |publicado=Academic Press |ano=1972 |língua=en |ref=harv}}
* {{wikicite |ref={{harvid|Eymard|Lafon|2004}} |reference={{citar livro|ref=none |último1=Eymard |primeiro1=Pierre |último2=Lafon |primeiro2=Jean Pierre |título=The Number {{pi}} |local=[[Providence (Rhode Island)|Providence]], RI, EUA |publicado=[[American Mathematical Society]] |ano=2004 |isbn=978-0-8218-3246-2 |translator-last=Wilson |translator-first=Stephen |lingua=en |pontofinal=.}} Tradução em inglês de {{citar livro|ref=none |numero-autores=0 |último1=Eymard |primeiro1=Pierre |último2=Lafon |primeiro2=Jean Pierre |título=Autour du nombre {{pi}} |língua=fr |local=[[Paris]]. França |publicado=Hermann |ano=1999}} }}
* {{citar livro|último1=Posamentier |primeiro1=Alfred S. |último2=Lehmann |primeiro2=Ingmar |título={{pi}}: A Biography of the World's Most Mysterious Number |url=https://archive.org/details/pi00alfr_0 |acessourl=registo |local=[[Amherst (Nova Iorque)|Amherst]], NY, EUA |publicado=Prometheus Books |ano=2004 |isbn=978-1-59102-200-8 |língua=en |ref=harv}}
* {{citar livro |último=Remmert |primeiro=Reinhold |editor1=Heinz-Dieter Ebbinghaus |editor2=Hans Hermes |editor3=Friedrich Hirzebruch |editor4=Max Koecher |editor5=Klaus Mainzer |editor6=Jürgen Neukirch |editor7=Alexander Prestel |editor8=Reinhold Remmert |título=Numbers|capítulourl=https://books.google.com/books?id=Z53SBwAAQBAJ&pg=PA123 |capítulo=5. What is π? |páginas=123–153 |data=2012 |local=[[Nova Iorque]], NY, EUA |publicado=Springer |isbn=978-1-4612-1005-4 |doi=10.1007/978-1-4612-1005-4 |lingua=en |ref=harv}}
{{RefFim}}

== Leitura adicional ==
{{InícioRef|indentação=sim}}
* {{citar livro|último=Blatner |primeiro=David |título=The Joy of {{pi}} |local=EUA |publicado=Walker & Company |ano=1999 |isbn=978-0-8027-7562-7 }}
* {{citar livro|autorlink=Jean-Paul Delahaye |último=Delahaye |primeiro=Jean-Paul |título=Le fascinant nombre {{pi}} |lingua=fr |local=Paris |publicado=Bibliothèque Pour la Science |data=1997 |isbn=2-902918-25-9}}
{{RefFim}}

== Ligações externas ==
{{commonscat|Pi|{{pi}}}}
* {{mathworld|titulo=Pi|id=Pi}}
* {{link|en|http://pisearch.org/pi|Ferramenta de busca de {{pi}}}} 2&nbsp;bilhões de dígitos pesquisáveis de {{pi}}, {{mvar|e}} e {{radic|2}}

{{Número irracional}}
{{Controle de autoridade}}

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[[Categoria:Análise complexa]]
[[Categoria:Séries matemáticas]]
{{Artigo destacado}}