Mostrar código-fonte de Polinómios de Bernstein

Em [[matemática]], um '''polinômio de Bernstein''' é um [[polinômio]] da forma:
:<math>B_i^n(x)={n \choose i}x^i(1-x)^{n-i}</math>

O conjunto <math>\{B_i^n\}_{i=0}^n</math> forma uma [[base (álgebra linear)|base]] para os polinômios de [[Grau de um polinômio|grau]] até n. Isto é, se  <math>P(x)</math> é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:
:<math>P(x)=\sum_{i=0}^n\beta_i{n \choose i}x^i(1-x)^{n-i}</math>

Estes polinômios foram estudados por [[Sergei Natanovich Bernstein]] e utilizados para dar uma [[Demonstração construtiva|prova construtiva]] do [[teorema de Stone-Weierstrass]].

== Exemplo ==
[[Imagem:Bernstein poly 3.svg|thumb|500px|Gráfico dos polinômios de Berstein de grau 3]]

No caso dos polinômios de grau <math>3</math> a base é composta de:
* <math>B^3_0 (x) = {3 \choose 0 } x^0 (1 - x)^{3 - 0} = (1 - x)^3</math>
* <math>B^3_1 (x) = {3 \choose 1} x^1 (1 - x)^{3 - 1} = 3 x (1 - x)^2</math>
* <math>B^3_2 (x) = {3 \choose 2} x^2 (1 - x)^{3 - 2} = 3 x^2 (1 - x)</math>
* <math>B^3_3 (x) = {3 \choose 3} x^3 (1 - x)^{3 - 3} = x^3</math>

Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:

:<math>P(x) = c_0 B^3_0(x) + c_1 B^3_1(x) + c_2 B^3_2(x) + c_3 B^3_3(x)</math>

== Propriedades fundamentais ==
Estes polinômios possuem propriedades importantes:

*[[Partição da unidade]]:
:<math>\sum_{i=0}^n B_i^n(x) = 1</math>,

*Não-negatividade no intervalo de 0 a 1:
:<math>B_i^n(x) \geq 0 ,\in [0,1]</math>,

*[[Relação de recorrência]]:
:<math>B_i^n(x) = (1-x)B_i^{n-1}(x) + x B_{i-1}^{n-1}(x)</math>.

*Simetria:
:<math>B_i^n(x) = B_{n-i}^n(1-x)</math>

*Produto:
:<math>B_i^n(x) B_j^m(x)</math> <math>= \frac{{n \choose i} {m \choose j}}{ {{n+m} \choose {i+j}} } B_{n+m}^{i+j}(x)</math>

*Derivada:
:<math>\frac{d}{dx} B_i^n(x) = n \left( B_{i-1}^{n-1}(x) - B_i^{n-1}(x) \right)</math> ficando bem convencionado que <math>B^n_i(x)=0\hbox{ se } i<0 \hbox{ ou } i>n</math>  

*Representação em grau superior:
:<math>B_i^n(x) = \frac{n+1-i}{n+1} B_i^{n+1}(x) + \frac{i+1}{n+1} B_{i+1}^{n+1}(x)</math>

*[[Pontos extremos de uma função|Pontos de máximo]]:
:<math>B_i^n(x)\,</math> assume valor máximo no intervalo <math>[0,1]\,</math> em <math>x=\frac{i}{n}\,</math>. Este máximo é local se <math>0<i<n\,</math>.

A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:
:<math>[x+(1-x)]^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} x^i(1-x)^{n-i}</math>
A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do [[triângulo de Pascal]]. As demais também são mostradas por simples verificação.

== Representação de <math>x^k</math> ==

Para obter uma representação de <math>x^k</math> como polinômio de Bernstein, escreva:
:<math>(u+v)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} u^iv^{n-i}</math>

Agora diferencie em relação a <math>u</math> e multiplique por u/n para obter:

:<math>u(u+v)^{n-1} = \sum_{i=0}^n {n \choose i}\frac{i}{n} u^iv^{n-i}</math>

se fizermos <math>u=x</math> e <math>v=1-x</math>, temos:
:<math>x = \sum_{i=0}^n {n \choose i}\frac{i}{n} x^i(1-x)^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{i}{n} B_i^n(x),~n\geq 1</math>

Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:
:<math>u^2(u+v)^{n-2} = \sum_{i=0}^n {n \choose i}\frac{i(i-1)}{n(n-1)} u^iv^{n-i}</math>
e teríamos obtido:
:<math>x^2 = \sum_{i=2}^n \frac{i(i-1)}{n(n-1)} B_i^n(x),~n\geq 2</math>

Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para <math> k\leq n </math>:

:<math>x^k = \sum_{i=k}^n \frac{i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots(n-k+1)} B_i^n(x), ~n\geq 3</math>

== Polinômio de Bernstein associado a uma função ==
Seja <math>f(x):[0,1]\to\mathbb{R}</math>, o '''polinômio de Bernstein de grau n''' associado a <math>f(x)</math> é dado por:
:<math>P_n(x)=\sum_{i=0}^n f\left(\frac{i}{n}\right)B_i^n(x)</math><ref>{{Citar web|url = http://omonitor.io/?q=polinomiosdeberstein|titulo = Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata = 2016-03-24|obra = omonitor.io}}</ref>
Se <math>f(x)</math> for uma [[função contínua]], então <math>P_n(x)</math> [[convergência uniforme|converge uniformemente]] para <math>f(x)</math> quando n tende a infinito. Este fato é provado em [[teorema de Stone-Weierstrass]].

<math></math>

== Veja também ==
* [[Interpolação polinomial]]
* [[Binómio de Newton]]
* [[Teorema de Stone-Weierstrass]]

{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Polinómios|Bernstein]]
[[Categoria:Análise matemática]]